Аппроксимационные свойства систем экспонент на конечном и бесконечном интервалах

В диссертации исследуются аппроксимационные свойства систем экспонент в функциональных пространствах на конечном и бесконечном интервалах. Сюда входит изучение таких свойств систем, как полнота, минимальность 1 и базис. Систему е (Л) мы будем рассматривать в пространствах Ьр на интервале, а также в весовых .//-пространствах на интервале, полупрямой и прямой.

Впервые вопросы разложения функций в биортогональные на конечном интервале (—а, а) ряды были рассмотрены в работе Р. Пэли и Н. Винера [40]. Они дали таким рядам название негармонических рядов Фурье. С тех пор раздел анализа, посвященный исследованию аппроксимационных свойств систем экспонент на конечном интервале, нередко называют негармоническим анализом Фурье или просто негармоническим анализом. Он получил свое развитие в работах ' Н. ЛевинсонаЛ. Шварца, Р. Редхеффера, А. Бьерлинга и П. Мальявена, Б. Я. Левина, П. Кусиса, А. Ф. Леонтьева, Р. Янга, A.M. Седлецкого и других.

Теория аппроксимации посредством экспонент elXnt в пространствах LP с весом (1 ^ р < со) на полупрямой и прямой возникла из задачи об аппроксимации сдвигами функций, а также в процессе естественного распро-, странения негармонического анализа с конечного интервала на бесконечный. Этой тематике посвящены работы Р. Залика, Б. Факсена, A.M. Седлецкого, Б. В. Винницкого, Г. Денга и других.

Как хорошо известно, важную роль в решении упомянутых задач играют оценки целых функций определённого роста, нули которых совпадают с точками Ап. В свою очередь задача нахождения оценок таких функций по теореме Адамара сводится к поиску асимптотики канонических произведений с нулями Л, т. е. функций вида е (Л) = {eiA" '}nsz, А&bdquoе Л С С.

0.1) ~ Е с"е'А" ' пе ъ.

0.2) где т — это кратность нуля в последовательности Л, а р — род канонического произведения, т. е. такое целое число, что.

ОО, СО.

Etxj? = o°'? ОО.

Именно асимптотические оценки канонических произведений составляют центральную часть диссертации. Результаты об аппроксимационных свойствах систем экспонент являются следствиями этих оценок.

Случай конечного интервала всегда можно линейной заменой переменной свести к интервалу (—тг, 7г) и рассматривать пространства а) только при, а — п. Помимо классических пространств LP{—7Г, тг) в диссертации речь будет идти и о весовых пространствах определяемых следующим образом где uj{t) — вес на (—7Г, 7г). Первым исследовать аппроксимационные свойства систем е (Л) в таких пространствах стали А. Буавен и А. М. Седлецкий. У них, в качестве веса u)(t) выступала функция S uja (t) = Y[t — bja у s ^ 2, -тг = bi <. < bs = тг. (0.3).

3=1.

Пространства ЬРш обозначаются L^^. В случае, а = 0 пространство ЭТО В ТОЧНОСТИ LP (—7Г, 7Г). t.

Первая глава диссертации относится к негармоническому анализу. В параграфе 2 рассматриваются вопросы полноты систем (0.1) в пространствах LP. а, 7 Г.

§ 2. Хорошо известна следующая теорема Левинсона [39]: если п G С и 1-М ^ М + 1/(2р), то система е (А) полна в 17(—7Г, тг) (1 < р < оо), причем константа 1/(2р) — точная (т. е. при ее увеличении полнота нарушается). То, что полнота сохраняется в случае.

ОО.

JV—% ?

М < М + — + е-|&bdquo-|, еп > О, у — < оо,.

2р 11 ' п обнаружил A.M. Седлецкий [11], а также Р. Редхеффер и Р. Янг [42]. Но условие еп/п < оо не является необходимым. Это следует, например, из • следующей теоремы А. И. Хейфица [22]: пусть Л имеет следующий вид:

Aft = n+(i + r-^-г jsignn, Дб1, A0 = 0, Ai = -Ai = с,.

4 mnJ где действительное число с выбрано таким образом, чтобы в последовательности Л не было кратных членовтогда для полноты в ?2(—тг, тг) системы е (Л) необходимо и достаточно, чтобы Д ^ ¼.

В статье [42] для канонического произведенияРл (^) с нулями.

К = п + (+ ГТ~Г)^ё11 п' «т^ 0, ±1, 2р тп/.

А 6 К, Л0 = 0, Ах = -А1 = с (0.4) получена оценка:

Р (х + г)| = 0 (|ж|-" (1п |®-|)-2А), х > 2. (0.5).

С помощью этой оценки в [42] было установлено, что система е (Л) с Л вида (0.4) полна в Ьр (—7Г, 7г), если Д ^ тш (¼, 1/(2р)) и неполна, если Д > тах (¼, 1/(2р)). Позже, в [44] было показано, что полнота этой системы в ЬР{—7Г, 7г) (1 < р ^ 2) равносильна условию.

1 11 д^, — + - = 1. (0.6).

2д р д.

В [18] есть обобщение приведенной выше теоремы Левинсона на случай пространства Ь^у. если Ап € С и |АП| ^ |п| -Ь (1 + а)/(2р), то система е (А) полна в Ь^ (1 < р < оо, — 1 < а < р — 1), причем константа (1 + а)/(2р) точная. ,.

В [18] рассмотрен вопрос о полноте в системы е (А), когда.

Д е М, А0 = 0, Ах = —А1 = с. (0.7) Была доказана следующая теорема: если.

1<�р<�ос, тах (0, р — 2) ^ а < р — 1, (0.8) то для полноты е (А) в Ь^ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось (0.6). Заметим, что в этой теореме доказательство необходимости опирается на оценку (0.5).

Пусть /(?) — медленно меняющаяся функция, т. е. положительна, измерима на полуоси [А, оо], А > 0 и при всех, А > 0 удовлетворяет условию.

1(М) £—>оо т 1.

Пусть, кроме того, /(?) о, /(?) — дифференцируема и ?'(?) монотонна. В диссертации рассмотрен более общий по сравнению с (0.7) случай:

Ап = п + + пеЪ (0.9).

Получена следующая оценка:

Теорема (1.1). Пусть Л имеет вид (0.9). Тогда.

FA (z) х е7^ z-^R (z), z в П5(А). где.

R{t) = exp |-2 J ^ du j, Q5(A) = {z 6 С : — An| ^ <5 > 0 Vn€ Z}.

На основе этой оценки доказан следующий критерий полноты. теорема (1.2). Если выполнено условие (0.8), то для полноты системы е (Л) с Л вида (0.9) в Lva.

R4x). rl/1. 11, х р q.

Кроме того, с помощью теоремы 1.1 доказано достаточное условие базиса в системы е (Л) с Л вида.

Ап — п+ (а-И (n)) sign n, аеМ. (0.10) теорема (1.3). Пусть л имеет вид (0.10). Пусть выполнены условия (0.8) и.

1 4- а 1 1 + а.

2<�а< 2 р

Тогда система е (Л) образует в LP^ базис, обладающий свойством Рисса, а при р = 2, а — 0 — базис Рисса.

В параграфе 3 речь идет о избытках систем е (Л) в пространстве L2(—7г, 7г). Напомним, что избытком полной системы Е называется наибольшее количество элементов Е, которое можно удалить с сохранением полноты. (Под удалением элемента е из Е подразумевается переход от системы Е к системе Е{е}).

Будем обозначать избыток е (Л) в пространстве L2{—7г, 7г) за #2(Л). § 3. А. М. Седлецким была доказана следующая теорема [43]: если.

Хп = п— Д sign те + г aIn |га|, п <�Е Z{0}? А0 = О, А е М, а G 3R +, (0.11) то.

FA (x) х хГ~2А, |я|>2+|Д|. (0.12).

Пусть последовательность Л имеет вид.

Лп = п + г h (|n|), п е Z {0}, До = 0, (0.13) где h{t): К + —> М+. Оценка (0.12) позволила A.M. Седлецкому найти оценки снизу и сверху для избытков систем экспонент е (А) в пространстве.

L2(—7г, 7г):

1) Если для некоторого, а ^ О h{n) < о-Inn (п ^ п0), то J52(A) ^ [ал*] + 1. Если к тому же {шг} < ½, то Е2(Л) < [сет].

2) Если h2(n) и п2 h{n) ^ о-Inn (n ^ по, а > 0), тоE2(A) ^ [осж. Если к тому же {атг} ^ ½, то Ео (А) ^ [атт] 1. Эта теорема дает некую логарифмическую шкалу для нахождения избытка системы экспонент. Но эта шкала несовершенна, так как не всегда позволяет вычислить точное значение избытка.

В диссертации при некоторых ограничениях на функцию h (t), найдена точная оценка для канонического произведения с нулями (0.13) теорема (1.4). Пусть h (t): —> м+ — дифференцируемая вогнутая функция и h (L) — 0(tP), (3 < ½. Тогда xe^N), х el. Эта оценка позволила автору получить явную формулу для ^(Л). теорема (1.5). Пусть h (t) — функция из предыдущей теоремы. Тогда r /e7th (x)2.

Л) = max ^ п 6: / f——J dx = оо.

Мы переходим к параграфу 4, посвященному базисам из экспонент в пространствах Lva)7Г.

§ 4. Хорошо известна следующая теорема Кадеца [2]: если Хп G К. и sup |А&bdquo- - п < ¼, п то система е (Л) образует базис Рисса в L2{—тг, 7г). Константа ¼ в этой теореме является точной.

Результаты о базисах е (Л) в LP (—7Г, 7г) при р ^ 2, а также в пространствах принадлежат А. М. Седлецкому. Им же было введено понятие базиса, обладающего свойством Рисса (оно инициировано теоремой М. Рисса о сопряженном ряде Фурье функции из Lp (—7г, 7г), 1 < р < оо). Будем говорить, что базис е (А) банахова пространства В (a, b) обладает свойством Рисса, если оператор cneiXnt ]Г cneiA" ?

АпеЛ Re Ап>0 7 ограничен в В (а, Ь). Это понятие является некоторой заменой понятия базиса Рисса для пространств 7 Г, 7г) при р отличном от 2.

В [18] был получен аналог теоремы Кадеца об ¼ для случая регулярных возмущений целочисленной последовательности. А именно было показано, что если.

X I.

1<�р<�оо, тах (0,р- 2) ^ а <�р- 1, — 4- - = 1, (0.14) pq то система {ехр (г (п+Д signri) t)}n?% образует в Lбазис, обладающий свойством Рисса тогда и только тогда, когда.

1 ид 1 + а' Re Д < ——. 2 q 2р

В связи с этим результатом естественным образом возникает вопрос, образует ли в базис, обладающий свойством Рисса, система е (Л), удовлетворяющая условиям.

1 X J Q/.

— — < Ai ^ |ReAn| - |д| ^ Д2 < -77А.

2 q 2р

Im Л п < H < со, n€Z, sign Re An = sign п. (0.15).

Частично ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная в диссертации.

Теорема (1.6). Если выполнены условия (0.14) и (0.15), причем Д2 — Д1 < 1 /q, то система е (Л) образует в L?)7r базис, обладающий свойством Рисса.

Полученный результат является новым и для невесового случая, т. е. для пространства Lp (—7г, 7г), 1 < р < 2.

В связи с задачей о базисах Рисса из экспонент в L2(—7г, 7г) Б. Я. Левиным в конце 1960;ых годов [4] были введены так называемые функции типа синуса (ф.т.с), т. е. целые функции экспоненциального типа, для которых выполняется оценка.

F (z) х е7^!, |Imz = h{G) > 0, (0.16).

Им и посвящен параграф 5 главы I.

§ 5. Функции типа синуса нашли применение не только в негармоническом анализе, по и в спектральной теории и дифференциальных уравнениях. Большой интерес представляет вопрос о распределении нулей функций типа синуса.

Будем обозначать класс ф. т. с. за S. Важный подкласс в S образуют функции вида.

7 Г.

F (z) = J elztdcr (t), varo-(?) <+00, (0.17).

— TT где <�т (-£) имеет скачки в обеих точках ±-7г [18]- в этом случае нули Хп функции, удовлетворяют условию.

Ап = п + 0(1), п —> ±-оо. (0.18).

Но функции вида (0.17) с условием <�т (±7г) ^ сг (±7Г 0) не исчерпывают весь класс Б. В ряде работ строились ф.т. е., не являющиеся преобразованием Фурье-Стилтьеса, т. е. не представимые в виде (0.17) (об этом см. [18]) — во всех случаях нули построенных функций также удовлетворяли условию (0.18).

Обозначим через 1 ^(а, с-г) вырожденную гипергеометрическую функцию (см., например, [7]). В [19] показано, что при определенных условиях на, а и с функция.

Р (г) = е~{1гг! ^ (а, с- 2тг) принадлежит классу 5, но вместе с тем имеет следующую асимптотику нулей: 1 д 77, п = п + А + В-пп + 0 (^-Щ-1) > п ±00> Л <�Е С, В € Е, В^ 0.

Это, по видимому, первый пример функции типа синуса с асимптотикой нулей не укладывающейся в рамки формулы (0.18). В связи с этим результатом естественно возникает вопрос об описании функций /(?) +оо, таких, что последовательность.

А&bdquo- = п + г (|п|), пей, 1(п) = о (п). (0.19) является множеством нулей ф. т. с. Этот вопрос рассматривается в диссертации. Доказана следующая теорема (1.7). Пусть /(?) — вогнутая дифференцируемая функция, такая, что /(?) = 0(£а), 0 < а < 1. Тогда для того, чтобы последовательность (0.19) была множеством нулей некоторой ф. т. е., необходимо и достаточно выполнение условия • /'(?) = 0(1), г -> +оо.

Вторая глава диссертации посвящена аппроксимационным свойствам систем экспонент на полупрямой и прямой. Параграф 2 содержит в себе точные, оценки канонических произведений с нулями специального вида. Эти оценки носят не только прикладной характер (они используются в параграфах 3 и 4), но и являются самостоятельными результатам в задаче, идущей еще от Г. Валирона.

§ 2. За А (£) будем обозначать считающую функцию последовательности А, т. е. функцию, значение которой в точке? равно количеству (с учетом крат-ностей) элементов последовательности А, попавших в круг г ^ Ь. Рассмотрим канонические произведения с нулями вида.

А&bdquo- = -Л (п), р> 0, 9 где L (t) — некоторая медленно меняющаяся функция. Род р таких канонических произведений удовлетворяет неравенствам р ^ р ^ р + 1. Последовательность Л удобнее задавать через считающую функцию.

Л {t)~tpl{t), An? l, (0.20) где l (t) — уже какая-то другая медленно меняющаяся функция (зависящая от Lit)). Первые оценки для канонических произведений с нулями такого вида были получены Г. Валироном [46] и Б. Титчмаршем [45]. Они показали, что если A (t) имеет вид (0.20), где р нецелое, то при любом (р ^ 7 Г ln FA (re^)—— zpl®, г +оо, z = rei (p. (0.21) sm 7 Г р Понятно, почему оценка производится только на лучах, не совпадающих с отрицательной полуосью — на ней расположены нули канонического произведения. Но если исключить из окрестности точек Ап, то имеет место оценка, аналогичная (0.21): киРд (—т) ~ 7гctgirp • rpl®, г —" +оо, г + Ап| > 6 > 0.

Эта оценка для 0 < р < 1 принадлежит Е. Титчмаршу [45]. Распространить ' ее на случай произвольного нецелого р удалось Б. Я. Левину [3] и независимо от него А. Пфлюгеру [41]. Они получили равномерную оценку, аналогичную (0.21), во всей комплексной плоскости за исключением некоторого множества, содержащего точки Ап.

Множитель sin 7гр в знаменателе (0.21) указывает на то, что оценка в случае целого р должна быть другой. Н. Бовен [36] доказал следующую теорему: ¦ если р G N, то при любом ip тг lnFk{rei{f) ~ (-z)pT®, г +оо, г = reitp, (0.22) где dt, р = р,.

Кг) =.

J t 1.

00 г.

0.23) dt, Р = Р +1. г г.

В отличие от случая нецелого порядка, автору неизвестны асимптотические оценки на отрицательной полуоси при р целом (за исключением частного случая^д (г) = 1/Г (^), соответствующего последовательности Ап = —п).

Условие (0.20) слишком широкое, чтобы получить более точные асимптотические оценки для канонического произведения. К тому же вызывает интерес вопрос о поведении^л (^) вблизи точек последовательности Л. Решение обеих этих задач можно найти, наложив дополнительные условия на распределение нулей функции Для широкого класса последовательностей Л в диссертации найдены несколько первых членов асимптотикиРд (г) во всей комплексной.плоскости. Важно, что примененный автором подход является единообразным для всех р > 0 — как целых, так и нецелых.

§ 3. К вопросам аппроксимационных свойств систем е (Л) в весовых пространствах LP на полупрямой и прямой можно придти двумя путями. Первый из них — следующая теорема Н. Винера: если / G L^R) (/ G L2(E)), тогда для плотности в L^R) (L2(M)) линейных комбинаций сдвигов + Л), AGI (0.24) необходимо и достаточно, чтобы / ф 0 (/ ф 0 почти всюду).

Так как (f (t + А) У*= elXif (t), а преобразование Фурье задает изоморфизм пространства Ь2(Ш) на себя, то плотность линейных комбинаций сдвигов (0.24) эквивалентна полноте в Ь2(Ш) семейства экспонент eiXtg (t), A G Л С 1, (0.25) где g (t) = f (t). Таким образом, теорема Н. Винера допускает следующую формулировку: пусть g G L2(M) — для того, чтобы семейство (0.25) с Л = IR было плотно в L2(]R), необходимо и достаточно, чтобы g ф 0 почти всюду.

В связи с этим результатом возникает вопрос: существует ли неплотное в M множество Л такое, что система (0.25) полна в L2(M). Частично ответ на этот вопрос дает следующая теорема А. М. Седлецкого [13,18]: если g (t) ^ exp (-a-(|i|)), ieR, где сu (t) — положительная возрастающая функция на луче (0, оо) и йте il (K+)' то система (0.25) неполна в Ь2(Ш) пока, А неплотно в M.

Эта теорема означает, что система (0.25) с неплотным в M множеством, А может быть полной в Ь2(Ш) только при достаточно быстром убывании функции g (t).

К аналогичным задачам приводят и попытки распространить негармонический анализ с конечного интервала на бесконечный. О полноте систем • е (А) в 1/(1R) говорить не приходится, поскольку функции elXnt не лежат в р ^ 1. Чтобы разрешить проблему, можно домножить эти функции па подходящий вес (или, что-то же самое, рассмотреть их в весовых пространствах LP на прямой). В результате, мы снова приходим к системам (0.25). На сегодняшний день наиболее изученным является случай g (t) = е" *, а > 0, Q' > 1. il.

В работах Б. Факсена, Р. Залика и Т. Абуабары Саад, A.M. Седлецкого, Т. А. Сальниковой и Г. Денга в основном исследуется полнота систем е (Аа, а) = ie’lXnte~a^a.

I) nGN.

Вопросы минимальности и равномерной минимальности таких систем исследованы в меньшей степени.

Заметим, что задача аппроксимации системами е (Аа, а) в пространствах L^R) и LP (R+) эквивалентна задаче аппроксимации системами е (А) в весовых пространствах.

LP (R, exp (~apta) dt) и Lp (R+, exp (~apta) dt).

Далее нам понадобятся следующие обозначения: /3 — это число, сопряженное с, а (т. е. f3~l + а~г = 1),.

Ш а) =.

Р (аа)Р/а'.

В параграфе 3 речь пойдет о достаточных условиях полноты систем весо-' вых экспонент е (Ла, а) в пространствах и 1 ^ р ^ оо (для единообразия формулировок будем обозначать Ь°°(Ш) = Со (М)). Важные результаты в этом направлении были получены А. М. Седлецким. Он доказал, что если последовательность, А положительна и обладает плотностью А/з (Л) при порядке /3, то для полноты системы е (Ла, а) в 17(1), 1 < р ^ со необходимо, чтобы.

71″ 2р и достаточно, чтобы.

А0(А)>^К (/3,а)з1п^. (0.26).

Для произвольных, не обязательно положительных, последовательностей Л А. М. Седлецким было дано следующее достаточное условие полноты: если.

Ар (А) + А/?(Л) > ерК (0, а), (0.27) то система е (Ла, а) полна в 1 ^ р ^ оо.

Обозначим 1.

Верхней усредненной плотностью последовательности Л при порядке (3 назовем.

Аналогично определяется нижняя усредненная плотность Дз (А) и усредненная плотность Цэ (Л). Имеет место следующая.

12 теорема (2.2). Для полноты системы е (Л-а, а) в LP®, 1 ^ р ^ оо 1 достаточно выполнения условия.

2тг.

Dp{A) > К^ а) J | cos tfdt. (0.28) о.

Достаточное условие (0.27) полноты системы е (Ла, а) следует из теоремы = 2.2.

Возникает вопрос о точности оценки (0.28). Ответ на него в случае (3 = 2 (при этом правая часть неравенства (0.28) равна 1/(8а)) дан в диссертации.

Теорема (2.3). Для любого 0 ^ D < 1/(8а) существует неполная в пространстве LP (Ж), 1 ^ р ^ оо система экспонент е (Л-а, 2), такая, что D2(A) = D. i.

Заметим, что теорема 2.2 для случая р — 2, 1 < су ^ 2 доказана в работе [6]. Там же без каких-бы то ни было обоснований приведено утверждение о точности оценки (0.28). Теорема 2.2 для всех доказана в диссертации.

Возьмем положительную последовательность Л с плотностью Д2(Л). Усредненная плотность такой последовательности равна Д2(Л)/2. Пользу' ясь достаточным условием (0.26) полноты системы е (А-а, си), а также тем, что К (2, а) = 1/(4а), получаем следующий результат: для любого D > 1/(1б7га) существуют полные в? Р (М), 1 р со системы весовых экспонент е (Ла, 2), такие, что усредненная плотность Л равна D.

Таким образом, в случае (3 = 2 возникает интервал db ?) ¦ (а29) такой, что если усредненная плотность последовательности Л находится справа от него, то система е (Ла, 2) полна в &*(№.), 1 ^ р ^ оо, а если внутри, то система е (Ла., 2) может быть как полной, так и неполной.

Для пространств ЬР (Ш+) верны аналогичные результаты. В этом случае f в роли (0.29) выступает интервал (1/(327га), 1/(16а)).

В параграфе 4 речь пойдет о полных и одновременно минимальных системах весовых экспонент в пространствах ЬР (Ш) и LP (M+). § 4. Первый пример системы весовых экспонент е (Л-а, а) полной и одновременно минимальной в L2® принадлежит Р. Залику и Т. Абуабара Саад [47]. Они доказали, что при 4.

А = IJ {2^/Шсхр (г (j + | k)) U {0} U {1} (0.30) fc=i система е (Л- ½, 2) является полной и минимальной в Ь2(Ш). Т. А. Сальникова [9,10] и А. М. Седлецкий [14] рассмотрели последовательность, А более общего по сравнению с (0.30) вида: где Ai А2 выбраны таким образом, что в последовательности, А нет кратных членов. Было доказано, что для полноты и минимальности системы е (А, ½, 2) с, А вида (0.31) в ЬР (Ш), 2 ^ р < оо необходимо и достаточно, чтобы —1/(4р) 1/(4q).

Условие, а = 2 являлось существенным для доказательства этих резуль-' татов. Это связано с тем, что для определения аппроксимационных свойств системы е (Аа, а) требуются точные асимптотические оценки канонических произведений с нулями А. А такие оценки при аф-2 известны не были.

Первые примеры полных и минимальных в LP® и в LP (R+), 1 ^ р ^ оо систем е (Аа, а) принадлежат A.M. Седлецкому [15,17]. В качестве.

А им было взято множество нулей некоторой целой функции, являющейся. линейной комбинацией функций Миттаг-Леффлера. В силу построения, выписать, А в явном виде нельзя.

В диссертации рассматриваются системы e (Aa, cv) с множеством, А вида.

2 к 4 к где аи — определенные комплексные числа, а 1{р) — некоторая медленно меняющаяся функция, стремящаяся к нулю на бесконечности. Оценки, полученные в параграфе 2, позволили найти необходимые и достаточные условия полноты и минимальности таких систем в ЬР{Ш.) и.

Материал диссертации можно отнести к двум разделам анализа: теории целых функций и теории аппроксимации. Первому принадлежат оценки канонических произведений, а второму их приложения.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора [25−35].

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, профессору А. М. Седлецкому за постановку задач, ценные советы и постоянное внимание ' к работе.

A= (J {2л/тг (п + Ц ехр (г (7 + | /с)) } U {Хг} U {А2}, h>-1, 7 е [0, тг/2), (0.31) а (5.

1. Юхименко А. А. Об одном классе функций типа синуса. // Математические заметки, 2008, том 83, вып. 6, стр. 941−954.

2. Юхименко А. А. Базисы из экспонент в весовых пространствах Ь''(—тг, тг). // Вест. Моск. Ун-та, матем. механ. 2010, № 2, С. 36−38.

3. Юхименко А. А. Полные и минимальные системы весовых экспонент на полупрямой и прямой. // Тезисы докл. Intern. Conf. on Complex Analysis in Memory of A. A. Goldberg. Lviv, Ivan Franco National University, 2010. C. 139.

4. Юхименко А. А. Канонические произведения, порожденные возмущениями целочисленной последовательности, и их асимптотические оценки. // Известия РАН, серия математическая, том 74, № 5, 2010, С. 205−224.

5. Levinson N. Gap and density theorems. New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1940.

6. Paley R., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. Publ. Amer. Math. Soc., New York, 1934.

7. Pfluger A. Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Functionen I, II. // Comm. Math. Helv., 11 (1938), 180−213- 12 (1939), 25−69.

8. Redheffer R., Young R.M. Completeness and basis properties of complex exponentials. // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. — V.277. — P.93−111.

9. Sedletshi A. M. On completeness of the system {ехр (га-(м + г hn))}. // Anal. Math., 1978, V.4, P.125−143. 1 44] Sedletskii A. M. Nonharmonic analysis. // J.Math. Sciences. 2003. — V.116, № 5. — P.3551−3619.

10. Titchmarsh E. C. On integral functions with real negative zeroes. // Proceeding of the London Mathematical Society, 1927, 26, 185−200.

11. Valiron G. Sur les functions entieres d’order fini, et d’orde nul, etparticuliere les functions a correspondence reguliere. // Ann. Fac. Sci. Univ. Touluse, 1913, 5, 117−257.

12. Zalik R.A., Abuabara Saad T. Some theorems concerning holomorphic Fourier transforms. // J. Math. Anal. Appl. 1987. — V. 126. — P. 483−493.