Некоторые экстремальные задачи теории приближения функций сплайнами

Диссертационная работа посвящена исследованию задачи выбора последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций сплайнами и задаче оптимального и асимптотически оптимального восстановления функпдй и функционалов.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

— указан выбор последовательности асимптотически оптимальных разбиений при приближении функций локальными Lсплайнами, интерполяционными сплайнами минимального дефекта и сплайнами наилучшего приближения;

— получена асимптотически наилучшая весовая квадратурная формула на классах «Wp (г = 3,5)и исследована задача оптимального восстановления интеграла на некоторых классах функций, задаваемых модулем непрерывности;

— решена одна задача оптимального восстановления функций по информации, использующей значения функции и её производных в точках. Г—k , — v.

Функцию Set (к= 1, г) называют сплайном порядка г дефекта к по разбиению.

К-tM-ct (,&bdquo- -С. Ct ,^-i}. если на каждом интервале (tU{ n^tL п «) она совпадает с алгебраическим многочленом степени не выше р

Через Srl< (А п) обозначим множество всех сплайнов порядка г" дефекта к по разбиению Д^. Заметим, что Sr, K (Aa) — множёство функций вида.

L=0 i=i j-j.

Наиболее часто применяются интерполяционные сплайны минимального дефекта. Сплайн s г (х, е S ^ 4 (Дп) назовем интерполяционным для функции ос, если при r= 4Д5,.

Дn, tLiJ = х (tin) CL = IjiTi), и для.

5,feA",(iu (,(I + t,")/2) = x ((ti.(, n+tt, JA) а-ГЮ, I с граничными условиями x (v)(0 0 = 0, LC^-D/a], U0. O, где 152 Л — целая часть числа <2) или с периодическими граничными условиями.

Существование и единственность таких сплайнов доказаны в монографиях Дж. Алберга, Э. Нильсона, Дж. Уолша Г2] и С.Б.Стеч-кина, Ю. Н. Субботина [43J .

На практике широко применяются локальные сплайны, характерным представителем которых являются эрмитовые сплайны.

Сплайн Р^ (х, Дп) Sг (Ап) называется эрмитовым, если ч.

Р^Сх.ЬпЛ^-хaif") 0>-0,м, = 0, i.

Простейшие сплайны давно известны в математике, например, хорошо известен метод ломаных Эйлера. Лебег использовал ломаные для промежуточного приближения при доказательстве теоремы Вейер-штрасса. Позже промежуточные приближения сплайнами успешно применялись Н. П. Корнейчуком [22].

В теории экстремальных задач сплайны нередко являются экстремальными функциями.

Естественным путем сплайны возникли в работах С. М. Никольского, А. Сарда и др., посвященных наилучшим квадратурным формулам.

В качестве самостоятельного объекта исследований сплайны рассматривались в работах И. Шенберга, Н. П. Корнейчука, Ю. Н. Субботина, Ю. С. Завьялова и др.

Позже получило распространение обобщение полиномиальных сплайнов — Lсплайны. Функция S&C™ называется.

L — сплайном дефекта К, порожденным дифференциальным оператором.

1x60 ^^МЛ) С^вС1, ат^а i=0 если.

L*Ls (i)=0 (te Lii-i, nti, J (иГп)Х где m а,.

L’xCi) = £С-01 W0*U)}.

Uo.

Теорию Lсплайнов развивали Ю. С. Завьялов, Р. Варга и др. Пусть |Ргк (-, йп)} некоторая последовательность операторов, отображающих С в Ьгк и п) (Р ^ f ~ к).В частности, Р~ «(ос, может быть интерполяционным сплайном ми' I N нимального дефекта, эрмитовым сплайном и пр.

При фиксированных г*, 9 и р последовательность 11 00 1.

1. Азарин B.C., Бармин В. И. Аппроксимация кусочно-линейными функциями.- В кн.: Матем. сборник, Киев, 1976, с.25−26.

2. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её при ложения.- М.: Мир, 1972.

3. Ш&еяп 2 Ж, Mson Е. Ж, «Walsh ЯL Fundamental pwpezues of genctalixed splines, Jlotices Лт. Math. Soc., /9ь4.4. bozsak K. Dzel saize и? ег die ndime/diomt eufclidishe Sphoze. Fund, fflodh/935, го, p. /77-/9/.

4. Боянов Б. Д. Наилучшие методы интерполирования для некоторых классов дифференцируемых функций.- Матем. заметки, 1975, 17, М, с.511−524.

5. Sojanoti B. J). Existence and ckazactezLfalcon of monosplines of leait Lp deviation. Pzoceedlnps of ihe tfntetn. Conf.on. Cosisiiuctiee Fiinc. Theory, blacpevgzad, 1977, p. ZU9 -261.

6. В ojanov &-.Д Uniqueness Ike Optimal ft nodes of ouadzataze Fovnule.- math, of Сотр., /981,36, Hf&> p. 532- 546.

7. Василенко А. В., Лигун A.A. Одна задача оптимального восстановления дифференцируемых функций с использованием дополнительной информации.- Деп. в ВИНИТИ 18 апреля 1980 г., 1532−80.

8. Великин В. Л. Оптимальная интерполяция периодических дифференцируемых функций с ограниченной старшей производной.-Матем. заметки, 1977, 22, Ш>, с.663−670.

9. Великин В. Л. Точные значения приближения эрмитовыми сплайнами на классах дифференцируемых функций.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1973, 37, Ж, с. 165−185.

10. Гребенников А. И. О выборе узлов при аппроксимации функций сплайнами.- Ж. вычисл. матем. и матем. фаз., 1976, 16, Ж, с. 219−223.

11. Гребенников А. И. О выборе узлов при интерполировании функций Lсплайнами.- В кн.: Вычислительные методы и программирование, М., МГУ, 1977, вып. 26, с.168−175.

12. Гребенников А. И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближения.-М., МГУ, 1983.

13. Douqtas Н On ike Choice of Segments in Pieceurtse approximations. X Inst. math. and (Lppt., M2, 9, ti2.

14. Доронин В. Г., Лигун А. А. О точном решении некоторых экстремальных задач на классах функций, определяемых интегральным модулем непрерывности.- ДАН СССР, 1980, 251, Ж, с. 16−19.

15. Qzeoitte Т. Н. Е, Humeucat pwceduzes fot inieгpolaiion Su sptine functions. math. Яез. Ceniez Tech.. Summazy Rept., №, US dzmy, № 4.

16. Женсыкбаев А. А. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы.-Успехи матем. наук, 1976, 36, вып.4 (220), с.107−159.

17. Женсыкбаев А. А. Наилучшая квадратурная формула для некоторых классов периодических дифференцируемых функций.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1977, 41, Jffi, c. IIIO-1124.

18. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методысплайн-функций.- М.: Наука, 1980.

19. Зуховицкий С. И. Об одной задаче кусочно-линейного программирования.- Ж. вычисл. матем. и матем. фаз., 1963, 3, $ 3, с.599−605.

20. Киндалев Б. С. Асимптотическое представление погрешности приближения интерполяционными сплайнами нечетной степени.-Тезисы докладов на международной конференции по теории приближения функций, Киев, 1983, с. 94.

21. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения.-М.: Наука, 1976.

22. Корнейчук Н. П. Оптимальное восстановление функций и их производных в метрике hp Труды конференции по дифференциальным уравнениям и вычислительной математике, Новосибирск, 1978, с.152−157.

23. Корнейчук Н. П. Поперечники в Lp классов непрерывных и дифференцируемых функций, и оптимальные методы кодирования и восстановления функций и их производных.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, 45, 112, с.266−290.

24. Kotneicuk H.V. (oxact егюг Sounds of appzoximcrtLon Ьи IntezpotatCnQ splines in L-metzic on ihe c? ass$sl^p ^ oo) of peziodic functions,-?no?. math. > 1Я77, 5, p. /09- /a.

25. Корнейчук Н. П. О приближении локальными сплайнами минимального дефекта.- Укр. матем. ж., 1982, 34, J®, с.617−621.

26. Корнейчук Н. П., Лушпай Н. Е. Наилучшие квадратурные формулы для классов дифференцируемых функций и кусочно-полиномиальное приближение.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1969, 33, ЖЗ, с. I4I6-I437.

27. Лигун А. А., Малышева А. Д. Об оптимальном выборе узлов при наилучшем приближении функций сплайнами.- В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям, Днепропетровск, ДГУ, 1980, с.31−35.

28. Лигун А. А., Сторчай В. Ф. О наилучшем выборе узлов при приближении сплайнами в метрике Ьр Матем. заметки, 1976, 20, М, с.611−618.

29. Лигун А. А., Сторчай В. Ф. О наилучшем выборе узлов при интерполировании функций эрмитовыми сплайнами, — Anal, rnalk., 1976, 2, с.267−275.

30. Лигун А. А., Сторчай В. Ф. Об интерполировании функций кубическими эрмитовыми сплайнами.- Изв. вузов. Математика, 1982, 241, №, с.26−29.

31. Лигун А. А., Сторчай В. Ф. О наилучшем выборе узлов при приближении функций локальными эрмитовыми сплайнами.- Укр. матем. ж., 1980, 32, JS6, с.824−830.

32. Лигун А. А. Об одном свойстве интерполяционных сплайн-функ-ций.-Укр. матем. ж., 1980, 32, М, с.507−514.

33. Лигун А. А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2 Матем. заметки, 1978, 24, J&6, с.785−792.

34. Лигун А. А. О поперечниках некоторых классов дифференцируемых периодических функций.- Матем. заметки, 1980, 27, М, с.61−75.

35. Моторный В. П. О наилучшей квадратурной формуле видап2 pKf Схк) для некоторых классов дифференцируемых периодических функций.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1974, 38, J&3, с.583−614.

36. Моторный В. П., Рубан В. И. Поперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций в пространстве L .¦ Матем. заметки, 1975, 17, М, с.531−543.

37. Никольский С. М. Квадратурные формулы.- М.:Наука, 1979.

38. Пахнутов И. А. Лакунарные сплайны с дополнительными узлами.-В кн.: Методы сплайн-функций. Вычислительные системы, Новосибирск, 1979, вып. 81, с.21−30.

39. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них.- Дис.. канд. физ.- матем. наук, М., МГУ, 1965.

40. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976.

41. Стечкин С. Б. Одна оптимизационная задача.- MumezLoske tyethoden dez dpp^ooci/пa.icons tiozie, Sa^d /" VStiM, voL 16, 1972, p. 90S'208.

42. Субботин Ю. Н., Черных Н. И. Порядок наилучших сплайн-приближений некоторых классов функций.- Матем. заметки, 1970, 7, ЖС, с. 31−42.

43. Тайков Л. В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модули непрерывности из Lz .- Матем. заметки, 1976, 20, ЛЗ, с.433−438.

44. Wall СЛ., Weyez WW. Optimal еггог Sounds, foz cubic spline interpolation. & dpptox. irn TheotuJ 1976, 16, p. Ю5-Ш.

45. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства.- М.: ИМ, 1948.

46. Sckumakez JL. Spline, functions: Sasie iheow. -JVeui Уогк, У. Шеу & Son’s, 1981.

47. Шумилов Б. М. Локальная аппроксимация и наилучшее равномерное приближение сплайнами.- Дис.. канд. физ.- матем. н., Новосибирск, 1983.

48. Лигун А. А., Шумейко А. А. Оптимальный выбор узлов в сплайн-аппроксимации и квадратурах.- Тезисы докладов на международной конференции по теории приближения функций, Киев, 1983, с. 112.

49. Лигун А. А., Шумейко А. А. Об оптимальном восстановлении функций на классах Wp .- Изв. вузов. Математика, 1982, 245, МО, с.37−39.

50. Лигун А. А., Шумейко А. А. 0 выборе узлов при приближении функций сплайнами типа Рябенького.- В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям, Днепропетровск, ДГУ, 1982, с.26−34.

51. Лигун А. А., Шумейко А. А. Об оптимальном выборе узлов при приближении функций двумерными сплайнами.- В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям, Днепропетровск, ДГУ, 1982, с.193−200.

52. Шумейко А. А. Интерполирование функций эрмитовыми JLсплайнами.- В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям, Днепропетровск, ДГУ, 1979, с. I26-I3I.

53. Шумейко А. А. О приближении функций локальными Lсплайнами.- В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям, Днепропетровск, ДГУ, 1982, с.72−79.

54. Шумейко А. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов.- В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям, Днепропетровск, ДЕУ, 1983, с.54−68.