Нахождение статистических характеристик решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами
Диссертация
Эти результаты являются перспективными и могут быть использованы для нахождения моментных функций решений и других дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами, являющихся моделями различных процессов. Полученные результаты позволяют находить моментные функции высокого порядка решений дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка для случая п — мерного фазового… Читать ещё >
Содержание
- Глава 1. Основные понятия
- 1. 1. Определение и свойства обобщенных функций
- 1. 2. Свертка обобщенных функций
- 1. 3. Преобразование Фурье и его свойства
- 1. 4. Вариационная производная
- 1. 5. Некоторые факты из теории вероятностей
- 1. 6. Простейшие формулы численного вариационного дифференцирования
- Глава 2. Уравнение теплопроводности со случайными коэффициентами
- 2. 1. Постановка задачи
- 2. 2. Нахождение решения задач с вариационной производной
- 2. 2. 1. Уравнение первого порядка с вариационной производной
- 2. 2. 2. Уравнение третьего порядка с вариационной производной
- 2. 3. Математическое ожидание решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами
- 2. 3. 1. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания
- 2. 3. 2. Формула математического ожидания решения задачи (2.1), (2.2)
- 2. 4. Частные случаи нахождения математического ожидания
- 2. 4. 1. Случай независимых процессов е и /
- 2. 4. 2. е — гауссовский случайный процесс
- 2. 4. 3. е — равномерно распределенный случайный процесс
- 2. 4. 4. Случай распределения Лапласа
- 2. 5. Оценка погрешности при замене коэффициентов уравнения их средними значениями
- 2. 6. Вторая моментная функция решения уравнения теплопроводности
- 2. 6. 1. Вспомогательная задача Коши
- 2. 6. 2. Формула второй моментной функции решения задачи (2.1), (2.2)
- 2. 7. Вторая смешанная функция решения уравнения теплопроводности
- 2. 8. Частные случаи нахождения второй моментной функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами
- 2. 8. 1. Случай независимых случайных процессов
- 2. 8. 2. Случай нормально распределенного случайного процесса
- 2. 9. Дисперсионная функция решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами
- 2. 10. Частные случаи нахождения дисперсионной функции
- 2. 10. 1. Случай независимых случайных процессов
- 2. 10. 2. е — гауссовский случайный процесс
- 3. 1. Уравнение диффузии с пятью случайными коэффициентами
- 3. 1. 1. Постановка задачи
- 3. 2. Решение задач с вариационными производными
- 3. 2. 1. Линейное дифференциальное уравнение, первого порядка с вариационными производными
- 3. 2. 2. Линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с вариационными производными
- 3. 3. Математическое ожидание решения уравнения диффузии с пятью случайными коэффициентами
- 3. 3. 1. Переход к детерминированной задаче
- 3. 3. 2. Вывод формулы для математического ожидания решения задачи (3.1), (3.2)
- 3. 4. Частные случаи нахождения первой моментной функции решения задачи (3.1), (3.2)
- 3. 4. 1. Случай независимых случайных процессов
- 3. 4. 2. Случай гауссовских случайных процессов
- 3. 5. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка со случайными коэффициентами
- 3. 5. 1. Постановка задачи
- 3. 5. 2. Переход к детерминированной задаче
- 3. 6. Разностные методы отыскания математического ожидания
- 3. 7. Исследование на устойчивость
- 3. 8. Нахождение математического ожидания решения задачи (3.20) — (3.22)
- 3. 9. Примеры вычисления математического ожидания
- 3. 9. 1. Случай нормально распределенного случайного процесса
Список литературы
- Адомиан Дж. Стохастические системы / Дж. Адомиан. М.: Мир, 1987.- 376 с.
- Боголюбов Н.Н. Введение в теорию квантовых полей / Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. М.: Наука, 1976 .- 479 с.
- Боровикова М.М. Моделирование диффузии вещества в плоской случайно-неоднородной среде / М. М. Боровикова, В. Г. Задорожний // Вести. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии. Воронеж, 2006 — № 2.-С. 10−18.
- Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е. С. Вептцель, J1.A. Овчаров. Учеб. пособие для втузов. — 2-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2000: — 383 с.:ил. М.: Наука, 1986 — 431 с.
- Вишик М.И. Аналитические решения уравнения Хопфа, соответствующего квазилинейным параболическим уравнениям или системе Навье-Стокса / М. И. Вишик // Задачи механики и математической физики. М., 1976 .С. 69−97.
- Вишик М.И. Трансляциоино-однородные статистические решения и индивидуальные решения с бесконечной энергией системы уравнений Навье-Стокса / М. И. Вишик, А. В. Фурсиков // Сиб. мат. журн. 1978 .- Т. 19, № 5- С. 1005−1031.
- Владимиров B.C. Уравнения математической физики, изд. 3-е / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1976 528 с. с илл.
- Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1976 .- 280 с.
- Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро дифференциальных уравнений / В. Вольтерра. — М.: Наука, 1982 .- 304 с.
- Гельфанд И.М. Интегрирование в функциональных пространствах и его применение в квантовой физике / И. М. Гельфанд, A.M. Яглом // Успехи мат. наук. 1956 .- Т. 11, № 1(67). — С. 77−114.
- Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов / И. И. Гихман, А. В. Скороход. М.: Наука, 1977 .- 568 с.
- Годунов С.К. Разностные схемы / С. К. Годунов, B.C. Рябенький. М.: Наука, 1973 400 с.
- Далецкий Ю.Л. Дифференциальные уравнения с функциональными производными и стохастические уравнения для обобщенных случайных процессов / Ю. Л. Далецкий // Докл. АН СССР. Т. 166, № 5. — С. 1035−1038.
- Далецкий Ю.Л. Эллиптические операторы в функциональных производных и связанные с ними диффузионные уравнения /Ю.Л. Далецкий // Докл. АН СССР. 1966 Т. 171, № 1. — С. 21−24.
- Далецкий Ю.Л. О некоторых задачах, связанных с интегрированием в функциональных пространствах и дифференциальными уравнениями в функциональных производных / Ю. Л. Далецкий // Труды симпозиума по механике сплошных сред. Тбилиси, 1973 .- С. 78−88.
- Далецкий Ю.Л. Уравнения первого порядка с функциональными производными / Ю. Л. Далецкий, И. М. Кухарчук // УМЖ. 1965 .-№ 6. — С. 114 117.
- Далецкий Ю.Л. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах / Ю. Л. Далецкий, С. В. Фомин. М.: Наука, 1983 .383 с.
- Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний / М. Ф. Диментберг. М.: Наука, 1980 .- 368 с.
- Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы / Дж. Л. Дуб. М.: ИЛ, 1956 .605 с.
- Задорожний В.Г. Вполне интегрируемые уравнения с вариационными производными / В. Г. Задорожний // Wissenchfftliche Haupttagung. Hauptfor-trage, Vortragauszuge. Martin-Luther Uniwersitat. Halle. — 1974 .- pp. 172−173.
- Задорожний В.Г. Вполне интегрируемые уравнения с вариационными производными / В. Г. Задорожний // Диф. уравнения. 1975 .- № 11- С. 2027−2039.
- Задорожний В.Г. Решение некоторых уравнений с вариационными производными / В. Г. Задорожний. Препринт 87.34, Киев: Институт математики АН УССР. — 1987 52 с.
- Задорожний В.Г. Вычисление моментов решения линейной неоднородной стохастической системы дифференциальных уравнений / В. Г. Задорожний // Математическая физика, Киев. 1988 .- № 9,(43). — С. 9−13.
- Задорожний В.Г. О разложении характеристического функционала линейной стохастической системы в степенной ряд / В. Г. Задорожний // УМЖ. 1989 .- Т.41, № 9. — С. 1207−1214.
- Задорожний В.Г. О дифференциальных уравнениях второго порядка в вариационных производных / В. Г. Задорожний // Диф. уравнения. 1989 Т.25, № 10. — С. 1679−1683.
- Задорожний В.Г. О задаче Коши, соответствующей линейной системе дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами / В. Г. Задорожний // Диф. уравнения. 1990 .- Т. 26, № 3. — С. 545−546.
- Задорожний В.Г. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве, содержащее вариационную производную / В. Г. Задорожний // Сиб. мат. ж. 1992 .- Т. ЗЗ, № 2. — С. 80−93.
- Задорожний В.Г. Моментные функции решений стохастических дифференциальных уравнений / В. Г. Задорожний. Препринт: Воронеж, ВГУ. -1992 30 с.
- Задорожний В.Г. О линейном дифференциальном уравнении первого порядка с обычной и вариационной производными / В. Г. Задорожний // Ма-тем. заметки РАН. 1993 .- Т.53, Вып. 4. — С. 36−44.
- Задорожний В.Г. Отыскание моментных функций решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка / В. Г. Задорожний, Т. И. Смагина // Вестник факультета ПММ. Воронеж, ВГУ. — 1998 С. 5256.
- Задорожний В.Г. Моментные функции решения задачи Коши стохастического уравнения теплопроводности / В. Г. Задорожний // Докл. Академии Наук. 1999 .-Т.364, № 6. — С. 735−737.
- Задорожний В.Г. Дифференциальные уравнения с вариационными производными / В. Г. Задорожний. Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2000 .- 327 с.
- Задорожний В.Г. Моментные функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / В. Г. Задорожний // Фундаментальная и прикладная математика. 2001 Т.7, № 2. — С. 351−371.
- Задорожний В.Г. О нахождении моментных функций решения задачи Коши уравнения диффузии со случайными коэффициентами / В. Г. Задорожний // Известия АН РАН. 2002 Т.66, № 4. — С. 119−136.
- Задорожний В.Г. Методы вариационного анализа / В. Г. Задорожний. М. — Ижевск: НИЦ РХД, 2006 .- 316 с.
- Задорожний В.Г. О моментных функциях решения начальной задачи линейного дифференциального уравнения первого порядка со случайными коэффициентами / В. Г. Задорожний, JI.H. Строева // Диф. уравнения. -2000 .- Т.36, № 3. С. 377−385.
- Задорожний В.Г. Первые моментные функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами В.Г. Задорожний, С. С. Хребтова // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2009 .- Т. 49, № 11. С. 1−16.
- Иосипчук М.Д. Решение одного уравнения с функциональной производной / М. Д. Иосипчук // В1сник Льв1вск. полггехн. шст-та. 1970 .- № 44.- С. 106−108.
- Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно неоднородных средах / В. И. Кляцкин. — М.: Наука, 1980 .- 333 с.
- Ковальчик И.М. Задача Коши для одного уравнения в функциональных производных / И. М. Ковальчик // Докл. АН УССР. 1966. — № 3. -С. 284−286.
- Ковальчик И.М. О приближенном решении некоторых уравнений с функциональными производными / И. М. Ковальчик // Bichhk JIbBiBCK. поль техн. шст-та. 1967 .- № 18. — С. 13−23.
- Ковальчик И.М. Линейные уравнения с функциональными производными / И. М. Ковальчик // ДАН СССР. 1970. — Т.194, № 4. — С. 763−766.
- Ковальчик И.М. Представление решений некоторых уравнений с функциональными производными с помощью интегралов Винера / И. М. Ковальчик // ДАН УССР. 1976 .-сер. А, № 12. — С. 1078−1082.
- Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1976 С. 405−406.
- Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Кори. М.-Наука, 1984 .- 832 с.
- Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа / П. Леви.- М.-Наука, 1967 .- 510 с.
- Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. -М.: Наука, 1977 .-454 с.
- Мельничак Н.П. Неоднородные линейные уравнения с функциональными производными / Н. П. Мельничак // Матем. физика, Респ. Межвед. сб.- 1977. N119. — С. 146−149.
- Монин А.С. Статистическая гидродинамика ч.1 / А. С. Монин, A.M. Яглом. М.: Наука, 1965 .- 639 с.
- Монин А.С. Статистическая гидродинамика ч.2 / А. С. Монин, A.M. Яглом. М.: Наука, 1967 .- 720 с.
- Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики : Пер. с англ. / Р. Рихтмайер. М.: Мир, 1982 .- 488 с. с ил.
- Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов / Ю. А. Розанов.- М.: Наука, 1982 .- 182 с.
- Самборский С.Н. О существовании решений нелинейных уравнений в вариационных производных / С. Н. Самборский // Труды Моск-го ин-тахим. машиностроения. 1974. — вып. 53. — С. 57−59.
- Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве / А. В. Скороход. М.: Наука, 1975 .- 232 с.
- Сумера С.С. Нахождение математического ожидания решения стохастического дифференциального уравнения второго порядка со случайными коэффициентами / С. С. Сумера // Вестник факультета прикладной математики и механики. Воронеж, 2007. — вып.6. — С. 161−169.
- Сявавко М.С. О теореме Коши-Ковалевской для уравнений с функциональными производными / М. С. Сявавко // ДАН УССР. 1968 .- А, № 1. -С. 32−35.
- Сявавко М.С. Об одном классе уравнений с функциональными производными / М. С. Сявавко, И. П. Мельничак // УМЖ. 1974 .- Т.26, № 6. -С. 836−841.
- Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере / В. И. Татарский. М.: Наука, 1979 286 с.
- Тихонов В.И. Статическая радиотехника / В. И. Тихонов. М.: Сов. радио, 1966 .- 678 с.
- Тихонов В.И. Воздействие флуктуаций на простейшие параметрические системы / В. И. Тихонов // Автоматика и телемеханика. 1958 .- Т. 19, № 8. — С. 717−723.
- Фурсиков А.В. О проблеме замыкания цепочки моментных уравнений в случае больших чисел Рейнольдса / А. В. Фурсиков // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа, Новосибирск: Ии-т математики СО АН' СССР. 1990 С. 231−250.
- Фурсиков А.В. Проблема замыкания цепочек моментных уравнений, соответствующих трехмерной системе уравнений Навье-Стокса в случае больших чисел Рейнольдса / А. В. Фурсиков // ДАН СССР. 1991 .- Т.319, № 1. — С. 83−87.
- Фурсиков А.В. Моментная теория для уравнений Навье-Стокса со случайной правой частью / А. В. Фурсиков // Изв. АН СССР, Сер. математическая. 1992 Т.56, № 6. — С. 1273−1315.
- Шерстнев А.Н. О решении уравнений в функциональных производных / А. Н. Шерстнев // Изв. Вузов. Математика. 1961 .- № 6. — С. 155−158.
- Шварц J1. Анализ / JI. Шварц. М.: Мир, 1972 824 с.
- Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г. Е. Шилов // Под ред. О. А. Олейник, В. П. Паламодова, Б. П. Панеяха. 2-е перераб. изд., М.: МГУ, 1984 .- 208 с.
- Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс / Г. Е. Шилов. М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960 388 с.
- Hopf Е. Statistical hydromechanics and functional calculus / E. Hopf // J. Rat. Mech. Anal. 1952. — V.87, № 1. — p. 19−43.