Оптимальное проектирование элементов нагруженных конструкций, подверженных действию агрессивных сред

Необходимость развития методов оптимального проектирования нагруженных конструкций, с целью разработки математически строгих универсальных алгоритмов выбора наилучших проектов конструкций, мало кем оспаривается сегодня. Конечной целью этого развития является как расчет конкретных параметров теоретически наилучших проектов, так и выявление несложных эмпирических правил, которыми может руководствоваться разработчик при проектировании рациональных конструкций определенных классов.

За несколько десятилетий, прошедших с 50-х годов, трудами многих отечественных и зарубежных ученых, в частности, Баничука Н. В., Корнишина М. С., Крысько В. А., Лурье К. А., Малкова В. П., Немировского Ю. В., Ольхоффа Н., Почтмана Ю. М., Прагера В. и их последователей был накоплен большой опыт по оптимизации формы упругих однородных тел. Сформировались основные направления решения соответствующих экстремальных задач. Выделился класс относительно простых модельных задач, решаемых целиком аналитическими методами и предназначенных для создания начальных представлений о существовании и единственности, поведении решения, его чувствительности к изменению параметров. Уже такие задачи содержат несколько нелинейных ограничений на варьируемые величины в форме равенств и неравенств, поэтому для их решения понадобилась модификация классических вариационных методов. В этой связи отметим нелинейное преобразование пространства варьируемых параметров, используемое для включения ограничений-неравенств в функционал Лагранжа и приводящее к задаче на безусловный экстремум [40], методы теории оптимального управления, сводящие исходную задачу к специального вида граничной с дополнительным условием на максимум некоторой функции-гамильтониана [40,66]. При невозможности дать полное аналитическое решение структура уравнений преобразованной задачи в некоторых случаях подсказывает алгоритм численного решения, обычно итерационного типа [10,117].

В постановках второго класса задач оптимизации введением более совершенных моделей пытаются приблизиться к свойствам реальных материалов, условиям работы конструкций, особенностям технологии изготовления, что ведет к существенному их усложнению. Особенно заметно это усложнение при расчете и проектировании составных конструкций, не допускающих поэлементного разложения. Задачи такого рода сводят к проблеме параметрической оптимизации образованием вектора варьируемых параметров, или, иными словами, осуществляя переход от бесконечномерного пространства вариаций к конечномерному [69]. Компоненты указанного вектора входят в граничные условия (при оптимизации формы трехмерного тела) или как коэффициенты в дифференциальные уравнения граничной задачи (при оптимизации форм стержней, пластин, оболочек) теории упругости. При этом предполагается разрешимость прямой задачи для любого вектора из заданной области варьирования и что по решению прямой задачи значение функции цели определятся однозначно. Таким образом, задача оптимального проектирования математически сводится к задаче нахождения экстремума функции многих переменных, для численного решения которой имеется большое количество алгоритмов [34,38,92,103,123]. Универсальность алгоритмов параметрической оптимизации и стремительный рост производительности вычислительных машин вкупе с неизбежностью перехода к конечномерной проблеме в ходе численного решения [117] сформировали мнение, что любые экстремальные задачи естественно решать в рамках параметрической оптимизации [45,97].

Использование подхода параметрической оптимизации при определении оптимальной формы нагруженной конструкции сводится к последовательному решению в рамках некоторого поискового алгоритма прямых задач теории деформируемого тела по определению напряженно-деформированного состояния. В классической дифференциальной постановке прямой задачи рассматривается некоторая пространственная область О, занятая линейно-упругим изотропным материалом конструкции с известными значениями упругих констант, являющимися постоянными параметрами. Для внутренности О составляется система дифференциальных уравнений статики, совместности и физических соотношений, замкнутая относительно компонент тензоров напряжений, деформаций и вектора перемещений, выступающих в качестве переменных параметров или параметров состояния. Для выделения единственного решения указанная система дополняется необходимым количеством граничных условий в виде уравнений для напряжений и перемещений на границе области дО.

Учитывая некоторую свободу в пространственном распределении материала конструкции при ее изготовлении, можно поставить вопрос о нахождении наилучшего по некоторому критерию среди всех возможных распределения, иными словами — наилучшей формы границы сЮ. Указанный критерий, называемый критерием качества или цели, обычно представляется интегральным по О или локальным функционалом от параметров состояния. Для отделения неработоспособных проектов вводятся ограничения-неравенства на параметры состояния, представляющие тот или иной критерий прочности. Кроме того, добавляются ограничения для отделения тривиальных и технологически неосуществимых вариантов. Таким образом, задача нахождения наилучшей или оптимальной формы границы сводится к задаче на условный экстремум для функции многих переменных при ограничениях-равенствах в виде уравнений статики, совместности, физических соотношений и ограничениях-неравенствах для внутренности О, вместе с граничными условиями на дО.

Классической описанная выше постановка названа потому, что наибольшая часть решенных по оптимальному проектированию задач укладывается в ее рамки [11,19,73,85,107,105,106,117]. Этот факт объясняется, на наш взгляд, следующими причинами. Предположение о линейной упругости материала является базовым, с него начинается большинство расчетов в механике деформируемого тела. Линейность получаемых уравнений позволяет максимально расширить область применимости аналитических методов, хотя соотношения задачи оптимального проектирования даже в этом случае, как правило, нелинейны. Во-вторых, промышленность традиционно отличается разнообразием способов формообразования изделия (литье, прессование, фрезерование, резание, сверление, расточка, наплавка и т. д.), что позволяет разработчику надеяться на принципиальную, по крайней мере, возможность придания изделию оптимальной формы.

Очевидно, что приведенная выше постановка, а именно, постановка задачи оптимального проектирования формы упругих тел, являясь базовой, отнюдь не исчерпывает всех возможностей оптимизации в теории деформируемого тела. Во-первых, ей исключаются динамические эффекты и вообще все явления, зависящие от времениво-вторых, оптимизировать можно не только очертания конструкции, но и распределения поверхностной нагрузки и свойств материалав-третьих, приближение линейной упругости иногда является чрезмерно огрубляющим и т. д.

Под влиянием практических потребностей и по мере увеличения числа решенных задач стали открываться пути совершенствования постановок. В частности, выяснилось, что оптимальное управление формой поверхности подкрепленной ребрами изгибаемой пластины без наложения требования гладкости приводит в отдельных случаях к сингулярным решениям типа бесконечного числа бесконечно узких ребер [14,79]. Похожая ситуация складывается при максимизации крутильной жесткости стержней, изготовленных из двух различных материалов, граница между которыми не подчинена требованию гладкости [66]. Регуляризацию решения можно естественным образом осуществить, если считать такую структуру ребер непрерывным анизотропным материалом с эффективными константами упругости, полученными в результате соответствующего усреднения. При таком расширении решение задачи оптимального проектирования приводит к гладкой поверхности пластины. Допущение к рассмотрению анизотропных материалов позволяет не только корректно поставить задачу оптимизации, но и улучшить значение функционала качества по сравнению со случаем однородно-изотропного материала. Этот теоретический вывод подтвердил интуитивные представления о том, что введение неоднородности и анизотропии существенно расширяет возможности оптимального проектирования.

Ценность теоретического исследования по оптимальному проектированию зависит не в последнюю очередь от степени соответствия практике конструирования. Степень соответствия, надо сказать, оставляет желать лучшего. Смирясь с этим, указывают, что цель исследований — подсказать инженеру-проектировщику направление совершенствования конструкции, пути задействования неиспользованных резервов. Это замечание, как указывают, не может служить упреком теории, поскольку учет даже основных факторов при проектировании реальной конструкции невозможно осуществить, оставаясь в рамках теории деформируемого тела [66].

Тем не менее, сократить этот отрыв теории от практики в наших силах. Это можно осуществить путем совершенствования как постановок задач оптимизации, о чем говорилось выше, так и моделей внешних воздействий, деформирования и прочности материала, применяемых при анализе поведения конструкции.

Известно, что физические и механические свойства любых конструкционных материалов меняются с течением времени под действием внутренних необратимых термодинамических процессов. На эти процессы оказывают влияние как внутренние факторы — структура материала, величины действующих напряжений и деформаций, так и внешние — взаимодействующие с материалом по всему объему или по поверхности различные поля и среды. В большинстве случаев свойства материала ухудшаются со временем, при этом говорят о деградации материала. Очевидно, что в классической постановке задачи оптимального проектирования деградацией материала под внешними воздействиями пренебрегают, что является оправданным в случаях рассмотрения массивных объемных, короткоживущих элементов либо малоактивных воздействий. Однако проектирование тонкостенных элементов, рассчитанных на длительный срок службы, например, химических реакторов, топливных резервуаров, подземных нефтеи газопроводов, трубопроводов системы охлаждения ядерных реакторов, паропроводов высокого давления и т. д. без учета деградации лишено смысла.

Учет деградации выводит оптимальное проектирование на новую ступень, в основе которой лежит точка зрения на конструкцию как на процесс, развивающийся во времени. Закономерным итогом принятия этой точки зрения является распространение самой процедуры оптимального проектирования на все время эксплуатации, что в самой полной мере находит отражение в концепции управляемых конструкций [6,7,8,9].

Управляемая конструкция определяется как система, состоящая из собственно несущей нагрузку деформируемой структуры, датчиков состояния, блока анализа и принятия решения, и исполнительных устройств (актуаторов). Блок анализа, реализованный на аналоговой или цифровой основе, непрерывно отслеживает состояние конструкции, подверженной всевозможным внешним воздействиям, с помощью датчиков состояния и, вырабатывая управляющее решение, воздействует на конструкцию с помощью актуаторов. Датчики обеспечивают блок анализа информацией о величинах смещений и деформаций в определенных точках конструкции, либо информацией о величине внешних воздействий. Включение датчиков по первой схеме позволяет сформировать управление с прямой и обратной связью, по второйпрямое упреждающее управление. Актуаторы осуществляют силовое воздействие на управляемую конструкцию, обычно ведущее к изменению ее геометрии. Эта схема, не являясь чем-то новым для автоматических летательных и вообще движущихся аппаратов, в приложении к строительным конструкциям обещает последним кардинальные изменения внешнего облика, экономических показателей, способов анализа и оптимального проектирования. На этом пути предложены проекты стабилизации диаграммы направленности антенны, испытывающей ветровые и снеговые нагрузкиспособ защиты плотины от растущего динамического напора водыспособ автоматического управления несущей способностью многопролетной неразрезной балкиустройство сейсмостойкого здания и др. [118]. Однако, как отмечается исследователями [8], в настоящее время во многих случаях применение технологии управляемых конструкций экономически менее выгодно, чем использование традиционных способов конструирования. Новая концепция может быть реализована при проектировании уникальных сооружений — космических платформ, сверхбольших радиотелескопов, плотин ГЭС и т. п. Остальные же конструкции, скорее всего, еще немалое время будут подвергаться в лучшем случае дискретно-многоразовому, или коррективному [101] управлению — на стадии проектирования и при проведении ремонтов.

Настоящее исследование посвящено разработке классических методов управления конструкциями, изменяющимися во времени, которые основаны на оптимальном проектировании конструкций по начальным параметрам. Что касается причин, приводящих к изменению этих параметров, главное внимание уделим воздействию агрессивных сред. Данный выбор объясняется, во-первых, наличием обширного парка конструкций, поведение которых определяется в основном контактом с какой-либо газообразной или жидкой агрессивной средойво-вторых, величиной ущерба от такого контакта. Известно, например, что в США на восполнение коррозионных потерь расходуется около 40% ежегодно производимого металла [8В]. Всвязи с этим можно ожидать, что оптимальное проектирование конструкций, должным образом учитывающее эффекты взаимодействия с агрессивными средами, должно привести к существенно большей экономии ресурсов, чем проектирование, которое эти эффекты игнорирует. В-третьих, в последние десятилетия теория учета агрессивных воздействий при решении задач деформирования конструкций и прочностных задач развилась до такого уровня, который позволяет без особого труда ставить и задачи оптимального проектирования. Поскольку в большинстве случаев агрессивная среда самым активным образом влияет на свойства материал конструкции, в первую очередь на константы упругости, плотность, пределы прочности и деформации [80,83,87,88], представляется разумным вопросы оптимизации при наличии агрессивных воздействий изучать совместно с проблемами оптимального проектирования по свойствам материала. Поэтому в работе значительное внимание уделяется анализу публикаций по обоим научным направлениям.

Учитывая изложенное, в качестве целей диссертационной работы были определены: постановка задач поиска оптимального распределения объема материала или закона распределения его механических свойств для элементов конструкций, эксплуатируемых в условиях агрессивных воздействийпостроение эффективного численного алгоритма решения поставленных задач и методики анализа чувствительности показателей качества оптимальных решений к возможным отклонениям нагрузки, параметров агрессивных воздействий и других определяющих величинполучение решений задач оптимального проектирования с учетом агрессивных воздействийанализ практической применимости полученных решений.

Научная новизна работы заключается в следующем: в выполнен анализ работ, посвященных как оптимальному проектированию конструкций по свойствам материала, так и оптимальному проектированию в условиях агрессивных воздействий, приводящих к изменению во времени геометрических и физических параметров конструкций, на основе которого отмечены наиболее перспективные направления развития теории оптимального проектирования конструкций с учетом реальных условий эксплуатациисформулированы задачи оптимального проектирования по толщине для круглых изгибаемых пластин, по свойствам материала для армированных толстостенных труб, подверженных воздействию агрессивных средполучены соответствующие системы уравнений, описывающие кинетику коррозионных процессовпостроена методика численного решения указанных задач на основе метода последовательного квадратичного программирования- ¦ получены оптимальные проекты круглых пластин и толстостенных труб в условиях агрессивных воздействий, для различных величин нагрузки, параметров коррозионного процесса и других определяющих параметровм предложена методика исследования вопросов практической реализуемости найденных оптимальных проектов на основе анализа чувствительности показателей качества проекта к возможным изменениям некоторых определяющих параметров. Практическая ценность работы состоит в разработке методик и алгоритмов оптимального проектирования тонкостенных круглых пластин и толстостенных труб, взаимодействующих с агрессивной средой, которые могут использоваться проектными организациями при разработке конструкций, предназначенных для работы в экстремальных условиях эксплуатации.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием фундаментальных принципов теории упругости и вытекающих из них обоснованных гипотез и предположений, контролем выполнения последних в ходе поиска оптимальных решений, использованием надежных численных алгоритмов, корректностью формулировок задач, единым подходом к их решению. В тех случаях, где это возможно, проведены сравнения полученных результатов оптимизации и решений тестовых задач с данными других исследователей, при этом выявлено удовлетворительное совпадение результатов.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: научно-технических конференциях Саратовского государственного технического университета (1995;1999 гг.) — научно-технической конференции «Строительные конструкции и расчет сооружений» (Новосибирск, 1996 г.) — научно-методической конференции «Современные технологии в промышленности, строительстве и высшем образовании» (Камышин, 1996 г.), 3-х академических чтениях «Актуальные проблемы строительного материаловедения» (Саранск, 1997 г.) — научно-техническом семинаре кафедры «Железобетонные и каменные конструкции» Пензенской государственной архитектурно-строительной академии (Пенза, 1998 г.), Всероссийской научно-методической конференции «Дистанционное образование, состояние и перспективы развития» (Саратов, 1998) — межвузовской научно-технической конференции «Математическое моделирование» (Саратов, 1999) — научных заседаниях кафедры «Мосты и транспортные сооружения» Саратовского государственного технического университета (1996;1999 гг.). В полном объеме диссертация докладывалась и обсуждалась на научном семинаре кафедры «Мосты и транспортные сооружения» Саратовского государственного технического университета (Саратов, 1999 г.).

Публикации. Основные положения диссертации изложены в 7 научных работах [29,30,31,81,84,102,119].

На защиту выносятся: в постановки задач оптимального проектирования круглых однородных изгибаемых пластин и армированных толстостенных труб, подверженных воздействию агрессивных средя методика численного решения задач оптимального проектирования элементов конструкций, подверженных воздействию агрессивных сред, приводящих к изменению геометрических параметров и свойств материала конструкций- ¦ результаты решения задач оптимального проектирования и анализа чувствительности оптимальных решений.

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов и списка литературы.

Выводы, но диссертации.

1. Произведен анализ литературы, посвященной оптимальному проектированию нагруженных элементов конструкций по свойствам материала, а также оптимальному проектированию в условиях воздействия агрессивных сред.

2. Получены соотношения, определяющие кинетику изменения напряженно-деформированного состояния круглых однородных пластин при коррозионном износе и толстостенных композитных труб при диффузионном проникании агрессивной среды.

3. Предложен эффективный алгоритм поиска минимакса системы гладких функций и показано, что задачи оптимального проектирования круглых пластин и толстостенных труб могут быть сформулированы в виде, допускающем применение для их решения указанного алгоритма.

4. Получены оптимальные проекты круглых пластин и труб в условиях воздействия агрессивных сред, дающие существенную экономию материалав случае трубы впервые решена задача оптимизации по свойствам материала с учетом воздействия агрессивных сред.

5. Произведен анализ чувств ител ыюети показателей качества оптимальных проектов к вариациям таких определяющих параметров, как распределение нагрузки, толщины у пластин, плотности армирования у труб, констант агрессивных воздействийпоказано, что существуют такие сочетания определяющих параметров, при которых оптимальное проектирование не имеет смысла из-за чрезмерной зависимости показателей качества проектов от вариаций этих параметров.