Определение вероятности события и статистического распределения

Задание 1

В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 150 Вт — 8 штук и по 100 Вт — 13. Вынуты из коробки наугад три лампы. Найти вероятность того, что среди них:

а) только одна лампа по 150 Вт; b) две лампы по 150 Вт;

с) не менее двух ламп по 150 Вт; d) хотя бы одна лампа по 150 Вт;

е) все лампы одинаковой мощности.

Решение

a) событие F1 — из трех наудачу взятых ламп только одна будет 150 Вт:

b) событие F2 — из трех наудачу взятых ламп две лампы будут по 150 Вт:

c) событие F3 — из трех наудачу взятых ламп не менее 2 будет по 150 Вт:

d) событие F4 — из трех наудачу взятых деталей будет хотя бы одна лампа 150 Вт:

e) событие F5 — из трех наудачу взятых ламп все три будут одной мощности Задание 2

По самолету производится три независимых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором — 0,5, при третьем — 0,6. Для вывода самолета из строя достаточно трех попаданий. При двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,7, при одном попадании — с вероятностью 0,4.

1. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

2. В результате трех выстрелов самолет не был выведен из строя. Сколько попаданий вероятнее всего произошло в самолет?

Решение

1) Рассмотрим гипотезы:

H1 — из трех выстрелов не будет ни одного попадания

H2 — из трех выстрелов будет ровно одно попадание

H3 — из трех выстрелов будет два попадания

H4 — из трех выстрелов будет три попадания и событие

F — самолет будет выведен из строя.

Тогда

События Hi образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получим:

=0,120+0,380,4+0,380,7+0,121=0,538

2) Рассмотрим событие F — самолет не был выведен из строя при трех выстрелах при тех же гипотезах, тогда

Т.к. самолет не был выведен из строя, т. е. событие F произошло, то вероятности гипотез определим по формуле Байеса

=0,121+0,380,6+0,380,3+0,120=0,462

Таким образом, вероятнее всего в самолет произошло одно попадание.

Задание 3

Согласно статистическим данным в городе N в среднем 18% открывающихся новых предприятий прекращают свою деятельность в течение года.

1. Какова вероятность того, что из 6 наугад выбранных новых предприятий города N к концу года деятельности останется:

а) ровно 4; b) 4; с) менее 4; d) хотя бы одно предприятие?

2. Вычислить вероятность того, что из ста вновь открытых предприятий в городе N к концу года прекратят свою деятельность:

а) 15; b) не менее 15; с) не более 21; d) не менее 13, но не более 23 предприятий.

Решение

1)

n=6q=0,18p=1-q=1−0,18=0,82

Значение n<10, поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:

a) ровно 4 предприятия останется:

b) более 4 предприятий останется:

P (более 4)=P6(5;6)=P6(5)+P6(6)

Тогда

P (более 4)=0,4004+0,304=0,7044

c) менее 4 предприятий останется:

P (менее 4)=1-P (не менее 4)=1-P6(4;6)=1-(0,2197+0,4004+0,304)=0,0759

d) хотя бы одно предприятие останется

P (хотя бы 1)=1-P (ни одного)=1-P6(0)=1−0,186=0,999 966

2)

n=100p=0,18q=0,82

Значение n=100 достаточно велико, поэтому для расчетов воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа:

a) ровно 15 предприятий прекратят свою деятельность:

где, а (x) — локальная функция Лапласа По таблице находим, что

(-0,78)=(0,78)=0,2943,

b) не менее 15 предприятий прекратят свою деятельность, т. е. от 15 до 100:

Pn (k1;k2)Ф (x2)-Ф (x1),

где и, а Ф (x) — интегральная функция Лапласа

По таблице значений функции Ф (x) находим, что Ф (-0,78)=-Ф (0,78)=-0,2823, а Ф (21,34)=0,5, P100(15;100)0,5+0,2823=0,7823

c) не более 21 предприятия прекратят свою деятельность, т. е. от 0 до 21:

По таблице значений функции Ф (x) находим, что Ф (-4,69)=-Ф (4,69)=-0,499 999, а Ф (0,78)=0,2823, P100(0;21)0,2823+0,499 999=0,782 299

d) не менее 13, но не более 23 предприятий прекратят свою деятельность:

По таблице значений функции Ф (x) находим, что Ф (1,3)=0,4032,

P100(13;23)0,4032+0,4032=0,8064

Задание 4

Два бухгалтера независимо друг от друга заполняют одинаковые ведомости. Первый бухгалтер допускает ошибки в среднем в 8%, второй — в 12% всех документов. Количество заполненных ведомостей первым бухгалтером равно 1, вторым — 2. Рассматривается случайная величина (с.в.) — число ведомостей, заполненных двумя бухгалтерами без ошибок.

1. Составить ряд распределения с.в. и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в. и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию

D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ().

4. Определить вероятности: а) Р; b) Р; c) Р

Решение

1) Определим возможные значения случайной величины Х и их вероятности:

Х=0: 0,920,882=0,712 448

Х=1: 0,080,882+0,92(0,120,88+0,880,12)=0,256 256

Х=2: 0,920,122+0,08(0,120,88+0,880,12)=0,30 144

Х=3: 0,080,122=0,1 152

Проверка:

0,712 488+0,256 256+0,30 144+0,1 152=1

Запишем ряд распределения

Изобразим ряд распределения графически в виде полигона

2) Составим функцию распределения:

Построим график функции распределения

3) Математическое ожидание и дисперсия находятся по формуле:

D (X)=0,3872−0,322=0,2848

4) Найдем требуемые вероятности:

Р (X<0,32)=F (0,32)=0,712 448

Р (XMX+1)=1-Р (X<1,32)=1-F (1,32)=1−0,968 704=0,31 296

=P (-0,2137

Задание 5

Между двумя населенными пунктами, отстоящими друг от друга на расстоянии L = 9 км, курсирует автобус с остановками по требованию в любом месте. Расстояние (в км), которое проезжает некий пассажир, севший в автобус в начале маршрута, является случайным с плотностью распределения

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p (x).

2. Найти функцию распределения с.в. и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ().

4. Во сколько раз число высадок от начала маршрута до среднего места поездки пассажира превосходит число высадок от этого места до конца маршрута автобуса?

Решение

1) Для нахождения постоянной C воспользуемся свойством плотности распределения:

Построим график плотности распределения

2) Найдем функцию распределения а) если x<0, то F (x)=0, т.к. значений, меньших 0, случайная величина не принимает.

б) если 0x<9, то в) если x>3, то

в силу свойства плотности распределения Окончательно получим:

Построим график F (x):

3) математическое ожидание вычисляется по формуле

Дисперсия вычисляется по формуле:

где

DX=24,3−4,52=4,05

Среднее квадратическое отклонение равно:

4)

Р (X<4,5)=F (4,5)=

Р (XMX)=1-Р (X

Т.е. число высадок от начала маршрута до среднего места поездки пассажира и число высадок от этого места до конца маршрута автобуса равны.

Задание 6

При переносе грузов вертолетами используются тросы, которые изготовлены из синтетических материалов на основе новых химических технологий. В результате 25 испытаний троса на разрыв получены следующие данные (в тоннах):

2.948, 3.875, 5.526, 5.422, 4.409, 4.314, 5.150, 2.451, 5.226, 4.105, 3.280, 5.732, 3.249, 3.408, 7.204, 5.174, 6.222, 5.276, 5.853, 4.420, 6.525, 2.127, 5.264, 4.647, 5.591

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения исследуемого признака.

4. Вычислить выборочные характеристики признака: среднее, дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п. 3 закону распределения при уровне значимости 0,01.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.

7. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 5С;

б) генеральной дисперсии значению С 2, где С = 1,09.

Решение Значения выборки в соответствии с вариантом задания

3,21 332

4,22 375

6,2 334

5,90 998

4,80 581

4,70 226

5,6135

2,67 159

5,69 634

4,47 445

3,5752

6,24 788

3,54 141

3,71 472

7,85 236

5,63 966

6,78 198

5,75 084

6,37 977

4,8178

7,11 225

2,41 653

5,73 776

5,6 523

6,9 419

1. Тип признака — непрерывный, т.к. случайная величина может принимать любые значения из некоторого интервала.

2. Построим гистограмму относительных частот. Определим количество интервалов:

k=1+1,44ln n,

где n — количество значений, а k — количество интервалов.

В данном случае имеется 25 значений, поэтому количество интервалов равно:

k=1+1,44ln 25 5,6.

Примем количество интервалов равным 5.

Определим величину одного интервала:

Определим относительные частоты для каждого интервала. Расчеты удобно провести в таблице

Построим гистограмму

3. На основе визуального анализа можно выдвинуть гипотезу о распределении признака по нормальному закону.

4. Определим выборочные характеристики изучаемого признака.

а) выборочное среднее:

б) выборочная дисперсия:

в) выборочное среднее квадратическое отклонение

5. Проверим гипотезу о соответствии выборочных данных нормальному распределению Определим концы интервалов по формуле, для чего составим таблицу

Найдем теоретические вероятности pi и теоретические частоты. Результаты расчетов запишем в таблицу

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим таблицу:

=1,441

По уровню значимости =0,01 и количеству степеней свободы k=n-3=5−3=2 находим по таблице критических точек: =9,2

Т.к., то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении критической массы на разрыв.

6. Построим доверительный интервал для генеральной средней и генеральной дисперсии Предельная ошибка выборки для средней рассчитывается по формуле:

где t — коэффициент доверия, который зависит от вероятности, с которой делается утверждение.

Коэффициент доверия находится из соотношения 2Ф (t)=p, где Ф (х) — интегральная функция Лапласа.

По условию p=0,99,

2Ф (t)=0,99

Ф (t)=0,495

t=2,58.

Границы, в которые попадает генеральная средняя, задаются неравенствами:

5,1225 — 0,7034 a 5,1225 + 0,7034

4,4191 a 5,5259

Найдем интервальную оценку дисперсии:

По таблице критических точек распределения находим, что =42,98, а =10,86, тогда доверительный интервал для дисперсии будет:

1,0807?2?4,2786

а) проверим гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45.

Выдвигаем гипотезы:

H0: a=5,45

H1: a>5,45

Т.к. дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то рассчитываем выражение По таблице значений критических точек Стьюдента находим критическое значение

tкр (;n-1)=tкр (0,01;24)=2,8

Т.к. 1,201<2,8, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45.

б) Проверим гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881.

Выдвигаем гипотезы:

H0: 2=1,1881

H1: 2>1,1881

Рассчитываем выражение По таблице значений критических точек распределения «Хи-квадрат» находим критическое значение (;n-1)=(0,01;24)=43

Т.к. 37,5<43, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881.

Список литературы

вероятность статистический дисперсия математический

1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. — М.: Высшая школа, 2002.

2. Семёнов А. Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс. — Новосибирск: НГАЭиУ, 2003.