Многообразия алгебр конечной кодлины в случае поля нулевой характеристики

Теория многообразий алгебр, или примитивных классов в терминологии Куроша А. Г., стремительно развивалась последние 50 лет.

В данной работе будет исследовано свойство конечности кодлины многообразий линейных алгебр над полем нулевой характеристики. Мы будем работать с многообразиями ассоциативных алгебр, многообразиями ассоциативных алгебр с инволюцией *, многообразиями ¿-^-градуированных ассоциативных алгебр и многообразиями алгебр Ли.

Пусть V — некоторое многообразие алгебр, К{Х, V) — относительно-свободная алгебра данного многообразия, где X = {х]. Х2, ¦ • •} - счетное множество свободных образующих. Известно ([23]), что в случае поля нулевой характеристики вся информация о многообразии содержится в его полилинейной компоненте, поэтому мы будем работать лишь с полилинейными частями, а не с относительно-свободными алгебрами многообразия. Напомним, что полилинейная часть степени п многообразия является линейным подпространством в пространстве K (X, V) и состоит из полилинейных элементов степени п от переменных .Г]. хп. В зависимости от сигнатуры алгебры К (Х. V) обозначение полилинейной части степени п будет различным. Если сигнатура состоит только из одной билинейной бинарной операции, то полилинейная часть обозначается через Рп (): если же в сигнатуре дополнительно задана линейная унарная операция, то обозначение будет либо Рп{У- *), либо P%r (V). Так. для многообразий ассоциативных алгебр и многообразий алгебр Ли их полилинейные части есть векторные пространства вида:

Pn (V) =< Х{1. .. .r7-n [{?1,.. ., in} = {1,., п}>, для многообразий ¿-^-градуированных ассоциативных алгебр

PniV) =< я?1 • • •, • • •, in} = {1, • • •, «}, 9h, ¦ ¦ •, 9in е {1, Ф} >, где ф — автоморфизм порядка 2 относительно-свободной алгебры данного многообразия. Для многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией их полилинейная часть степени п выглядит следующим образом: где *: а —>• а*, а? А — унарная операция инволюции, заданная на некоторой алгебре многообразия V.

Размерность п-той полилинейной части многообразия определяет n-тую коразмерность многообразия cn (V) = dim Pn (V) (соответственно cn (V, *) = dim Pn (V, *), cgnr (V) = dim P%r (V)). В зависимости от функции, которой мажорируется или которую мажорирует числовая последовательность коразмерностей, будем различать полиномиальный или степенной, экспоненциальный или показательный рост и сверхэкспоненциальный рост многообразия.

Помимо роста коразмерностей, ключевым понятием в данной работе будет понятие ко длины многообразия, которую мы сейчас определим.

Известно, что полилинейную часть степени п можно рассматривать как модуль над групповой алгеброй некоторой конечной группы: в зависимости от сигнатуры это будет либо 5^-модуль. если сигнатура состоит из одной операции, либо -//&bdquo—модуль, если сигнатура состоит из двух операций. Здесь Sn — симметрическая группа порядка п. Нп — гипероктаэдральная группа. Тогда, по теореме Машке, полилинейную часть степени п можно разложить в прямую сумму неприводимых подмодулей.

Определение! Число слагаемых в разложении полилинейной части степени п многообразия на неприводимые подмодули называется ко длиной многообразия.

Поясним данное понятие, использую язык кратностей и характеров.

Каждому подмодулю из разложения полилинейной части степени п на неприводимые модули соответствует либо разбиение A h п, если мы имеем дело с Sn-MOдулями, либо пара разбиений (A, /?), A h mi, i Ь m2, гп + m<2 — п. если имеем дело с ^&bdquo—модулями. Напомним, что под разбиением Ahn понимается набор чисел (Ai,., А*), такой что^t, Ai +. -f At — п. Неразложимый характер, соответствующий разбиению, А (паре разбиений (A,/i)), обозначим через ха соответственно Хц).

Тогда, для многообразия V линейных алгебр с сигнатурой из одной билинейной бинарной операции ^&bdquo—характер равен.

Xn (V) = x (Pn (V)) = Етххл,.

Ahn, где тп — степени неприводимых представлений, соответствующих разбиению Л числа п.

Кодлину многообразия тогда можно определить как.

L = L (V) = Е.

Ahn,.

Для многообразия V линейных алгебр с сигнатурой из одной билинейной бинарной операции и одной линейной унарной операции Нп-характер равен п.

Хп (У• *) = Е Е m. nXx,?

Г-0 Ahr? hn — г в случае многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией *. либо y"(F) =? ? mX flXX fi.

Г—0 Ahr ¿-¿-Нп — г в случае многообразий Z^-rpajynpoBaHHbix ассоциативных алгебр, и кодлину многообразия V тогда можно определить как п.

LiV. *) = Е Е m.

Г=0 Ahr? hn—r i3n (v) -ЕЕ rnKli, r=0 Ahr? bn — r где m? — степени неприводимых представлений, соответствующих паре разбиений (А,/х).

Дадим еще два определения, связанные с основным объектом нашего исследования — кодлиной.

Определение2. Многообразие V имеет конечную кодлину, если существует константа С, не зависящая от п, такая, что для любых п выполняется неравенство 1п{г) < С (соответственно 1п (У,*)<�С или /Г (У)<�С).

ОпределениеЗ. Многообразие V имеет почти конечную кодлину, если любое его собственное подмногообразие имеет конечную кодлину, в то время как кодлина самого многообразия V конечной не является.

В 1978 А. Р. Кемером году был получен критерий конечности код-лины в случае многообразий ассоциативных алгебр ([17]). Он утверждает: многообразие V имеет конечную кодлину тогда и только тогда, когда рост его коразмерностей полиномиально ограничен.

Основной целью данной работы является нахождение эквивалентных условий конечности кодлины в трех случаях: многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией, многообразий супералгебр или многообразий £2-градуированных ассоциативных алгебр и многообразий алгебр Ли. Каждому из трех случаев посвящена отдельная глава. Таким образом, центральными результатами диссертационного исследования являются доказательства следующих трех критериев.

1. Критерий конечностн кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией:

Пусть V — многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) многообразие V имеет конечную кодлину: и) многообразие V имеет полиномиальный рост.

2. Критерий конечности кодлины многообразий супералгебр, то есть многообразий ¿-¡-^-градуированных ассоциативных алгебр:

Пусть V — многообразие ассоциативных ¿-¡-^-градуированных алгебр над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) многообразие V имеет конечную кодлинуи) многообразие V имеет полиномиальный рост.

3. Критерий конечности кодлины многообразий алгебр Ли:

Пусть V — многообразие алгебр Ли над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквиваленты:

I) существует натуральное число 5 > 2, такое что Ьт2 .

II) кодлина многообразия V конечна.

Все три результата формулируются в виде теорем: первый результат — в виде теоремы 3.1 в главе 3, второй результат — в виде теоремы 4.1 в главе 4, третий результат — в виде теоремы 5.1 в главе 5.

Результаты диссертации изложены в 5 статьях [50], [46], [49], [74] и [48], а также опубликованы в тезисах 6 конференций [45], [48], [50], [73], [74], [85].

Результаты диссертации докладывались на рабочих научно-исследовательских семинарах кафедры хлгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета, в Ульяновском педагогическом университете, на ежегодных научно-практических конференциях студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета.

Теперь перейдем в более подробному изложению содержания диссертации по Главам.

Первая глава «'Предварительные сведения» ' носит вводный характер и состоит из трех пунктов.

В пункте «Определения и обозначения'1 напоминаются основные определения и обозначения. Здесь же вводятся соглашения о некоторых обозначениях и приводятся примеры многообразий ассоциативных алгебр, ассоциативных алгебр с инволюцией, ¿-^-градуированных ассоциативных алгебр или супералгебр и многообразий алгебр Ли. большинство из которых понадобится при дальнейшем изложении.

Во втором и третьем пунктах Главы 1 даются необходимые сведения из теории представления симметрической группы биекпий п-элементного множества и гипероктаэдральной группы Нп соответственно. Здесь же описывается строение полилинейных частей многообразий как модулей над соответствующими групповыми алгебрами.

В частности, в пункте 1.2 описано строение ¿-" &bdquo—модуля Рп (У), где V — многообразие ассоциативных алгебр или многообразие алгебр Ли.

В пункте 1.3 описано строение Нп-модуля Р"(У, *), где V — многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией *. В начале данного пункта мы даем определение гипероктаэдральной группы Нп, поскольку данная группа не так широко известна по сравнению с группой 5П, и показываем в общих чертах, как можно описать модуль Р"(У, *) в терминах модулей над групповыми алгебрами симметрических групп.

Глава 2 носит название «Критерий конечности ко длины многообразий ассоциативных алгебр» — она не содержит новых результатов. В начале данной главы приводятся результаты о многообразиях ассоциативных алгебр, связанные с ростом и кодлиной данных многообразий и приводится критерий конечности ко длины многообразий ассоциативных алгебр, сформулированный и доказанный А. Р. Кемером (теорема 5, [17]). Здесь мы приводим передоказательство этого результат с использованием другой техники, которая понадобится нам при доказательстве критериев конечности кодлины в других случаях. Сам критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр звучит следующим образом:

Теорема 2.1. Пусть V — многообразие ассоциативных алгебр над полем нулевой харатеристики. Тогда следующие условия эквивалентны: г) многообразие имеет, конечную ко длину: и) многообразие имеет полиномиальный рост.

Для доказательства критерия мы используем два многообразия ассоциативных алгебр, которые описаны в пункте 1.1, а именно, многообразие, порожденное бесконечномерной алгеброй Грассмана С, и многообразие, порожденное алгеброй иТъ верхнетреугольных матриц порядка 2.

Бесконечномерная алгебра Грассмана <9 над полем К порождается счетным множеством {е1,е2,.}, причем для порождающих выполнены соотношения = —е^егдля всех г,.

Алгебра ТЛ’ч верхнетреугольных матриц размера 2×2: имеет идеал тождеств гд.{Т-2) = Т ([:Г1, #4]) (см. [24]).

Кодлины многообразий, порожденных данными алгебрами, являются почти конечными ([77], [24] и [79]). Отметим также, данные многообразия являются единственными многообразиями ассоциативных алгебр почти полиномиального роста ([24], [58], [17]). Таким образом, условие полиномиальности роста некоторого многообразия ассоциативных алгебр V эквивалентно отсутствию в данном многообразии бесконечномерной алгебры Грассмана С и алгебры 17Т2 верхнетреугольных матриц порядка 2.

Теорема 2.2. Пусть V — многообразие ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны: г) многообразие V имеет конечную ко длину;

И) многообразие V не содержит алгебр С и иТ-2.

Заметим также, что в приведенном доказательстве большую роль играет тождество специального вида:

Д гу"-*-1 = Е (1).

КМ где М. У — некоторые константы, коэффициентыц лежат К.

Третья глава посвящена изучению многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией. Центральным результатом данной главы является критерий конечности кодлины. сформулированный в следующем виде:

Теорема 3.1. Пусть V — многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

I) многообразие V имеет конечную ко длину;

И) многообразие V имеет полиномиальный рост.

В начале Главы 3, как и в предыдущей главе, мы сделали краткий обзор известных на сегодняшний день результатов о росте и кодлине многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией.

При доказательстве критерия используются два многообразия ассоциативных алгебр с инволюцией, которые были описаны в пункте 1.1. А именно:

1. Многообразие, порожденное четырехмерной алгеброй М с базисом {а, 6, с, с*}, таким что а* = а, Ъ* = 6, о? = а, Ь2 = Ь, ас = сЬ — с, с*а — Ьс* = с* и всеми остальными произведениями равными нулю (см. [78]). Идеал тождеств данного многообразия (согласно той же работе) равен Ы (М, *) = Т^г^). Переменные ?1,22 являются кососиметрическими относительно действия инволюции, то есть? = 1,2.

2. Многообразие, порожденное двумерной коммутативной алгеброй С2 = Р © Р с инволюцией (а, Ъ)* = (Ь. а) ([61]).

Отметим, что кодлины данных многообразий не являются конечными ([60], [78]). Таким образом, верен также следующий критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией на «'языке носителей» :

Теорема 3.2. Пусть V — многообразие ассоциативных алгебр с инволюцией над полем, нулевой характеристики. Тогда следующие у словил эквивалентны: г) многообразие V имеет конечную ко длину: и) многообразие V не содержит алгебр 6'-> и М.

Аналогично ассоциативному случаю, при доказательстве критерия конечности кодлины большую роль играет тождество вида згу-'-т = Е 7, гЛ"/-'-' (2).

КТ где Т, N — некоторые константы, коэффициенты 7i принадлежат К, переменная у — симметрическая, а переменная х может быть как симметрической так и кососимметрической относительно действия инволюции *. Данное тождество выполняется в многообразиях V ассоциативных алгебр с инволюцией, не содержащих алгебру М.

Вывод условия полиномиальности роста из условия конечности кодлины является несложным результатом, так как описанные выше многообразия являются единственными в своем классе многообразиями почти полиномиального роста [78].

Заметим, что Теорема 3.1 имеет такую же формулировку, как и Теорема 2.1. Это обусловлено связью между многообразиями просто ассоциативных алгебр и многообразиями ассоциативных алгебр с инволюцией. (см. работы [66], [54]). Многообразия ассоциативных алгебр с инволюцией являются частными примерами многообразий алгебр, сигнатура которых содержит помимо бинарной билинейной операции еще к унарных линейных операций, представляющих собой действия элементов конечной группы порядка к на относительно-свободной алгебре данного многообразия. О таких многообразия см. подробнее в работе Джамбруно А., Мищенко С. П. и Зайцева М. В. [63].

В данной работе мы затрагиваем лишь случай, когда группа состоит их двух элементов. Как показано в работе ([65]), такие алгебры тесно связаны с^{-градуированными} алгебрами, которым посвящена четвертая глава.

В четвертой главе формулируется и доказывается критерий конечности кодлины многообразий^{-градуированных} ассоциативных алгебр или супералгебр.

В начале данной главы мы поясняем понятия полилинейной части Р%Г (У) многообразия V супералгебр и кодлины. данные в пункте 1.1. В частности, модуль РЦГ{У) является ^&bdquo—модулем (его строение сходно со строением Я"-модуля Рп{У- *). см. пункт 1.3) и разлагается в прямую сумму неприводимых подмодулей, число которых определяет кодлину многообразия V. Как и в случае с инволюцией, изучение строения модуля РЦГ (У) сводится к изучению модулей симметрических групп.

Кроме того, в этой главе мы приводим краткое описание всех многообразий^{-градуированных} ассоциативных алгебр почти полиномиального роста. В отличие от предыдущих случаев, в рассматриваемом классе существует пять многообразий почти полиномиального роста [65]:

• многообразия, порожденные бесконечномерной^{-градуированной} алгеброй Грассмана С над полем К и ¿-^-градуированной алгеброй иТч верхнетреугольных матриц размера 2×2 над полем К с тривиальным типом градуировки (<2 = (7® О, ?7Т2 = £/Т2©-0).

Мы будем обозначать их зириаг (? и вируаг ПТ-2 соответственно;

• многообразия, порожденные алгебрами С и ?772 с заданой на них стандартными градуировками <2 = (7о (c)Сп, 11Т2 = (А'ец+ЛГегг)© Кех2, где^о — линейной пространство, порожденное мономами от егчетной длины, а (?! — нечетной длины. Мы будем обозначать их соответственно вириаг и вириаг 11 Т.

• многообразие супералгебр, порожденное алгеброй Кф1К, ?2 = 1.

Сам критерий конечности кодлины многообразий супералгебр формулируется в следующем виде:

Теорема 4.1. Пусть V — многообразие ассоциативных 2ч-градуиро-ванных алгебр над полем нулевой харатеристики. Тогда следующие условия эквивалентны: г) многообразие V имеет конечную ко длину — и) многообразие V имеет полиномиальный рост.

Заметим, что кодлины перечисленных выше многообразий растут полиномиально ([17]. [79]. см. также [77], [24], [65], [84], [62]).

Таким образом, верен также следующий критерий конечности кодлины многообразий ассоциативных алгебр с инволюцией на «языке носителей» ':

Теорема 4.2. Пусть V — многообразие ассоциативных 2−1-градуиро-ванных алгебр над полем нулевой харатеристики. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) многообразие V имеет, конечную ко длинуп) многообразие V не содержит алгебр С, иТ->. СРГ. I Т|7 и К Ш / А' *2 = 1.

Идея доказательства Теоремы 4.1 аналогична идее доказательств теорем 3.1 и теорем 2.1. При доказательстве одной импликации мы находим тождество специального вида утху"-1-т = Е 7""/V-1-' (3).

КТ где Т, N — некоторые константы, коэффициенты 7глежат в К, переменная у — четная, а переменная х — произвольная.

Выполнение данного тождества следует из выполнения двух других аналогичных тождеств, только в первом тождестве переменная хчетная, что соответствует условию иТ% ^ V, а во втором тождестве переменная х — нечетная, что соответствует случаю ?7Т|Г 0 V.

Наконец, пятая глава посвящена многообразиям алгебр Ли. Мы считаем результат данной главы центральным результатом диссертационного исследования, поэтому в диссертации сделан более подробный обзор известных на сегодняшний день результатов по росту и ко длине многообразий алгебр Ли, и мы вынесли этот обзор в отдельные пункты (пункты 5.1 и 5.2 соответственно).

При доказательстве критерия использовались два многообразия алгебр Ли:

1. Многообразие Л .4 с нильпотентным коммутантом ступени нильпотентности не выше Оно определяется тождеством вила хЬГ2). ¦ • 1²⁵+2) = 0.

Рост данного многообразия экспоненциальный [40].

2. Многообразие 1~2 алгебр Ли. Данное многообразие определяется всеми тождествами вида = 0. где полином } соответствует разбиению, А = (Ах.Аг) числа п. удовлетворяющему условию п—А) > 2. В пункте 5.2 данной диссертации мы показали строение полилинейной части данного многообразия, подсчитали его кодлину ¡-пЦЬ) = п — 2. п > 3 и формулу п-й коразмерности с"(С72) = п — 1 + Ц + = п2 — 2гг.

Как несложно заметить, данное многообразие имеет полиномиальный рост коразмерностей, но при этом его кодлина также полиномиальна, в отличии от рассмотренных ранее случаев.

Сам критерий конечности кодлины многообразий алгебр Ли сформулирован в пункте 5.4 в следующем виде:

Теорема 5.1. Пусть V — многообразие алгебр Ли над полем нулевой характеристики. Тогда следующие условия эквиваленты:

I) кодлина многообразия V конечна, и) существует натуральное число з > 3, такое что и? У С.

Данная теорема является самостоятельным результат’ом.

В случае алгебр Ли доказательство критерия оказывается более технически сложным, поэтому мы разбили его доказательство на доказательство необходимого и достаточного условия. Вкратце скажем, что идеи доказательств и в том и в другом случае состоят в нахождении тождеств специального вида, из которых следует, что-либо многообразие V удовлетворяет первому условию Теоремы 5.1, либо оно имеет конечную ко длину.

Подчеркнем еще раз тот факт, что в отличие от случаев многообразий ассоциативных алгебр, рассмотренных в главах 2, 3. 4. для многообразий алгебр Ли полиномиальность роста является необходимым, но не достаточным условием конечности ко длины.

Отметим, в главе 5 получено полное описание многообразий алгебр Ли. ко длина которых равна 2. начиная со значения п = 4.

Предложение 5Л. Если при любом п > 4 для многообразия, V алгебр Ли выполняется 1п (У) = 2. тогда имеет место одно из следующих равенств:

1. V = 1~2 П (Л2)2.

2. V = С~2 П иаг (з1−2).

Здесь многообразие (Л2)2 есть многообразие 2-метабелевых алгебр Ли (подробности см. в работах [26], [83]). многообразие тг^) — многообразие алгебр Ли, порожденное алгеброй матриц размера 2×2 со следом 0 (см. работы [10], [41]). В ходе доказательства получено описание полилинейных частей данных многообразий. Отметим, что описание многообразий с условием 1п{У) — 2 при п > 4 явилось первым результатом автора по тематике диссертации.

Отметим также, что из критерия конечности кодлины для многообразий алгебр Ли немедленно вытекает, что многообразие II2 и многообразия Уо, У2, Уз, У4 разрешимых алгебр, описанных в работе [31], имеют почти конечную ко длину.

Следствие 5.1. Многообразие 112 и многообразия Т^о, V*}, разрешимых алгебр почти полиномиального роста имеют почти конечную кодлину.

Полное описание многообразий алгебр Ли почти полиномиальной кодлины, является, вероятно, сложной задачей. Мы ограничимся только формулировкой гипотезы:

Гипотеза. Многообразия ЬЦ,^о, и только они, имеют почти конечную кодлину.

1. Ананьин А. З., Кемер А. Р. Многообразия ассоциативных алгебр, решетки подмногообразий которых дистрибутивны// Сиб. ма-тем. журнал. 1976. Т. 17. N 4(98). С. 723−730.

2. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. 1985.

3. Бенедиктович А. Н., Залесский А. Е. Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей// Весщ АН БССР. 1980. N 3. С. 5−10.

4. Васильева И. Р. Критерий конечности кодлины многообразия градуированных ассоциативных алгебр// В сб. «Ученые записки УлГУ. «Фундаментальные проблемы математики и механики.» Часть 2/ Под ред. Е. В. Дулова. Выпуск 2(7). Ульяновск: УлГУ. 2000.

5. Вайс А. Я. О специальных многообразиях алгебр Ли// Алгебра и логика. 1989. Т.28. N 1. С. 29−40.

6. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

7. Воличенко И. Б. Об одном многообразии алгебр Ли. связанном со стандартными тождествами. I// Весщ АН БССР: Сер. ф1з,-матем. навук. 1980. N 1. С. 23−30. И. // Там же. N 2. С. 22−29.

8. Гришков А. И. О росте многообразий алгебр Ли// Математические заметки. 1988. Т. 44. N 1. С. 51−54.

9. Джеймс Г. Теория представления симметрических групп. М.: Наука. 1982.

10. Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр// Матем. сб. 1981. Т. 115. N 1 (5). С. 98−115.И. Зайцев М. В. Многообразия аффинных алгебр Каца-Муди// Математические заметки. 1997. Т. 92. N 1. С. 92−105.

11. Зайцев М. В., Мищенко С. П. Асимптотика функций роста код-лины многообразий алгебр Ли// УМН. 1999. Т. 54. N 3. С. 161 162.13.