Применение аксиоматического метода для исследования автономных систем на плоскости

В теории динамических систем, намеченной Пуанкаре и получившей широкое развитие в работах Биркгофа, уже изучались свойства решений дифференциальных уравнений при условии единственности решений без рассмотрения самих уравнений. М. Бебутов [17] доказал существование локального сечения динамической системы в локально-компактном метрическом пространстве в окрестности нестационарной точки. В. В. Немыцкий рассматривал множества кривых с единственностью, но без дифференцируемости. Он перенес на них ([8, 9]) многие свойства траекторий автономных систем дифференциальных уравнений. В частности, он доказал, что на плоскости предельное множество ограниченной траектории, не содержащее стационарных точек, является простой замкнутой кривой. В [9] на негладкие динамические системы обобщаются результаты Бендиксона о поведении траекторий в окрестности изолированной стационарной точки. Такая окрестность содержит лишь конечное число гиперболических и эллиптических областей. Также доказаны теоремы о существовании параболической кривой, в частности, вся плоскость не может состоять только из эллиптических и гиперболических кривых.

А.Ф. Андреев и Ю. С. Богданов в [7] рассматривали динамические системы с единственностью и показали для них, что из существования и единственности решений в предположении локальной компактности следует непрерывная зависимость решений от начальных данных. Их доказательство верно и для негладких динамических систем.

Польский математик Zaremba рассмотрел еще более общие множества кривых, для которых ни единственность, ни дифференцируемость не предполагаются [1]. Он сформулировал в виде четырех аксиом наиболее общие свойства решений дифференциальных уравнений и включений и на их основе предложил новый подход к изучению дифференциальных уравнений и включений. В [1] Zaremba исследовал свойства интегральной воронки V (A) в пространстве Rn+1, соответствующей компакту А. Для отрезка V (A-a, b) воронки он доказал, в частности, полунепрерывную сверху зависимость V (A-a, b) от компакта, А и компактность воронки V (Aа, Ь) в пространстве Дп+1. Здесь предполагается, что любое решение, график которого имеет общую точку с множеством А, может быть продолжено на весь рассматриваемый промежуток времени [а, Ь]. Zaremba показал независимость свойства Кнезера (связность сечения воронки) от этих четырех аксиом. Kluczny [10] рассматривал семейства кривых, расположенных в данном компактном множестве W. В частности, он исследовал кривые, выходящие на границу, и указал условия, при которых воронка компактного множества компактна, связного — связна.

С иной точки зрения подошел к аксиоматической теории дифференциальных уравнений и включений Барабашин [3]. Он рассматривает обобщенную динамическую систему, заданную в полном метрическом пространстве с помощью своих множеств достижимости f (t, A). Для такой системы он определяет множество кривых, играющих роль, аналогичную траекториям динамической системы Биркгофа. Аксиоматики Zaremba и Барбашина определяют одни и те же траектории, что будет показано ниже (§ 2 гл. I). Это позволяет перенести свойства обобщенных динамических систем, доказанные в [3] и, в частности, относящиеся к минимальным множествам и рекуррентным траекториям, на множество кривых, удовлетворяющее аксиомам Zaremba.

В последние годы аксиоматическая теория дифференциальных уравнений и включений активно разрабатывалась в МГУ В. В. Филипповым ([2], [19−26]) и позволила получить ряд существенно новых результатов, в том числе существование решений для уравнений с особенностями, не удовлетворяющими условиям Каратеодори. Введенное В. В. Филипповым понятие «сходимости пространства решений» позволило исследовать зависимость решений от параметра и асимптотические свойства решений в окрестности стационарной точки или при t —> оо, включая теоремы устойчивости по первому приближению в более общих формулировках, чем классические результаты. В [5] и [11] аксиоматический метод применяется к доказательству теорем устойчивости в случае, когда уравнение первого приближения однородно любой степени.

Для автономных систем дифференциальных уравнений с гладкими правыми частями на плоскости интенсивно разрабатывалась качественная теория, позволившая получить многие свойства решений, не рассматривая самих уравнений (Пуанкаре [12], Бендиксон [13], Андронов [14] и другие). По качественной теории дифференциальных включений на плоскости известны лишь отдельные результаты (работы Бутковского А. Г. [15] и сотрудников Института проблем управления, работы А. А. Давыдова [16] и А. И. Панасюка [18]).

А.Ф. Филиппов [4] применил основные методы качественной теории к исследованию дифференциальных включений вида х G F (x), где F (x) — непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция F полунепрерывна сверху относительно включения. На дифференциальные включения указанного вида обобщаются следующие важные результаты: предельное множество ограниченной полутраектории содержит стационарную точку или замкнутую траекториюв замкнутой области, ограниченной замкнутой траекторией, содержится стационарная точка. Для нестационарной точки в [4] строится сечение и с его помощью исследуются многие свойства траекторий и их предельных множеств.

Ввиду наличия приложений дифференциальных включений к теории управления, исследование свойств дифференциальных включений является актуальной задачей. Аксиоматическая теория позволяет изучать общие свойства дифференциальных включений независимо от их вида.

В [2], [20] В. В. Филиппов распространил некоторые результаты качественной теории дифференциальных уравнений в R2 на пространства решений, удовлетворяющие аксиоматике Zaremba. В частности, он обобщил теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказал, что предельное множество ограниченной полутраектории содержит стационарную точку или замкнутую траекторию, дал определение индекса стационарной точки на плоскости. В. В. Филиппов доказал лемму о строении окрестности нестационарной точки. Эта лемма в дальнейшем играет ту же роль, что и сечение нестационарной точки в качественной теории дифференциальных уравнений.

В данной работе результаты Бендиксона о свойствах траекторий на плоскости и их предельных множеств обобщаются на автономные дифференциальные включения и на любые семейства Z кривых на плоскости, удовлетворяющие аксиомам Zaremba и условию автономности: если z €^, то z (tf-a) Е Z для любого, а Е R.

В главе I исследуются свойства траекторных воронок в Rn. Для траек-торной воронки V (Q, e) доказана полунепрерывная сверху зависимость V (Q, e) от компакта Q и компактность воронки V (Q, e) в пространстве Rn. Устанавливается связь между аксиоматиками Zaremba и Барбаши-на, позволяющая перенести многие свойства, полученные Барбашиным для обобщенных динамических систем, на семейство Z при некоторых. дополнительных условиях.

В главе II изучаются свойства предельных множеств на плоскости. Определения спиралевидного приближения траектории к своему предельному множеству, данные в [6] и [4], обобщаются на семейство Z. Основные утверждения получены для траектории L без самопересечений и ее предельных множеств. Пусть^{-предельное} множество fix траектории L без самопересечений содержит нестационарную точку. Тогда L не имеет общих точек с fix, и приближается к нему спиралевидно. Если в fix, имеются и стационарные и нестационарные точки, то оно состоит из не более чем счетного числа дуг траекторий, каждая из которых примыкает обоими концами к множеству М2 стационарных точек, М2 С fixТакже доказаны утверждения, аналогичные леммам о кольцевых областях из и.

В главе III исследуется строение окрестности изолированной особой точки. Определения параболических, гиперболических и эллиптических секторов, данные Бендиксоном для гладких динамических систем с единственностью, обобщаются на рассматриваемые негладкие семейства траекторий без единственности. Оказывается, что для изолированной стационарной точки существует окрестность, состоящая из конечного числа секторов указанного типа. Окрестность нестационарной точки (возможно, не удовлетворяющей условию Кнезера) состоит из конечного числа входящих и выходящих траекторных воронок, чередующихся между собойв областях между ними могут содержаться только гиперболические траектории. Такая окрестность не может содержать эллиптических траекторий.

В главе IV понятие индекса, введенное в [2] для стационарной точки, распространяется на нестационарную точку, не удовлетворяющую условию Кнезера. Показывается, что индекс простой замкнутой траектории, принадлежащей множеству Z, равен 1. Как и в работах Бендиксона, индекс особой точки подсчитывается по числу эллиптических, гиперболических и параболических секторов, на которые разбита окрестность рассматриваемой точки. Сначала найден индекс нестационарной (и, возможно, некнезеровской) точки. Он равен 1 — п, где п — число входящих (или выходящих) воронок, соответствующих данной точке. Затем, с помощью этого утверждения и одной вспомогательной леммы, вычисляется индекс изолированной стационарной точки. Он равен 1 + где пе — число эллиптических секторов, п^ — число гиперболических секторов в рассматриваемой окрестности стационарной точки.

1. Zaremba S.K. Sur certaines families de courbes en relations avec la theorie des equations differentielles. — Ann. Soc. polonaise de Mathem., 1936, t. 15.

2. Филиппов В. В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М., 1993.

3. Барбашин Е. А. К теории обобщенных динамических систем. — Учен, записки МГУ, матем., 1949, 2, вып. 135, с. 110−133.

4. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М., 1985.

5. Филиппов А. Ф. Об устойчивости и неустойчивости по первому приближению. — ДУ. 2000. Т. 36, N 4, с. 475−485.

6. Немыцкий В. В. и Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.- Л.: Гостехиздат, 1949.

7. Андреев А. Ф. и Богданов Ю. С. О непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных. — Успехи матем. наук, 1958, т. 13, вып. 3, с. 165−166.

8. Немыцкий В. В. Структура одномерных предельных интегральных многообразий на плоскости и в трехмерном пространстве. — Вестник МГУ, сер. матем., 1948, N 10, с. 49−61.

9. Немыцкий В. В. Некоторые общие теоремы о расположении интегральных кривых на плоскости. — Вестник МГУ, сер. матем., 1960, N 6, с. 3−10.

10. Kluczny Cz. Sur certaines families de courbes en relation aves la theorie des equations differentielles ordinaires. — Ann. Univ. M. Curie-Sklodovska. Sec. A. Math. 1961, v. 15, p. 13−40- 1962, v. 16, p. 5−18.

11. Филиппов А. Ф. Применение аксиоматического метода для исследования дифференциальных уравнений с особенностями. — ДУ., 1996, т. 32, N 2, с. 205−215.

12. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. — ГТТИ, М.—Л., 1947.

13. Bendixon I. Sur les courbes definies par les equations differentielles. — Acta Math., 1901, v. 24, p. 1−88. Перевод первой главы: О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. — Успехи матем. наук, 1941, вып. 9, с. 191−211.

14. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем. — М., Наука, 1966.

15. Бутковский А. Г. Дифференциально-геометрический метод конструктивного решения задач управляемости и финитного управления. — Автоматика и телемеханика, 1982, N 1, с. 5−18.

16. Давыдов А. А. Особенности полей предельных направлений двумерных управляемых систем. — Матем. сб., 1988, т. 136, вып. 4, с. 478−499.

17. Бебутов М. Об отображении траекторий динамической системы на семейство параллельных прямых. — Бюллетень МГУ, 1939, т. 2, вып. 3.

18. Панасюк А. И. Качественная динамика множеств, определяемых дифференциальными включениями. — Матем. заметки, 1989, т. 45, N 1, с. 80−88.

19. Филиппов В. В. Об асимптотическом интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывами в правой части. — ДАН СССР, 1991, т. 321, N 3, с. 482−485.

20. Филиппов В. В. О стационарных точках и некоторых геометрических свойствах решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — Докл. РАН, 1992, т. 323, N 6, с. 1043−1047.

21. Филиппов В. В. Об асимптотике решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — ДУ, 1992, т. 28, N 10, с. 17 471 751.

22. Филиппов В. В. Об исследовании обыкновенных дифференциальныхуравнений «по первому приближению». — ДУ, 1992, т. 28, N 8, с.1351−1355.

23. Филиппов В. В. О теории задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывами по пространственным переменным. — ДУ, 1997, т. 33, N 7, с. 885−891.

24. Филиппов В. В. О теории задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной правой частью. — Матем. сб., 1994, т. 185, N 11, с. 95−118.

25. Филиппов В. В. О существовании и свойствах решений обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. — Докл. РАН, 1995, т. 343, N 2, с. 160−162.

26. Филиппов В. В. О топологических свойствах пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — Докл. РАН, 1997, т. 352, N 6, с. 735−738.