Однокластерные перколяционные системы и модели гранулированных металлов

Свойства неупорядоченных систем, таких как гранулированные и пористые материалы, представляют большой интерес как с практической, так и с теоретической точки зрения [3]. Основным инструментом, описывающим их обусловленные геометрией и беспорядком свойства, является теория перколяции [1].

Модели перколяционного типа, связи (либо узлы) в которых последовательно удаляются случайным образом, интенсивно изучались в последние 50 лет. В стандартной постановке задачи выбор удаляемой связи (узла) полностью случаен, и при определенной концентрации рс оставшихся в системе связей (соответственно, концентрации хс оставшихся узлов) в системе происходит перко-ляционный фазовый переход. При р > рс в образце присутствует «бесконечный» кластер, содержащий конечную долю всех связей системы и однородно проникающий в объем системы. При р < рс бесконечный кластер отсутствует, а вся масса сосредоточена в конечных кластерах. Перколяционный фазовый переход и соответствующее критическое поведение хорошо изучено (см., например, [1, 2]).

Имеется, однако, большое количество систем, не описываемых стандартной теорией перколяции. В частности, в ряде важных случаев возникновение конечных кластеров невозможно в принципе. Рассмотрим, например, процесс порообразования (скажем, технологический цикл формирования пористого материала, см. [3]). Его можно представлять как последовательное удаление зерен заполнителя (углерода, который можно выжечь, или растворимого полимера) из неупорядоченной исходной смеси зерен заполнителя и зерен основного материала (металла). Возникающие конечные кластеры в такой системе механически нестабильны: они сразу же приходят в движение и прилипают к основной массе материала (см. далее рис. 2.1, 2.2).

Модели, в которых в любой момент времени все частицы в образце принадлежат единственному гигантскому бесконечному кластеру, мы будем называть «однокластерными» (более точное определение см. ниже). Однокластерные.

Рис. 0.1: Фрагмент однокластерной конфигурации. Серым цветом показаны висячие концы, черном — остов. Полная плотность равна х = 0.4, плотность остова при этом Рв = 0.022. модели неупорядоченных пористых систем, учитывающие требование механической устойчивости на всех этапах формирования образца, могут адекватно описывать такие физические системы, как гранулированные металлы [3, 19], гели [20], аэрогели [21] и др.

Поскольку бесконечный кластер содержит все частицы образца, он не может исчезнуть: обычный перколяционный фазовый переход не происходит. Но при этом физические свойства единственного кластера системы могут весьма нетривиальным образом зависеть от концентрации — при некотором конечном ее значении в системе может происходить «топологический» фазовый переход, сопровождающийся резкой потерей макроскопических проводимости и упругости.

Действительно, вклад в проводимость и упругость дают не все частицы бес.

0.8.

0.4.

0.6.

0.2 1 1 о. / 0.'.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 ' 0.2 0.4 0.6 0.8 1.

0.8 0.6 0.4 0.2.

0.2 0.4.

0.6.

0.8 1.

Рис. 0.2: Плотность бесконечного кластера (верхняя кривая каждого рисунка) и плотность остова (нижняя кривая) в разных случаях. Внизу: обычная задача перколяции. Вверху слева: однокластерная модель с топологическим фазовым переходом. Вверху справа: однокластерная модель без перехода. конечного кластера, а только те, которые принадлежат остову. Существует много эквивалентных определений остова, наиболее наглядным из которых является следующее. Назовем висячим концом (dangling end) любое конечное подмножество узлов (или связей), которые можно отделить от бесконечного кластера посредством удаления одного узла (или одной связи). Тогда остовто, что остается от бесконечного кластера после отсечения всех висячих концов.

Альтернативно можно определить остов как максимальный двусвязный подграф в системе. Физически остов является токонесущей частью бесконечного кластера при подключении контактов на бесконечности (в пренебрежении случайными конфигурациями типа мостиков Уитстона). На рис. 0.1 показана мгновенная конфигурация некоторой однокластерной модели и ее остов.

В задаче обычной перколяции плотность остова Рв конечна всегда, когда конечна плотность бесконечного кластера Робе эти величины одновременно обращаются в нуль в точке фазового перехода. Иначе обстоит дело в однокла-стерном случае: при тривиальной зависимости Р (х) = х величина Рв может как обращаться в нуль при конечной концентрации х > 0, так и оставаться положительной при всех х > 0 (см. рис. 0.2).

Нашими центральными задачами будут построение критерия, позволяющего по заданной однокластерной модели предсказать, к какому из этих двух классов она относится, выяснение степени универсальности соответствующего критического поведения (постоянства значений критических индексов), описание возможных в однокластерной системе фаз.

Конечно, множество всех систем, понимаемое как множество всех вероятностных мер, сосредоточенных на связных конфигурациях, слишком обширно, чтобы допускать содержательные общие утверждения. Хорошим компромиссом является ограничение круга задач алгоримическими процессами — форма-лизациями протяженных во времени процессов формирования образцов. Пусть зафиксирована некоторая начальная конфигурация и задан (марковский) случайный эволюционный процесс, на шаге которого из конфигурации удаляют некоторый ее элемент (обычно узел или связь), после чего по известному алгоритму локально модифицируют возникшее состояние с целью восстановления связности. Срезы такого процесса с фиксированным мгновенным значением концентрации задают микроканоническую меру на пространстве решеточных конфигураций, которую мы и будем называть однокластерной моделью. Все общие утверждения и гипотезы об однокластерных системах будут подразумевать класс моделей, представимых такими процессами.

Фактически представимость в таком виде не очень ограничительна, и выбранный класс содержит подавляющее большинство естественно определенных моделей. Например, Q = 0 пределы модели случайных кластеров (random-cluster model, 0 сектора обобщенной модели Поттса) являются предельными случаями однокластерных моделей в нашем определении.

В первой главе будут рассмотрены системы, в которых эволюционный процесс подразумевает монотонное разрушение остова: покинувшие остов узлы и связи ни в какой последующий момент времени не могут снова оказаться принадлежащими остову. Такие модели устроены проще остальныхнекоторые из них допускают точное решение.

Во второй главе будет изучаться ряд конкреных однокластерных моделей, в которых подобного ограничения нет. Методы их исследования почти исключительно численные. В конце главы будет рассмотрен общий случай.

Третья глава диссертации посвящена независимому от однокластерной проблематики вопросу о проводимости смеси из проводящих и изолирующих гранул чуть ниже порога перколяции по металлическим гранулам. Если полностью пренебречь кондактансом изолирующей гранулы, то проводимость, а окажется точно равной нулю. Чтобы получить содержательный ответ, необходимо учесть транспортные процессы с участием неметаллических зерен. Выбор модели определяется физикой этих процессовв классическом случае некогерентного активационного механизма ответ хорошо известен и дается стандартной моделью сопротивлений двух сортов.

Иначе обстоит дело, если доминирующим транспортным механизмом является квантово-туннельный. Он также приводит к простой геометрической модели, но уже не сводящейся к стандартной перколяционной (NNN-перколяции с исключением длинных изолирующих мостов). Хотя она оказывается лежащей в одном классе универсальности с классической, учет эффекта кулоновской блокады позволяет выделить на фазовой диаграмме две области нетривиальной степенной зависимости проводимости от температуры.

В заключении компактно перечислены основные результаты диссертации.

Заключение

.

Поскольку ряд сделанных утверждений носил индуктивный характер и обобщал отдельные рассеянные по тексту факты, приведем компактно основные утверждения диссертации.

1. Показано, что в простейшей однокластерной модели самовосстанавливающихся связей (SRBP) при конечной концентрации связей рс происходит топологический фазовый переход, при котором плотность остова Рв обращается в нуль (ptree < Рс < 1) где ptrce — наименьшая достижимая плотность). Система является точно решаемой в том смысле, что критическая концентрация рс и оба независимых критических индекса /3 (определяемый как Рв ~ (р-рсУ при р—рс < 1) и v (являющийся аналогом индекса корреляционной длины) могут быть выражены через критические характеристики стандартной некоррелированной перколяционной задачи.

2. Доказано, что фаза низкой плотности (ptree < р < рс) в модели SRBP, являясь плотной (ее массовая размерность D = d совпадает с размерностью пространства), характеризуется фрактальным поведением ряда метрических свойств — в частности, евклидов индекс dm-m (определяемый как? ~ Rdmin ПрИ д -" 1, где i — химическое, a R — евклидово расстояние между двумя узлами системы) имеет во всем диапазоне ptTee < Р < Рс постоянное значение dm-m > 1. Фактически в этом диапазоне rfm-n = <^mst, где dusT ~ стандартный евклидов индекс для минимального решеточного остовного дерева, при d = 2 равный c/mst — 1−22(1).

3. Численными методами исследовано поведение плотности остова и корреляционной длины в модели самовосстанавливающихся узлов (SRSP), а также в гибридных моделях, непрерывно интерполирующих между SRBP и SRSP. Установлено, что все такие модели испытывают переход SRBP-типа и имеют конечную область существования древесной фазы. Критические индексы в этих моделях оказываются близкими по величине, но точной универсальности нет: индекс (Зв непрерывно зависит от параметра смешивания моделей, изменяясь в диапазоне от Pb (SRBP) = 0.4757(10) до Pb (SRSP) = 0.463(2). При этом различий в индексах и и dm-n (в фазе низкой плотности и в критической точке) для моделей этого семейства в пределах точности расчета обнаружено не было.

4. Показано, что в модели образования гранулированного металла посредством последовательного выжигания неметаллических гранул («burning-and-sticking», BS) отсутствует топологический фазовый переход: плотность остова Рв остается ненулевой при сколь угодно низкой концентрации х узлов системы. Несмотря на быстрый рост корреляционной длины? (определяемой, скажем, как среднеквадратичный радиус лакун в системе), масса остова демонстрирует правильную зависимость от размера системы Mb ~ Ld до самых малых доступных значений концентрации х, соответствующую асимптотике Рв ~ х^в с индексом /Зв = 2.85(15).

При этом структура остова при низких плотностях кардинально отличается от низкоплотного остова обычной перколяционной системы: если в последнем существенным образом присутствуют циклы всех длин, а масса в терминах стандартной картины nodes-links-blobs сосредоточена в блоках (blobs), то в остове модели BS при малых х присутствуют только очень короткие и очень длинные циклы, а масса сосредоточена в связях (links).

5. Определены и численно исследованы модели, реализующие непрерывную однопараметрическую интерполяцию между BS и SRSP. Установлено, что при сколь угодно малой примеси BS-механизма система приобретает качественные свойства модели «burning-and-sticking»: фазовый переход отсутствует, плотность остова отлична от нуля во всем диапазоне 0 < х < 1 и имеет степенное поведение вблизи Рв ~ х@в вблизи а- = 0. При этом индекс рв непрерывно зависит от параметра смешивания Q: pB (Q = 1) = Pb (BS) = 2.85(15), pB (Q = 0.5) = 3.4(1), Pb (Q = 0.25) = 4.2(1). Таким образом, поведение BS-типа является устойчивым и неуниверсальным.

6. Сформулирован критерий, позволяющий предсказать наличие или отсутствие топологического фазового перехода в однокластерной модели: системы, в которых эволюционная процесс обеспечивает строго монотонное уменьшение остова, испытывают переход, а системы со сколь угодно слабыми механизмами восстановления остова (backbone reinforcement) всегда сохраняют ненулевую плотность остова.

7. Механизм действия слабых процессов восстановления остова численно продемонстрирован на примере модели с самовосстановлением двух связей (SRBP (2)) и непрерывного семейства ее гибридов с SRBP. Установлено, что для всех рассмотренных гибридных моделей качественное поведение наследуется от чистого случая SRBP (2) (т.е. фазовый переход отсутствует). На основании этих результатов сделан также вывод о том, что «решеточные резонансы» (приклеивания по числу точек, сильно превышающему размерность d) в модели BS не имеют определяющего значения.

8. Исследована проводимость неупорядоченной системы из металлических и изолирующих гранул несколько ниже порога перколяции по металлическим гранулам, когда проводимость определяется туннелированием носителей через изолирующие гранулы. В этом случае при понижении температуры кластеры, образованные малым количеством проводящих гранул, подвергаются кулоновской блокаде. Сформулирована адекватная этой ситуации модель перколяции по узлам, следующим за ближайшими, и исключенными малыми кластерамичисленно и аналитически показано, что проводимость, а такой системы степенным образом зависит от размера п исключенных кластеров: а ~ п~в, причем для индекса в найдено точное в любой размерности d выражение через стандартные перколяционные индексы. Соответственно, на фазовой х — Т диаграмме индентифицированы две области с нетривиальной степенной зависимостью проводимости от температуры, а ~ Т®-, а ~ Те' и получены выражения для индексов 0, 0'.

Публикации автора по теме диссертации.

1. A. S. Ioselevich and D. S. Lyubshin, «Phase transition in a self-repairing random network», Письма в ЖЭТФ, т. 79, стр. 286−290 (2004).

2. A. S. Ioselevich and D. S. Lyubshin, «Universality and non-universality in behavior of self-repairing random networks», Письма в ЖЭТФ, т. 89, стр. 486−490 (2009).

3. A. S. Ioselevich and D. S. Lyubshin, «Burning-and-sticking model for a porous material: suppression of the topological phase transition due to the backbone reinforcement effect», Письма в ЖЭТФ, т. 89, стр. 612−617 (2009).

4. A. S. Ioselevich and D. S. Lyubshin, «Percolation with excluded small clusters and Coulomb blockade in a granular system», Письма в ЖЭТФ, т. 90, стр. 746−752 (2009).