В диссертации предлагаются новые математические модели динамических процессов в двух типичных пространственно-неоднородных биологических системах, а именно: ставится и решается математическая задача о моделировании динамики системы клеток головного мозга в условиях ишемического инсульта, а также задача о моделировании транспорта электронов вдоль биологической мембраны во время фотосинтеза. Проводится исследование этих моделей и предлагается численная и программная реализация соответствующих математических задач.
Актуальность работы. Математическое моделирование в биологиистремительно развивающаяся область науки, темпы развития которой определяются быстрым прогрессом в областях вычислительной техники, численных методов решения математических уравнений, а также совершенствованием экспериментальной техники, позволяющей определить значительное число параметров биологических систем. Математические модели биологических систем, рассматриваемых в диссертации, обычно подразделяются на модели гомогенные и гетерогенные (в их стационарном или динамическом вариантах), и эти модели получаются главным образом в рамках следующих общепринятых подходов.
Первый подход заключается в усреднении переменных по пространству и рассмотрению системы как гомогенной. Такие модели называют кинетическими. Математически они представляют собой совокупность систем обыкновенных дифференциальных уравнений относительно усредненных значений исследуемых переменных. В частности, в недавних работах М.-А. Dronne, G. Chapuisat, Е. Grenier была представлена кинетическая модель поведения клеток головного мозга в условиях инсульта. Модель хорошо описывала изменение состояния клеток в эпицентре зоны поражения, в условиях сниженного кровотока. Однако медицинский интерес не ограничивается этими клетками. Важным является и описание пространственного развития поражения на соседние области, в том числе и на те, кровоток в которых не нарушен. Зачастую необходимо определить пространственные характеристики зоны поражения, и в этом случае кинетические модели являются недостаточно информативными.
Рядом известных авторов, таких как А. Б. Рубин, Г. Ю. Ризниченко, D. Lazar, Govindjee и другие, были построены подробные кинетические модели процессов электронного транспорта вдоль мембраны во время фотосинтеза. В моделях рассматривалось значительное количество различных состояний белковых комплексов, расположенных в мембране. Модели продемонстрировали хорошее сходство результатов с экспериментальными данными, в первую очередь касающимися измерений интенсивности флуоресценции от зеленых листьев, освещаемых после длительного пребывания в темноте. Вместе с тем, известно, что тилакоид — компартмент внутри хлоропласта, на мембране которого происходит электронный транспорт — имеет существенно гетерогенное строение, выраженное в неоднородном расположении белковых комплексов латерально по его мембране. Кинетические модели не позволяют оценить влияние пространственной неоднородности на динамику системы.
Второй подход применим непосредственно для гетерогенных моделей. В нем динамика переменных системы описывается совокупностью уравнений в частных производных с граничными и начальными условиями. Такие уравнения, как правило, решаются численно с помощью методов, основанных на конечно-разностных аппроксимациях уравнений в частных производных. Так, в работе в. СИаршза! рассматривалась конечно-разностная модель развития инсульта. Однако эта модель имеет проблемы с заданием граничных условий, и кора головного мозга вынужденно рассматривается как область простой геометрии (квадрат). Существуют конечно-разностные модели, описывающие электронный транспорт на биологической мембране. Одним из самых значимых успехов такого моделирования являются работы А. В. Вершубского, А. И. Приклонского, А. Н. Тихонова. Вместе с тем, общими недостатками конечно-разностных моделей являются их общая трудоемкость и сложность задания граничных условий, дополненная также тем обстоятельством, что исследуемый объект в природе может иметь различную форму (как, например, клетка или ее органеллы).
Третий подход основан на дискретизации системы и переходе от переменных, описывающих концентрации, к отдельным дискретным элементам. Методы, используемые при таком моделировании, включают в себя методы Монте-Карло, методы молекулярной динамики, методы частиц и т. д. На настоящий момент не существует дискретных моделей развития ишемического инсульта. Дискретные стохастические модели, описывающие динамику отдельных переносчиков электронов в липидной мембране, появились относительно недавно и активно развивались Г. Ю. Ризниченко, А. Б. Рубиным, Е. А. Грачёвым и другими. Достоинством дискретных моделей является удобство их реализации в виде параллельных программ, однако большое общее количество элементов, тем не менее, может сделать трудоемкими и такие модели.
Таким образом, в этой области науки является актуальным создание новых адекватных математических моделей, содержащих относительно малое число параметров и переменных, и простых в численной реализации.
В данной работе предлагаются новые математические модели указанных биологических систем в их динамическом гетерогенном варианте, когда скорости протекания процессов существенно ограничены пространственной структурой системы.
Предлагаемые модели сочетают в себе лучшие черты всех перечисленных выше подходов и в значительно степени свободны от указанных недостатков имеющихся моделей. Основная идея, используемая при построении новых моделей и общая для них, заключается в том, что поведение биологических систем в первую очередь определяется наличием и общим характером связей между биологическими объектами (существенных параметров), и мало зависит от деталей реализации этих связей (несущественных параметров). Это означает, что пространственная сложность моделей является максимально упрощенной, но при условии сохранения достаточной функциональности модели.
Предложенная в работе модель развития ишемического инсульта рассматривает частично дискретную систему, минимальным структурным элементом которой является клетка (нейрон или астроцит). Каждой клетке ставится в соответствие набор усредненных внутриклеточных концентраций различных ионов. Вместе с тем, клетки окружены непрерывной средой (межклеточным пространством), динамика концентраций веществ в которой подчиняется уравнениям диффузии.
Для модели электронного транспорта на липидной мембране используется пространственно-редуцированная модель, основанная на уравнениях в частных производных. Сложная форма тилакоида заменяется одномерным отрезком, на котором решаются уравнения в обыкновенных или частных производных относительно концентраций белковых комплексов и электронных переносчиков в окисленном или восстановленном состоянии.
Математические модели, предложенные в данной работе, удовлетворяют сформулированным выше требованиям актуальности: они управляются малым числом параметров, просты в реализации и хорошо поддаются распараллеливанию.
Цель работы. Целью работы является разработка, исследование и эффективная программная реализация новых математических и компьютерных моделей динамических процессов в биологических системах, а именно:
— модели развития зоны поражения в системе клеток головного мозга (нейронов и астроцитов) в условиях ишемического инсульта;
— модели электронного транспорта между белковыми комплексами в липидной мембране тилакоида во время фотосинтеза.
Научная новизна диссертации. Впервые построена математическая модель, позволяющая рассматривать пространственную динамику развития зоны поражения во время инсульта, учитывая роль каждого отдельного нейрона и астроцита.
Впервые предложена упрощенная модель транспорта электронов во время фотосинтеза, позволяющая исследовать зависимость поведения системы от небольшого числа параметров, описывающих скорость различных стадий электронного транспорта в системе.
Созданы новые программные комплексы, реализующие численное решение поставленных математических задач. На основании расчетов, проведенных с использованием этих комплексов, доказана адекватность предложенных моделей.
Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Работа соответствует паспорту специальности 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», так как включает в себя разработку, исследование и редукцию новых математических моделей биологических систем, а также разработку численных методов решения сформулированных математических задач и создание новых комплексов программ для нахождения численного решения.
Основные результаты работы, выносимые на защиту.
1) Разработаны новые физико-математические модели динамических процессов в пространственно-неоднородных биологических системах, а именно модель системы клеток головного мозга в окружающем межклеточном пространстве при ишемическом инсульте и системы электронного транспорта на биологической мембране во время фотосинтеза.
2) Разработан метод ускорения численного решения уравнения, описывающего диффузию вещества в межклеточном пространстве, сформулирована и доказана теорема, оценивающая погрешность метода.
3) Создан комплекс программ, эффективно реализующий предложенные численные методы решения уравнений построенных математических моделей.
4) Получены результаты расчетов созданных программ, по существующим экспериментальным данным доказана адекватность математических моделей.
Научно-практическая значимость работы. Предложенные в диссертации математические модели биологических систем могут быть использованы для решения прикладных задач биологии и медицины (диагностика ишемического инсульта и др.).
Результаты математического моделирования исследованных систем позволяют объяснять и предсказывать протекание процессов, лежащих в основе соответствующих биологических явлений.
Разработанные программные продукты активно используются в фундаментальных биофизических и медицинских исследованиях.
Личное участие автора в выполнении работы. Постановка биофизической задачи о моделировании поведения группы нейронов и астроцитов в условиях ишемического инсульта принадлежит автору совместно с научным руководителем, а также докторами медицинских наук Кочетовым А. Г. и Губским Л. В. Формулировка математической модели проведена автором лично, с консультациями Грачёва Е. А.
Автором лично проведено исследование модели, постановка соответствующих математических задач, а также предложены методы ускорения численного решения, создан программный комплекс, реализующий численное решение, и выполнен анализ результатов.
Постановка биологической задачи при моделировании процессов электронного транспорта на биологической мембране проведена совместно с научным руководителем и кандидатом биологических наук Анталом Т. К. Формулировка математической модели, численное решение задач для этой модели, программная реализация, анализ результатов проведены автором лично. Исследование модели проведено автором на основании данных натурного эксперимента, проведенного Анталом Т. К.
Апробация результатов. Материалы диссертации докладывались на международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в Объединенном Институте Ядерных Исследований, г. Дубна, январь 2010 года и январь 2012 годана международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2011» на физическом факультете МГУ, апрель 2011 годана рабочем семинаре сектора информатики и биофизики сложных систем кафедры биофизики биологического факультета МГУ под руководством д.ф.-м.н. Г. Ю. Ризниченко, декабрь 2011 года и январь 2012 годана научном семинаре кафедры высшей нервной деятельности биологического факультета МГУ, март 2012 годана научном семинаре кафедры биофизики физического факультета МГУ, апрель 2012 годана научном семинаре кафедры вычислительной математики Московского Физико-Технического Института (МФТИ), июнь 2012 годана научном семинаре «Обратные задачи математической физики» под руководством д.ф.-м.н. А. Г. Яголы, д.ф.-м.н. А. Б. Бакушинского и д.ф.-м.н. А. В. Тихонравова, проводящемся в НИВЦ МГУ, октябрь 2012 годана научном семинаре кафедры компьютерных методов физики физического факультета МГУ, ноябрь 2012 годана научно-методологическом семинаре НИВЦ МГУ под руководством д.ф.-м.н. А. В. Тихонравова, декабрь 2012 г. на научном семинаре института математических проблем биологии РАН под руководством д.ф.-м.н. М. Н. Устинина, декабрь 2012 годана научном семинаре в государственной клинической больнице № 31 под руководством д.м.н. Л. В. Губского, март 2013 года.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 93 наименования, и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 117 страниц, в том числе 29 рисунков и 10 таблиц.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих изданиях:
Публикации в журналах из перечня ВАК:
1. Макаров С. С., Исаева А. В., Грачёв Е. А., Сердобольская М. Л. Ускорение вычислений при решении неоднородного уравнения диффузии с помощью перенормировочного метода // Вычислительные методы и программирование, 2012, т. 1, с. 239−245.
2. Макаров С. С., Грачёв Е. А., Антал Т. К. Математическое моделирование электрон-транспортной цепи в тилакоидной мембране с учетом пространственной гетерогенности мембраны // Математическая биология и биоинформатика, 2012, т. 7, выпуск 2, с. 508−528.
3. Макаров С. С., Джебраилова Ю. Н., Грачёва М. Е., Грачёв Е. А., Кочетов А. Г., Губский Л. В. Моделирование группы нейронов и астроцитов в условиях ишемического инсульта // Журнал неврологии и психиатрии им. С. С. Корсакова, 2012, N 8, выпуск 2, с. 59−62.
Публикации в сборниках тезисов научных конференций:
4. Макаров С. С., Грачев Е. А. Моделирование межклеточной кальциевой волны в плоской ткани при непостоянной проводимости щелевых контактов // Тезисы докладов семнадцатой международной научной конференции «Математика. Компьютер. 0бразование» -2010. Секция 83. Анализ сложных биологических систем. Эксперимент и модели. Дубна, 25−30 января 2010 г.
5. Макаров С. С. Моделирование группы нейронов и астроцитов в условиях ишемического инсульта // Тезисы докладов XVIII Международной научной конференции Ломоносов-2011. Секция «Физика». Подсекция «Биофизика». Москва, 11−15 апреля 2011 г.
6. Макаров С. С., Антал Т. К., Плюснина Т. Ю., Грачёв Е. А. Математическая модель индукции кривой флуоресценции хлорофилла, а с учетом электронного транспорта в тилакоидной мембране // Тезисы докладов девятнадцатой международной научной конференции «Математика. Компьютер. 0бразование» -2012. Секция ЭЗ. Анализ сложных биологических систем. Эксперимент и модели. Подсекция «Молекулярная и клеточная биофизика». Дубна, 30 января — 4 февраля 2012 г.
Эти выводы согласуются с результатами симуляции ИКФ, измеренных в присутствии ингибитора электронного транспорта ДБТХ и акцептора электронов метилвиологена. Известно, что ДБТХ ингибирует реокисление пластохинола (ПХН2), связываясь с С? о-сайтом цитохромного комплекса Ь6Г [89]. В его присутствии трехфазная кинетическая кривая ОЛР преобразуется в двухфазную ОЛ кривую, при этом максимальный выход ФХ (Р) достигается на более ранних временах, соответствующих точке I (20−30 мс) [63]. Наиболее вероятная интерпретация данного эффекта предполагает, что ингибирование реокисления ПХ пула приводит к тому, что пластохиноны восстанавливаются полностью в течение фазы Л, вызывая переход всех центров ФС2 в закрытое состояние. На Рис. 4.5, а приведены симуляции ИКФ, рассчитанные с учетом электронного транспорта через цит Ь6Г (контроль) и при инактивированном состоянии цит Ь6£ имитирующем действие ДБТХ. Как видно из рисунка, ингибирование реокисления ПХ пула приводит к подавлению стадии 1Р и росту амплитуды фазы Л до максимального уровня Р, что хорошо согласуется с экспериментальными данными. Данный эффект на ИКФ связан с тем, что ПХ пул полностью восстанавливается уже во время стадии Л (Рис. 4.5, б). Данные результаты указывают на важную роль редокс состояния пластохинонов в формировании стадии Л на ИЬСФ. и мс I, мс.
Рис. 4.5. Теоретические кривые ИКФ, симулирующие действие ДБТХ (а) и метилвиологена (в), а также изменения редокс состояния пластохинонов в присутствии ДБТХ (б) и метилвиологена (г).
Как известно, метилвиологен является эффективным окислителем железо-серных кластеров в ФС1 и Фд, восстанавливая молекулярный кислород до супероксид аниона [90]. Ранее было показано, что добавление этого редокс агента к фотосинтетическим образцам приводит к снижению амплитуды самой медленной фазы 1Р на ИКФ, свидетельствуя о важной роли редокс состояния переносчиков ФС1 и Фд в формировании этой фазы [63, 91]. На Рис. 4.5, в представлены теоретические ИКФ, рассчитанные для стандартных условий и с учетом имитации действия метилвиологена. Присутствие метилвиологена моделировалось посредством введения дополнительной реакции реокисления ФС1, которую характеризовали константой скорости 10 отн.ед." 1 с" 1. На рисунке видно, что искусственное реокисление переносчиков электронов в ФС1 приводит к подавлению стадии 1Р и, таким образом, к снижению максимального выхода флуоресценции с уровня Р до уровня I, что хорошо согласуется с экспериментальными данными по действию метилвиологена. Полученный результат обусловлен тем фактом, что полное восстановление ПХ пула становится невозможным при окисленном состоянии последующих переносчиков электронов (Рис. 4.5, г), включая Пц, ФС1 и Фд, что указывает значительную роль последних в формировании стадии 1Р. Необходимо отметить, что имитация активности ФНР и, соответственно, линейного транспорта электронов в модели приводит к такому же эффекту на теоретическую ОЛР кривую, который наблюдается при действии метилвиологена, то есть к снижению амплитуды 1Р фазы (данные не приведены). Этот результат соответствует экспериментальным данным, полученным на образцах, которые были недостаточно долго адаптированы к темноте и в которых ФНР сохраняет активность [92].
Как упоминалось выше, ФНР находится в инактивированном состоянии в адаптированных к темноте фотосинтетических образцах и, поэтому, транспорт электронов с Фд на НАДФ+ отсутствует в течение нескольких секунд освещения. В этих условиях активируются альтернативные пути транспорта электронов в хлоропласте, одним из которых является циклический транспорт вокруг ФС1, катализируемый ФХР [85]. Цикл приводит к реокислению ФС1, снижая вероятность образования реактивных форм кислорода в результате взаимодействия молекулярного кислорода с восстановленной акцепторной стороной ФС1. В нашей модели мы не учитывали циклический транспорт электронов по умолчанию, однако исследовали его возможное влияние на ИКФ. На Рис. 4.6 представлены ОЛР кривые, рассчитанные без учета и с учетом активности ФХР. При активном состоянии данного фермента происходит изменение соотношения между амплитудами и временем выхода на насыщение фаз Л и 1Р в пользу первой. Этот результат объясняется тем, что активация ФХР влияет на кинетику восстановления ПХ пула на стадии Л. Так, восстановление ПХ пула при активном цикле оказывается связанным не только с поступлением электронов с ФС2, но и с их транспортом от Фд, что изменяет окислительно-восстановительный баланс. Полученные результаты свидетельствуют о том, что активация циклического транспорта электронов может оказывать влияние, главным образом, на стадию Л ИКФ.
0.2.
Я 0.15 Н О.
0,1.
0,05.
0,1 1 10 100 1, мс.
Рис. 4.6. Симуляция ОЛР кривой в условиях активного циклического транспорта электронов вокруг ФС1.
Известно, что у высших растений и зеленых водорослей комплексы ФС2 и ФС 1 расположены преимущественно в разных компартментах фотосинтетических мембран, что обусловлено спецификой регуляции распределения энергии между фотосистемами [93]. Перенос электронов между фотосистемами обусловлен пластохинонами и пластоцианинаминебольшими подвижными переносчиками электронов внутри мембран и со стороны люмена, соответственно. Очевидно, что динамика электронного транспорта должна зависеть от мобильности данных переносчиков, то есть от скорости их диффузии вдоль тилакоида. Кроме того, диффузия Фд со стороны стромы может влиять на процесс реокисления ФС1. В данной работе мы исследовали влияние диффузии фотосинтетических переносчиков электронов на свойства ИКФ. На Рис. 4.7 приведены теоретические кривые ОЛР, рассчитанные при разных возможных коэффициентах диффузии ПХ, Пц и Фд. В нашей работе по умолчанию использовали коэффициент диффузии 2*10 нм с" [80] (обозначен как Бо на рисунке). Как видно из рисунка, одновременное снижение коэффициента диффузии для всех переносчиков в три раза приводит к росту амплитуды фазы Л, что отражает большую восстановленность ПХ пула в точке I в результате изменения равновесия между процессами притока электронов от ФС2 и их оттока на цит Ь6£ Более того, на кривой наблюдается значительное снижение скорости роста ФХ во время фазы 1Р, которое отражает медленное восстановление фотосинтетической ЭТЦ в условиях низкой скорости диффузии. Увеличение коэффициента диффузии в три раза приводит к снижению наклона фазы Л из-за роста скорости реокисления пластохинонов цит Ь6£ В случае, когда перенос электронов не лимитируется диффузионными процессами (коэффициент диффузии стремится к бесконечности) модель соответствует системе, сосредоточенной в одной точке, то есть модели химической кинетики. В этих условиях наклон фазы Л еще больше снижается, а стадия 1Р наоборот происходит значительно быстрее, чем в модели с учетом диффузии, и выходит на максимальный уровень Р при временах около 100 мс. Полученные результаты свидетельствуют о том, что процессы диффузии мобильных переносчиков электронов в тилакоидной мембране могут играть существенную роль в восстановлении фотосинтетической ЭТЦ, замедляя реакции переноса электронов на отдельных участках. о.* и.
О" н 0,15 И О.
0,1 ¦
0,05.
0,1.
1 10 МС —————1 —. к.
Б=Бо/3.
0=Бо 1.
Б-*" .1 ,.
Рис. 4.7. Теоретические ИКФ, рассчитанные при различных значениях коэффициента диффузии О подвижных переносчиков электронов. Величина О0 (О0=2' 106 нм2/с) соответствует значению, использованному в модели.
4.4.
Заключение
(по Главе 4).
В данной главе предложена новая модель электрон-транспортной цепи в тилакоидной мембране, позволяющая учитывать пространственную неоднородность мембраны. Представленные ранее в литературе модели электрон-транспортной цепи либо не рассматривали пространственную гетерогенность тилакоида ([54, 56−62] и другие), либо рассматривали тилакоид как сложную трехмерную сцену ([68−71]). При этом модели, рассматривающие индукцию флуоресценции тилакоидами, относились исключительно к классу кинетических, поскольку стандартное описание причин, лежащих в основе типичного вида кривой флуоресценции, касалось в основном процессов передачи электрона внутри реакционного центра Фотосистемы 2. Однако в работе [88], опирающейся на экспериментальные результаты, касающиеся действия ингибиторов ДБТХ и метилвиологена на систему, были сделаны предположения о том, что только начальная стадия кривой флуоресценции соответствует процессам в реакционном центре фотосистемы 2, в то время как дальнейшая кинетика индукции флуоресценции определяется процессами на всей мембране тилакоида в целом. Для разработки соответствующей математической модели требовалось учитывать пространственную гетерогенность системы, и в данной работе была построена минимальная модель, учитывающая асимметрию расположения белковых комплексов вдоль мембраны. В рамках данной модели тилакоид описывается как одномерный отрезок, вдоль которого распределены белковые комплексы и подвижные электронные переносчики, причем функция плотности электронных переносчиков подчиняется уравнению диффузии.
С помощью модели посчитаны теоретические кривые зависимости выхода флуоресценции хлорофилла и сигнала А820 от времени освещения адаптированных к темноте образцов. Результаты моделирования хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными по действию ДБТХ и метилвиологена на ИКФ. Исследование редокс-переходов на отдельных участках фотосинтетической ЭТЦ показало, что стадии роста 01, Л и 1Р отражают, главным образом, последовательное восстановление акцепторной стороны ФС2, ПХ пула и ФС1, соответственно. Полученные результаты свидетельствуют о необходимости учета всех основных фотосинтетических реакций в тилакоидной мембране, включая циклический транспорт электронов вокруг ФС1, а также диффузионных процессов при моделировании ОЛР кривой.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В заключение опишем основные результаты, полученные в диссертационной работе:
1. Построены новые физико-математические модели динамических процессов в биологических системах, а именно модель развития ишемического инсульта в системе клеток головного мозга и модель электронного транспорта на биологической мембране во время фотосинтеза.
Элементами модели развития ишемического инсульта являются нейроны, астроциты и межклеточное пространство. Рассмотрена динамика мембранных потенциалов, а также внутриклеточных и внеклеточных концентраций ионов Са2+, К+, Na+, СГ, glu" для клеток, находящихся в эпицентре и на периферии зоны поражения. Впервые на клеточном масштабе одновременно рассмотрены процессы ионных токов через клеточную мембрану, кальциевой сигнализации между астроцитами, синаптической связи между нейронами и диффузии ионов в межклеточном пространстве. Произведена математическая постановка задачи, динамика развития ишемического инсульта описана с помощью системы уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных и нелинейных алгебраических уравнений.
Для описания электронного транспорта на биологической мембране предложена новая упрощенная модель, позволяющая рассматривать зависимость поведения системы от ее пространственной гетерогенности. Тилакоид представлен в модели как одномерный отрезок, вдоль которого наблюдается неоднородное распределение белковых комплексов и подвижных электронных переносчиков. Движение переносчиков рассматривается как диффузия. Произведена математическая постановка задачи, составленная из системы уравнений в частных производных.
Построенные модели просты в реализации, содержат малое количество параметров, характеризующих пространственную неоднородность системы, и допускают эффективную программную реализацию, в том числе на параллельных вычислительных машинах.
2. Проведено исследование поставленных математических задач. Для модели развития ишемического инсульта, с учетом особенностей задачи (граничные условия на бесконечности, вид носителя функции источника для уравнения диффузии), произведен переход от описания динамики внеклеточных концентраций ионов с помощью уравнений в частных производных к более простым для численной реализации интегральным уравнениям. Предложена специальная частично неявная процедура для численного решения уравнений модели. Предложен метод ускорения решения интегральных уравнений относительно межклеточных концентраций ионов, позволяющий снизить трудоемкость задачи с o{n2) до n), где N — общее число клеток в модели. Произведена оценка.
III ¦ ¦ I.
II ¦ I III И погрешности метода и ее зависимость от параметров метода. Предложена процедура дополнительного ускорения численного решения интегральных уравнений, заключающаяся в огрублении функции Грина и пренебрежении ее значениями при больших значениях времени. Определена зависимость параметров данной процедуры от требуемой погрешности решения.
Предложенные численные методы могут быть использованы в сходных математических моделях естественнонаучных систем.
3. Создан комплекс программ, реализующий численное решение поставленных математических задач.
Для модели развития ишемического инсульта предложены принципы реализации модели на персональном компьютере и на параллельных вычислительных машинах. Создано программное приложение на ПК, реализующее эффективную организацию вычислений согласно предложенным численным методам и позволяющее исследовать поведение системы в различных условиях и при различных конфигурациях клеток головного мозга. Представлена принципиальная блок-схема реализации программного приложения для вычислений на суперкомпьютерах, кластерах или графических платах.
Для модели электронного транспорта на биологической мембране реализованы стандартные методы численного решения уравнений диффузии, создано программное приложение для ПК, позволяющее производить исследования поведения биологической системы в широком спектре внешних условий.
4. С помощью созданных программных приложений получены и исследованы результаты математических моделей рассматриваемых процессов в пространственно-неоднородных биологических системах.
Результаты модели развития ишемического инсульта соответствуют современным представлениям о роли различных патологических процессов в общем развитии патологии. Получены данные о последовательном изменении состава внутриклеточной и межклеточной среды для клеток в эпицентре и на периферии зоны поражения. Получен экспериментально подтверждаемый результат о постоянстве скорости распространения волны деполяризации клеточных мембран в средах, где распределение клеток однородно. Показано, что в неоднородных средах зона поражения распространяется быстрее в областях с низкой плотностью клеток. Получены зависимости скорости развития зоны поражения от параметров задачи, исследовано различие между поведением дискретных моделей, контролируемых случайным распределением клеток, и дискретной модели, в которой клетки расположены в ячейках равномерной сетки. На основании проведенного исследования показана целесообразность использования дискретной модели, в которой каждая клетка рассматривается как отдельный элемент, вместо модели, описывающей плотности клеток.
Результаты модели электронного транспорта на биологической мембране находятся в качественном и количественном согласии с данными по измерению флуоресценции от листьев фасоли, освещаемых после продолжительного пребывания в темноте. Получена трехфазная кривая зависимости интенсивности флуоресценции от времени, времена и максимальные интенсивности для каждой стадии близки к экспериментальным значениям. Результаты модели также хорошо соответствуют данным по образцам, обработанным ингибиторами дибромотимохиноном и метилвиологеном, что является новым результатом для математических моделей индукции флуоресценции. Исследована зависимость поведения системы от параметров, описывающих ее пространственную неоднородность.
Таким образом, представленные модели адекватны экспериментальным данным, а созданные программные комплексы могут быть использованы для дальнейших исследований в области математического и компьютерного моделирования рассмотренных биологических систем.
