Разложения простых алгебр и супералгебр в сумму простых подалгебр

Данная работа посвящена изучению простых разложений некоторых типов неассоциативных алгебр и супералгебр Ли в сумму простых подалгебр. Под простым разложением мы понимаем разложение простой алгебры в сумму двух собственных простых подалгебр, причем сумма в разложении не обязательно прямая.

Задача о классификации простых разложений впервые изучалась Онищиком для случая комплексных и вещественных групп Ли. В его работе [7] была получена полная классификация всевозможных факторизаций редуктивных групп Ли. Рассматривая касательные пространства к простым группам Ли, из этой классификации можно получить классификацию разложений простых алгебр Ли над полем комплексных и вещественных чисел в сумму двух собственных редуктивных подалгебр.

В работе [16] Бахтуриным и Кегелем было показано, что не существует разложений простой ассоциативной алгебры в сумму простых подалгебр над произвольным алгебраически замкнутым полем.

В настоящей работе рассматривается вопрос о нахождении простых разложений в простой супералгебре Ли з1(т, п) и простых специальных йордановых алгебрах Н (Нп), Н{(^п) над алгебраически замкнутым полем которое имеет нулевую характеристику, в первом случае, и произвольную характеристику отличную от двух, во втором случае.

Первая глава является кратким изложением необходимых определений и фактов, в частности, классификации простых супералгебр Ли и йордановых алгебр.

Во второй главе изучаются разложения простых супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем F характеристики нуль в сумму двух собственных простых подалгебр. Напомним, что супералгеброй Ли? называется^{-градуированная} алгебра, то есть С — Со ф ?1, удовлетворяющая следующим тождествам:

1. Тождество суперкоммутативности х, у] = -(-1)аЪ, х].

2. Обобщенное тождество Якоби где х € Са, у € £р и г Е С.

В частности, произвольную алгебру Ли можно рассматривать как супералгебру Ли с тривиальной градуировкой.

В настоящей работе при расмотрении супералгебр термин «подалгебра» означает^{-градуированная} подалгебра.

Основное внимание в главе 2 мы уделяем разложениям супералгебры Ли з1(т, п) в сумму собственных простых подалгебр Ли классического типа.

Основным результатом этой главы является описание простых разложений супералгебр Ли в/(т, п) в сумму двух собственных классических простых подалгебр с точностью до типа разложения. Под типом разложения имеется в виду следующее. Если С — где ?1, ?2 ~ простые подалгебры, то тип разложения есть пара (£х,£2) с точностью до изоморфизма подалгебр С, ?2- Изучение всевозможных вложений подалгебр (£х,£2) данного типа в? не являлось целью даной диссертации.

Основным методом исследования простых разложений супералгебры Ли типа sl (m, n) является изучение структуры? о-модуля С для подалгебры учавствующей в разложении. Для этого используется аппарат теории представлении полупростых алгебр Ли, в особенности, теория старшего веса.

Хорошо известно, что если в матричной алгебре Mat (n) вместо операции матричного умножения XY рассмотреть операцию коммутирования [X, Y] = XY — YX, то мы получим алгебру Ли. С другой стороны, если вместо операции коммутирования рассмотреть следующую операцию X © Y = XY + YX, то мы получим йорданову алгебру.

Далее, возникает естественный вопрос о классификации простых разложении в простых йордановых алгебрах.

Глава 3 посвящена доказательству теоремы, описывающей все типы простых разложений в простой специальной йордановой алгебре J одного из двух типов H (Rn) и H (Qn) (см. определение в главе 1).

В алгебре H (lZn) существует только три типа неизоморфных простых разложений: Н (Лп) = А + В, где, А = H (Fn) и В изоморфна одной из следующих алгебр: H (Fn-.i), H (Fn) или H{lZn-). Построение этих примеров основывается на следующей идее: подалгебру, А мы рассматриваем в каноническом виде, то есть в виде множества симметрических матриц соответствующего порядка, а В есть образ канонической реализации для алгебр H (Fn-1), H (Fn) или H (7Zn-1) под действием автоморфизма алгебры Н (Пп) вида <�р (Х) = ^p-D^XD + ^&XiD1)-1, где D — невырожденная матрица с коэффициентами из поля F, 71 имеет вид F 0 vF.

Наконец, алгебра H (Qn) допускает разложения только в сумму подалгебр Ля В, обе из которых имеют тип H (1Zn).

Все упомянутые результаты работы являются новыми.

Автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору Ю. А. Бахтурину за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе, ценные обсуждения и комментарии.

Список научных работ автора.

1. Bahturin Yu., Tvalavadze М., Tvalavadze Т. Sums of Simple and Nilpotent Lie Subalgebras., Comm. in Algebra, vol. 30, 2002, 9, pp. 4455−4471.

2. Твалавадзе M. B, Твалавадзе T.B. Разложения простых специальных йордановых алгебр., депонир. в ВИНИТИ, 2287-В2002.

3. Твалавадзе Т. В. Разложения простых алгебр и супералгебр в сумму простых подалгебр, депонир. в ВИНИТИ, 1174-В2004.

1. Бурбаки Н. Модули, Кольца, Формы., Наука, Москва, 1966.

2. Дынкин Е. Б. Регулярные полупростые подалгебры в полупростых алгебрах Ли. Доклады акад. наук СССР 73(1950), 877 880.

3. Жевлаков К. А, Слинько А. М, Шестаков И. П, Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным., Москва, 1976.

4. Жевлаков К. А, Слинько А. М, Шестаков И. П, Ширшов А. И. Йордановы алгебры., Новосибирск, 1976.

5. Зельманов Е. Первичные йордановы алгебры., Сибир. мат. журнал, 24, 73−85.

6. Кац В. Классификация супералгебр Ли., Прилож. функц. анализа, 9, 1975.

7. Онищик А. Л. Разложения редуктивных групп Ли, Мат. сборник, 80(122), 1969, 4, 515−554.

8. Онищик А. Л. Топология транзитивных групп преобразований., М., Физматлит, 1995.

9. Сударкин A.B. Глобальные разложения супералгебр Ли Р (п) и Q (n), Вопросы теории групп и гомолог, алгебр, ЯрГУ, Ярославль 1988, 221−229.

10. Твалавадзе Т. В. Разложения простых алгебр и супералгебр в сумму простых подалгебрдепонир. в ВИНИТИ, 1175-В2004.

11. Твалавадзе М. В, Твалавадзе Т. В. Разложения простых специальных йордановых алгебр., депонир. в ВИНИТИ, 2287-В2002.

12. Шестаков И. П. Альтернативные и йордановы супералгебры., Сибир. мат. журнал, 9, 83−89.

13. Эльбаради М. О разложениях классических групп. Вопросы теории групп и гомологической алгебры, Ярославль, 1981, 115 124.

14. Albert A. On Jordan algebras of linear transformations., Trans. Amer. Math. Soc., vol. 59(1946), 524−555.

15. Bahturin Yu, Tvalavadze M, Tvalavadze T. Sums of Simple and Nilpotent Lie Subalgebras., Comm. in Algebra, vol. 30, 2002, 9, 4455−4471.

16. Bahturin Yu. A, Kegel O.H. Sums of simple subalgebras., Algebra, 11. J. Math. Sei. (New York) 93 (1999), 830−835.

17. Bahturin Yu, Mikhalev A. A, Petrogradsky V. M, ZaicevM.V. Infinite Dimensional Lie Superalgebras. Walter de Cruyter, Berlin, 1992.

18. Frappat L, Sciarrino A. Dictionary on Lie algebras and Su-peralgebras. Academic Press, London, 2000.

19. Frappat L, Sciarrino A, Sorba P. Structure of basic Lie su-peralgebras and of their affine extensions. Commun. Math. Phys. 121,1989.

20. Goto M, Grosshans F.D. Semisimple Lie algebras, Marcel Dekker, INC., New York, 1978.

21. Humphreys J.E. Introduction to Lie algebras and representation theory. Springer, Berlin Heidelberg New York, 9, 1972.

22. Jacobson N. General representation theory of Jordan algebra Trans. Amer. Math. Soc., 70, 1951, 3, 509−530.

23. Kac V.G. Lie superalgebras., Adv. Math., 26, 1977.

24. Kac V.G. Representations of classical Lie superalgebras., Lecture Notes in Mathematics, 676, 1978, Springer-Verlag, Berlin.

25. Kac V.G. A sketch of Lie superalgebra theory., Commun. Math. Phys., 53, 1977.

26. Kegel O.H. On the solvability of some factorised linear groups., Illinois J. Math., 9, 1965, 535 547.

27. Racine M.L. On Maximal Subalgebras, J. Algebra, 30,1974,155 180.

28. Scheunert M. The Theory of Lie Superalgebras., 716,1979, 271, Springer-Verlag, Berlin.