Некоторые приложения метода экстремальных метрик и метода вариаций к теории однолистных конформных отображений

I. К основным методам теории однолистных функций относятся метод площадей, параметрический метод Левнера и вариационно-параметрический метод Левнера-Куфарева, методы внутренних и граничных вариаций, метод экстремальных метрик, метод симметризации. Метод экстремальных метрик возник сравнительно недавно и наиболее тесно связан с дифференциальной геометрией и топологией. В основе этого метода лежат данное Л. Альфорсом и А. Бейрлингом определение экстремальной длины семейства кривых, представляющее собой существенное обобщение модуля Гретша, и предложенное Дк. Дженкин-сом распространение этого понятия на случай нескольких семейств кривых (см. [i]). Метод экстремальных метрик успешно сочетается с вариационными методами и методом симметризации. В настоящее время имеются различные формы указанного метода. Одной из этих форм можно считать решение экстремальных задач теории конформных отображений при помощи «общей теоремы о коэффициентах» Днсенкинса [i, 2]. Эта теорема является реализацией принципа Тейхмюллера для широкого круга экстремальных задач. Отметим, что доказательство «общей теоремы о коэффициентах» опирается на результаты о глобальной структуре траекторий квадратичных дифференциалов, обусловленные развитием вариационных методов. В свою очередь, факты о структуре траекторий систематически используются в современных исследованиях вариационными методами и значительно упростили применение этих методов. При помощи «общей теоремы о коэффициентах» было получено решение большого числа экстремальных задач см. [i]), а также [з, введение]). Одаако имеются экстремальные задачи, к которым «общая теорема о коэффициентах» либо вообще неприменима или ее утверждение оказывается мало содержательным.

В последние годы получила широкое распространение другая форма метода экстремальных метрик, получившая название метода модулей. Эта форма указанного метода наиболее непосредственно восходит к методу полос Гретша. Метод модулей основывается на связи рассматриваемой экстремальной задачи с той или иной проблемой модуля для семейств гомотопических классов кривых. При этом отмеченные точки на поверхности, фигурирующие в определении этих семейств классов кривых, играют роль неизвестных параметров-функционалов исследуемой экстремальной задачи. В соответствии с принципом Тейхмшлера, отмеченные точки служат полюсами ассоциированного квадратичного дифференциала.

Указанная проблема модуля, как правило, представляет собой задачу об экстремальном разбиении плоской поверхности на семейство неналегаоцих областей, не содержащих отмеченных точек, и модуль этой экстремально-метрической проблемы выражается в терминах соответствующих конфорлных инвариантов и их аналогов и представляет собой функцию от параметров &". При решении экстремальной задачи в некотором классе отображений или систем отображений, как правило, рассматриваются проблемы модуля для одного или нескольких семейств кривых как в плоскости независимого переменного, так и в плоскости образа. К числу задач, для которых метод модулей применяется наиболее непосредственно, принадлежат вопросы об экстремальном разбиении всей замкнутой плоскости С или круга (2/на семейство неналегающих односвязных и двусвязных областей заданной геометрической структуры. Этому кру: гу вопросов посвящены известные исследования Г. Гретша, М. А. Лаврентьева, Г. М. Голузина и других авторов (см. [4 — 14 ]). Из более поздних укажем работы Ф. Хукеманна [15], У. Пиряя [1б], Г. П. Бахтиной [17, 18J, В. А. Андреева [l9], И. А. Александрова и В. А. Андреева [20], Г. В. Кузьминой [3l], С. И. Федорова [з2, 4l] .

При помощи метода модулей и метода симметризации Дж. Дженкинс решил задачу о максимуме модуля функции и другие экстремальные вопросы в классе функции Бибербаха-Эйленберга [21- 1, П], проблему Гронуолла в классе S [22], получил ряд теорем о граничном искажении в классах однолистных отображений [2з]. Этим же методом Хукеманн независимо и одновременно с П. М. Тамразовым [24], получил решение задачи о максимуме (f'f^o)! в классе конформных гомеоморфизмов кругового кольца [25]. Дж. Дженкинсом [2б], К. Штребелем [27, 28], П. М. Тамразовым [29] (см. также [зо]) и Г. В.1фзьминой [з] были установлены общие результаты качественного характера в вопросах существования и единственности экстремальной метрики проблемы модуля для нескольких семейств кривых (о некоторых из этих результатов говорится ниже). Применениям метода модулей посвящена работа Г. В. Кузьминой [з], там же дается обзор результатов, полученных этим методом. К последним исследованиям методом модулей относятся работы [31 — 42] .

Для многих экстремальных задач, остающихся до настоящего времени нерешенными, число полюсов ассоциированного квадратичного дифференциала достаточно велико, что и определяет трудность решения этих задач. Метод модулей оказывается эффективным методом для решения многих таких вопросовсущественную роль при этом играгат результаты единственности экстремальной метрики проблемы модуля. К указанным задачам относятся, например, воцросы о нахождении областей значений и точных оценок для различных функционалов в основных классах однолистных отображений и систем таких отображений. В данной работе приводится законченное решение некоторых таких задач методом модулей.

2. Везде в дальнейшем пользуемся терминологией, употребляемой в [i] и[з]. Приведем некоторые основные определения и факты теории модулей семейств кривых, используемые в данной работе.

Замкнутая плоскость С — риманова поверхность, конформно эквивалентная двумерной сфере, и на всей поверхности С (или в некоторой области D на С) естественно рассматривать конформно инвариантные метрики. В частности, метрику рассматриваем как такуюметрику. В соответствии с этим под спрямляемой кривой «ft4 на С понимаем кривую, для которой интеграл L. су0 ществует (как интеграл Лебега) и, возможно, равен +со. Под локально спрямляемой кривой понимаем кривую, любая замкнутая дуга которой спрямляема. В дальнейшем везде рассматриваем классы локально спрямляемых кривых, не отмечая это в ряде формулировок.

Приведем определение модуля одного класса кривых (Lопределение модуля).

Пусть D — некоторая область на С. Пусть Н — класс локально спршлляемых кривых в D. Для Н определена проблема модуля, если шлеется непустой класс Р метрик р (ъ), заданных на D, где р (?) — неотрицательная измеримая функция, удовлетворяющая следующим условиям. Для любой локально спрямляемой кривой У" в области D интеграл ^ j)(z)ldzj существует (как интеграл Лебега) и при этом.

Далее, интеграл существует и конечен. Тогда модуль семейства Н оцределяется равенством.

Л (Н)= Ktf/Mdxdy .

Каждая метрика из Р называется допустимой. Если в Р существует метрика p^fe) fct,, для которой.

Л (н)= ^p*l (z)dxdu, D то эта метрика называется экстремальной.

Основным из свойств модулей семейств кривых является конформная инвариантность. Хорошо известны примеры модулей простейших классов кривых и их связь с характеристическими конформными инвариантами области [i]. Так, для модуля двусвязной области D относительно класса кривых, разделяющих ее граничные компоненты, имеем равенство у где MCD) — конформный модуль области JJ. Через Л (D> ol) обозначаем приведенный модуль односвязной области D, CL? D, относительно точки d :

Mfi^i-tyRM. если где R CD, л) — конформный радиус области V относительно точки CL, R (D, oo) равен емкости границы области!) .

Выше уже отмечалась существенная роль данного Дк. Дкенкинсом распространения определения модуля одного класса кривых на случай нескольких классов кривых (см. [i]). В работе [2б] Дженкинс доказал существование и единственность экстремальной метрики такой проблемы модуля для семейства гомотопических классов { hlj} J =. — — I, жордановых кривых на Я = ?N A t где R — конечная ориентируемая риманова поверхность, А= • •- ^h}- множество отмеченных точек на &. Экстремальной метрикой этой проблемы модуля служит метрика, где — квадратичный дифференциал, регулярный на Яи имеющий простые полюсы в точках из, А. Как показано в [2б], рассматриваемая экстремально-метрическая проблема соответствует задаче об экстремальном разбиении К. на семейство двусвязных областей и четырехугольников, ассоциированное с семейством классов кривых {Нj j. Экстремальным свойством квадратичных. дифференциалов с замкнутыми траекториями в задаче об экстремальном разбиении римановой поверхности Яна семейство двусвязных областей посвящены, работы К. Штребеля [27, 28]. Естественно, вопрос об аналитическом выражении для. экстремальной метрики в работах [26 — 28] не рассматривался.

Важным для приложений является распространение данного .Пден-кинсом определения проблемы модуля для нескольких классов кривых на тот случай, когда среди рассматриваемых классов Hj имеются классы, кривых, гомотопных точечным кривым в отмеченных точках на (С [з]: рассмотрения такого рода связаны с теорией емкости плоских множеств. Единственность экстремальной метрики такой проблемы модуля была доказана П. М. Тамразовым (см. [29J, а также [зо]).

В дальнейшем, в соответствии с определением в [3J, под критическими траекториями квадратичного. дифференциала понимаем те его траектории, которые имеют некоторые из отмеченных точек на С своими предельными концевыми точками или содержат эти точки. Через CjO обозначаем объединение замыканий всех критических траекторий дифференциала Q (z)dz*'. Приведем краткую формулировку результата Г. В. Кузьминой [з], дающего полное качественное решение указанной выше проблемы модуля для семейства классов кривых на замкнутой плоскости С [з, теорема 0.1 ] .

Пусть С=СЧА^В), где множества отмеченных точек на. Пусть.

Н)'}9 j=V' ••> p+^rL t семейство гомотопических классов замкнутых жордановых кривых на С, где Hj, j=</-.-p, класс кривых, отделяющих некоторые из отмеченных точек на С' от остальных из этих точек и не гомотопных нулю на С, Нр+£,. hiкласс кривых, гомотопных точечной кривой в. Пусть c^j, j= =. положительные числа. Пусть кяасс всех метрик JD (sj|o!.Ej, где pfs) — вещественная неотрицательная измеримая функция, удовлетворяющая следующим условиям. Для любой локально спрямляемой кривой ^ на (L интеграл существует и при этом для? Hj.

H^pfe) Idzl >o6j 9 j=.

Во-вторых, fj^p^fe) существует и конечен, если множество.

В пусто. Если же точки имеются, то существует и конечен соответствующий предел. Проблема модуля rfg/fah' ^p+hi) состоит тогда в нахождении точной нижней границы с., оОр + ы) интеграла, если точки $>? отсутствуют, и упомянутого предела, если эти точки имеются, в классе >•••? dp+hv). Экстремальной метрикой в этой проблеме модуля является метрика iQfzf’Idzl, где сЬнФП к^'И.

Pfe)-С П (е-С-) — полином степени 4 k+2ht-lj. Объединение I замыканий всех критических траекторий дифференциала (2) разделяет С на семейство ID областей Dj-J = .Ьъ t ассоциированное с семейством классов [ Hj}, и для искомой нижней границы имеем равенство pHiv ^.

М>-(dj? ' • ') dp+ht.

Здесь р — модуль двусвязной области, ассоциированный с классом, Ьг — приведенный модуль односвязной области Dp+l относительно точки Si. Для любого допустимого семейства ID областей -[ Dj}, ассоциированного с семейством классов [Hj], имеем неравенство.

— 12 pthu Pm.

ZotjzJl (dj)4 Ъ^ЛЩ) (3) здесь.

Л (Dj) — модуль области Dj, ассоциированный с Hj), и равенство в (3) имеет место только для семейства Ю. Экстремальная метрика указанной проблемы модуля единственна и существует только один дифференциал вцца (2), для которого объединение замыканий всех кольцевых и круговых областей совпадает с 1. Коэффициент L и нули Ск полинома определяются условием связности компонент множества Ф, для дифференциала (2) и условием равенства в (I) для траекторий дифференциала (2) в области Dj. Если множество Ь не пусто, то для определения полинома P (sj имеем Иг алгебраических условий.

Проблема модуля для семейства гомотопических классов замкнутых жордановых кривых и дуг в круте с отмеченными точками в U* и на границе JJ легко сводится к рассмотренной в теореме 0.1 из [3] проблеме модуля для семейства классов кривых на С как. дубле JJ. В этом случае имеем соответствующее аналитическое выражение для экстремальной метрики £з, теорема 0.2J .

Указанные результаты существенно используются в дальнейшем.

3. Первая глава диссертации посвящена некоторым проблемам модуля для семейств гомотопических классов замкнутых жордановых кривых на всей замкнутой плоскости с исключенными отмеченными точками. Качественные результаты в общей проблеме модуля такого вида установлены в сформулированной выше теореме 0.1 из [з] .

Исследуемые в первой главе проблемы модуля равносильны задаче о максимуме суммы оС — неотрицательное вещественное число, в семействе Ю всех пар областей (D^ Dz] > гДе Di «00 & Д , — односвязная область, Dz — двусвязная область, D^, I)? ассоциированы с соответствущими классами кривых на плоскости С с исключенными отмеченными точками.

В § I первой главы переизлагаются некоторые из результатов Г. В. Кузьминой [зз]: приводится решение задачи о максимуме суммы (4) в семействе всех пар областей на С = вещественное число, где Ж/, ? 9 односвязная область, ассоциированная с классом кривых, отде-лягопщх оо от точек 0 у eL ^^, — двусвязная область, ассоциированная с классом кривых, разделяющих пары точек 0, оо и и гомотопных на ?>/ по разрезу по ломаной с вершинами в точках.

Z' ,(-<)J4?, (теоремы I.

1 и.

1.2). В дальнейшем через Е (9 9 9) обозначаем континуум наименьшей емкости, содержащий указанные точки. Первая из упоминаемых теорем посвящена задаче о континууме Е (09, представляющей собой частный случай указанной задачи при оС~0 Пусть экстремальная пара областей рассматриваемой задачи в семействе jD^. В дальнейшем существенно используется поведение величин и нуля ассоциированного квадратичного. дифференциала, как функций от У и оС, аналитические выражения для ваются в теореме 1.2 и в замечании I. I приводятся выражения для производных этих функций ПО У' и по оС.

§ 2^посвящен решению задачи о максимуме суммы (4) в семействе ID ^ пар областей где C0, ^ - вещественное. Здесь, ? D-j? — односвязная область, ассоциированная с классом Н^ кривых, отделящих.

• | оо от точек 0, С|, D^ - двусвязная область,.

разделящая точки, и точки 0, С1 t 00 и ассоциированная с классом где Н/1^ и Н^ - классы кривых, гомотопных на С разрезу по ломаной е вершинами соответственно в точках, в точках, б" 6^ (? > 0 и достаточно мало). Решение этой задачи при всех a^tf ,.

XfCff/ft и дается теоремами 1.3 — 1.5. Доказательство этих теорем проводится по схеме в работе [38J: наличие двойного нуля у ассоциированного квадратичного дифференциала позволяет и в этом случае получить решение задачи в терминах эллиптических функций. Теорема 1.3, посвященная предельному случаю cL-0, дает решение задачи о ежости континуума Е • # /iLV' sM.

6 56). Заметим, что указанный континуум имеет различную структуру при различных зависшяостях между и — при некоторых значениях С (, V Е совпадает с континуумом нашленьшей емкости для тройки точек 0, ,, описанным в теореме I.I. Теоремы 1.3 — 1.5 доказаны при условии.

О ^ С^ ^ Z Се5 ^ .В дальнейшем требуется распространение функций этих теорем на другие значения fyj^. Этому вопросу посвящено замечание 1.7 в конце первой главы..

Легко видеть, что проблема модуля § 2 этой главы находится в простой связи с соответствующей проблемой модуля для .двух классов кривых в круге: с исключенными отмеченными точками 0, (L, (L, где О < 4. Проблемы модуля для двух классов кривых в JJ N {0} d2J рассматривались в недавней работе Лиао [зб] и цривели к решению некоторых экстремальных задач. В отличие от проблем модуля § 2 этой главы, в [Зб] рассматривались только классы кривых, не гомотопных нулю в JJ ..

4. Во второй главе рассматриваются задачи о максимуме произведения конформных радиусов R в семействах неналега-ющих одно связных областей, и приложения этих задач к вопросам о значениях, выпускаемых в круге ЩуЩ функциями некоторых классов однолистных функций. Пусть ?,. отj множества отмеченных точек на С. Решение задачи о максимуме суммы 1 м..

Z*?M (l)t9h), (5) ы где^{hvположительные} числа, в семействе Ю систем неналегающих односвязных областей где $ 1? Di ,.

•дается теоремой 0.1 в [з]. Эту задачу будем называть здесь задачей I..

В § I второй главы рассматривается задача — будем называть ее задачей П — о максимуме суммы (5) в более широком семействе систем неналегащих односвязных областей f 6.

Именно, предполагается, что hiз рде.

А, т. е. каждая из областей SiI не содержит некоторого подмножества к^ - своего для каждой области — множества А,.

Применением метода внутренних вариаций и метода модулей устанавливается, что экстремальная конфигурация {еды} задачи П единственна и что кавдая из областей = ^ - круговая область для квадратичного дифференциала вида (2). При этом в отличие от задачи I некоторые из нулей Сj дифференциала (2) могут совпадать с некоторыми из точек йк ив том случае, когда эти точки лежат внутри тожества (теорема 2.2)..

Простые примеры показывают, что задачи I и П, вообще говоря, различны. В замечании 2.1 конца § I обсуждаются случаи возможного совпадения экстремальных конфигураций задач I и П..

В § 2 решается задача о максимуме произведения конформных радиусов пар неналегающих областей. Эта задача непосредственно связана с задачами о емкости, рассмотренными в первой главе. Используя теоремы I. I — 1.3 первой главы, а также результат § I этой главы, приходим к следующей теореме, которую приводим в сокращенной формулировке:.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть Ji (o,°o'}Cl) — семейство всех пар неналегающих односвязных областей, где, &&, & ,(16 В] ,.

• Тогда для любой пары Вг} справедливо точное неравенство к (Вьо) R’TBz.oo) 4 tap4(o, к, Ш, ф.% (6) где Равенство реализуется единственной парой областей BW. , определяемой условиями: m= |!г 6 Bj (&)J, при преобразовании Z-* каждой из областей соответствует область.

Пусть L=L (0- эллипс с фокусами в точках 0, Ц, определяемый уравнением |z) +/Н-4) = t > - — '2(4+ t) и lx*il (il-0/A '— точки пересечения L с координатными полуосямиU ~ L1 ($) — ветвь софокусной гиперболы, определяемая уравнением •.

В §'3 показывается, что при движении точки / по .дуге эллипса ш от точней fy до точки или по .дуге гиперболы от точки до оо емкость Е (о, ^ S>4) монотонно возрастает. Как известно, Дж. Дженкинс [43J'рассмотрел задачу о минимуме Е (о} i) при всех $&L (t) ж показал, что этот минимум реализуется только в случае. Указанный результат был установлен одновременным использованием метода модулей и метода симметризации и получил большое число приложений. Однако для получения гребущегося нам результата использовать метод непрерывной симметризации оказывается довольно затруднительным и мы устанавливаем указанные свойства td^ t исходя непосредственно из аналитических выражений для этой емкости в терминах эллиптических функций, полученных в теоремах I. I и 1.3 первой главы..

Пусть & - класс однолистных функций Бибербаха-Эиленберга, т. е. класс регулярных и однолистных в VL функций i (})^C, i}+Cz}Z+, (7) удовлетворящих условию f ffi) ff$z) ^ 1 при любых fi, fz? Н ,.

S ^ - класс регулярных и однолистных в Ы функций с разложением (7), в U ,.

Я (г) и $(1)М.

— классы фтнкций из (А/ - класс функции из S^M с вещественными^, >.. К.

§ 4 посвящен вопросу о значениях, выпускаемых в круге XL функциями классов ш и sm. Решение рассматриваемых вопросов следует из результатов §§ 2 и 3 этой главы и устанавливается теоремой 2.5 и следствиями 2.4 — 2.6. Эти результаты допускают простую геометрическую интерпретацию и приводят, в частности, к решению задачи о множестве Кебе в классе fa), которая дается следующей теоремой..

ТЕОРЕМ 2.6. Пусть. Тогда п wumi-o Ш) иЩ-пад am есть область, симметричная относительно обеих координатных осей и ограниченная кривой 2 = X) eLLf, 0 ^ Ц>< Ztf, где при.

О kfo Я) < jу — решение уравнения.

А = сор4 (о, ч, Ст (*е<'*), aftf’y..

Указываются все граничные функции этого множества..

Множество Кебе во всем классе 52. (Я) найдено в [зз]: граничные точки последнего множества определяются в терминах экстремальной конфигурации задачи Чеботарева для тройки точек, в расположении которых, вообще говоря, уже не тлеется симметрии относительно какой-либо прямой..

5. Пусть S — класс функций 1+с2?Ч., регулярных и однолистных в круге И , — класс (функций из с вещественными коэффициентами ' *.

Третья глава посвящена вопросу о значениях, принимаемых функциями класса Sr. В § I рассматривается задача о множестве значении, где fv — произвольная точка bL, в классе.

SR. Тогда как задача о множестве значений ¦?(?(c)) во всем классе S была решена Х. Грунским еще в 1932 г. и в настоящее время известно решение значительно более общей задачи о множестве значений системы (t&Cj ^ id^ ^е,)} в классе 5 (см. [44−4б]), указанная задача до сих пор не получила законченного решения..

Пусть Щ0), где Л<(i) — функция.

Кебе, и пусть Г (}ь) — дуга окружности, проходящей через точки О, ,, которая соединяет точки, z?/ и не содержит начала. В силу известного результата В. Рогозинского для типично вещественных функций [47], при ittlf0rO множество значений f (f0) в классе Sg — обозначим его через Р (}ь) — содержится в сегменте, ограниченном. дутой Г (}ь) и отрезком. При этом.

Остальная часть границы множества P (f0) — обозначит"! ее через ~ имеет весьма транс-центную природу. Задача о множестве Р (}о) исследовалась В. В. Черниковым [48J с помощью вариационного метода Г. М. Голузина и Дж. Дженкинсом [49j с помощью «общей теоремы о коэффициентах». Так, В. В. Черников показал, исходя из вида дифференциального уравнения для граничных функций, что функции класса Sg, вносящие в Pffo) точки на Г (}е>), отображают U на области одного из двух различных типов. Лд. Дкенкинс установил, что каждой точке Z € Fffo) соответствует единственная функция и что эта функция отображает Ы на область, допустимую относительно квадратичного дифференциала определенного вида. В [49] устанавливается, как меняется вид этого дифференциала, следовательно, вид области.

U), при движении точки z? по .дуге Г fa) от до. Вопросы получения аналитических выражений для ^Yfo) и для параметров указанного дифференциала, а также исследования геометрических свойств Г7 (fb) в зависимости от положения точки в [49J не рассматривались и была отмечена трудность такого исследования..

В § I третьей главы находятся аналитические условия, определяющие Г1 (}о), и тем самым полностью определяется множество значений ?(}*) в классе. Для возможности прямого применения результатов первой главы вводится в рассмотрение класс !*?= {FM: 6 5g} функций, мероморфных и однолистных в области Д= €s[^LfJ. Обозначая множество значений в этом классе функций через, шлеем j? Р (Сг 1(w0)}J t пусть ~ соответствующая граничная .дута множества множества Ь/о). Посредством одновременного рассмотрения экстремальных конфигураций проблем модуля §§ I и 2 первой главы соответственно в плоскости образа и плоскости независимого переменного находим аналитические условия, определяющие ^(ь/о), а потому и искомое множество значений теорема 3.1). При этом условие равенства конформных модулей двусвязных областей в указанных конфигурациях определяет параметр & и выбор гомотопических классов в этих проблемах модуля (лемма 3.1). Это же условие позволяет указать .для любой точки? ? T (Wc) граничную функцию, именно, получить аналитические выражения для параметров определяющего ее квадратичного дифференциала (лемма 3.2). Теорема 3.2, дающая решение задачи о множестве значений в классе, уже непосредственно слецует из теоремы. 3.1..

В § 2 проводится детальное исследование граничной дуги множества. Показывается, что обладает различными геометрическими свойствами при различных положениях точки ЬГ0й Д' в некоторых: случаях «Jff^*0) определяется уравнением 2= C^fyjQ1^ 9 где монотонно возрастает, в других случаях C^fo) имеет на промежутке задания одш или два локальных максимума (теорема 3.3). Отсюда получаем решение задачи о минимуме j-f (fo)j в классе S? (теорема 3.5). Пусть ^ = 0<М 9. Теорема 3.5 показывает, что при экстремальной является функция Кебе %(}). При ШЦ><^{искомый} минимум определяется в терминах аналитических выражений теорем 3.1 и 3.3. В § 3 находится множество где в классе Sg (теорема 3.6, замечание 3.4). Граница этого множества конкретно определяется также в терминах теоремы, 3.1..

6. Четвертая глава посвящена точным оценкам начальных коэффигк циентов в некоторых классах однолистных функций. Пусть 5 Ккласс функции из $ вида + Сш. ..

JE — класс функций мероморфных и однолистных в области с разложением вида р Ж.

— 22 класс функций из 2, в Ы* вида т'}*<£** У0″ 0* ЪмГ'*?.-.

S^, и — соответственно классы функций из S, 2″ и 2, с вещественными коэффициентагли в указанных разложениях..

Хорошо известна та роль, которую сыграла в общей проблематике и развитии методов геометрической теории функций гипотеза Бибер-баха, состоящая в предположении, что для каждой функции класса справедливы неравенства и равенство здесь имеет место только для функции Кебе f/fa't})^, 1&I ~ ^ .В 1936 г. Робертсон предположил, что для S^ справедливо неравенство.

И.v.

Гипотезы Бибербаха и Робертсона были доказаны совсем недавно Луж де Бранжем [50j при помощи метода Левнера. В вопросе о точных оценках начальных коэффициентов в классе (ив классах 5К) к настоящему времени получено сравнительно мало результатов. Так, i И-Zjij.p известны следующие точные оценки начальных коэффициентов (см., например, [5l]):.

В 1976 г. Лшлан [52 J получил для $•(}) € S % точное неравенство | С ?1090/1023 ..

Трудность получения оценок в классе .21 (как и в классах 5^, 1< = обусловлена тем фактом, что оценка коэффициента для каждого Иимеет щдивщдуальный характер. В классе X известны. точные неравенства (см., например, [l]) —.

В 1975 г. Кубота [53, 54] получил точные оценки для Re, и & о в классе функций из X соответственно с вещественным оС^ и вещественными о^ и d&. Полученная оценка для & была первым опровержением предположения, что в классе для всех четных К & ..

В § I четвертой главы устанавливаются точные неравенства .для четвертого коэффициента разложения f ($(?)/}], ? % 4 1, в ряд по степеням ^ в классе (теорегла 4.1)..

При выводе оценок теоремы 4.1 используются неравенства Грунс-кого, дающие необходимые и достаточные условия принадлежности функции классу S и факты о структуре траекторий ассоциированного квадратичного.дифференциала. Доказательство существования и единственности экстремальных отображении теоремы 4.1 основывается на одновременном рассмотрении структуры концевых областей квадратичных дифференциалов в плоскости независимого переменного и в плоскости образа: рассмотрения такого рода проводились в работах рдда авторов цри применении «общей теоремы о коэффициентах» Дженкинса. Из теоремы 4.1 вытекают следующие точные неравенства в с К классе при К = (следствие 4.1):.

3 Kz+3k + 0 1.

Шн)1 1 п У л.

—, если u^f-t? и ..

1)*> J.

Указываются все экстремальные функции этих оценок. Ясно, что полученные неравенства дают и точные оценки снизу для С-зц+j в.

С К с-К. классе о^. Аналогичные оценки получены и в классе А^К'ЦЗ.,., (следствие 4.2). Следствие 4.1 при K-Z усиливает указанную выше.

Л с 2 оценку, полученную Лиманом для «у. в классе Ьд. В § 2 главы 4 доказывается следующая теорема..

ТЕОРЕМА. 4.2. Пусть {(}) €. Тогда справедливы точные неравенства: если d^O у если dj? 0 ..

Находятся все экстремальные функции этих неравенств..

Теорема 4.2 усиливает для функций из Z? соответствующее неравенство для, установленное Куботой [53 J более сложным путем для функцийj-(f) 6 И с вещественными о^ и. Вы.

L+ jL. 3 W lil 3 ^ № вод неравенств теоремы 4.2 проводится по той же схеме, как и в § I этой главы, а их точность следует из точности оценок теоремы 4.1..

7. Результаты диссертации докладывались на УШ и IX Донецких коллоквиумах по теории квазиконформных отображений, ее обобщениям и приложениям, а также на совместной конференции молодых ученых МИАН, ЛОМИ, ТбГу, на Ленинградском семинаре по геометрической теории функций..

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Г. В. Кузьминой за постановку задач, постоянное внимание и поддержку..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах.

42], [бб] ..

1. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М., ИЛ, 1962, 265 с..

2. Jenkins J.A. An extension of the general coefficient theorem.-Trans.Amer.Math.Soc., 1960, v.95, N 3, p.387−407..

3. Кузьмина Г. В. Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы. Труды Мат. ин-та игл.В. А. Стеклова АН COOP, 1980, т. 139, 240 с..

4. Grotzsch H. Ober ein Variationsproblem der konformer Abbildung. Ber.Verh.Sachs.Akad.Wiss. Leipzig, Math.-Phys.Kl., 1930, Bd 82, S 251−253..

5. Лаврентьев M.A. К теории конформных отображений. Труды Физ.-Мат. ин-та АН СССР, 1934, т.5, с.195−246..

6. Голузин Г. М. Метод вариаций в конформном отображении. 1У. -Мат. сб., 1951, т.29(71), Ш 2, с.455−468..

7. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Изд.2-е, М.," Наука", 1966, 628 с..

8. Куфарев П. П. К вопросу о конформных отображениях дополнительных областей. ДАН СССР, 1950, т.73, 5, с.881−884..

9. Куфарев П. П., Фалес А. Э. Об одной экстремальной задаче для дополнительных областей. ДАН СССР, 1951, т.81, № 6, с.995−998..

10. Колбина Л. И. Некоторые экстремальные задачи в конформном отображении. ДАН СССР, 1952, т.84, J6 5, с.865−868..

11. Jenkins J.A. A recent note of Kolbina. Duke Math.J., 1954, v.21, N 1, p.155−162..

12. Лебедев Н. А. К теории конформных отображений круга на нена-легащие области. ДАН СССР, 1955, т.103, IH, с.553−555..

13. Лебедев Н. А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.," Наука", 1975, 336 с..

14. Александров И. А. Параметрические цродолжения в теории однолистных функций. М.," Наука", 1976, 343 с..

15. Huckemann F. On extremal decompositions of the unit disk. -J.Anal.Math., 1967, v.19, p.173−202..

16. Pirl U. liber die geometrical Gestalt eines Extremalkontinuums aus der Theorie der konformer Abbildung.- Math.Nachr., 1969, Bd 39, H.4−6, S 297−312..

17. Бахтина Г. П. Об одной экстремальной задаче конформного отображения неналегаицих областей. Укр.мат.журн., 1974, т.26,5, с.646−648..

18. Бахтина Г. П. Об экстремизации некоторых функционалов в задаче о неналегащих областях. Укр.мат.журн., 1975, т.27,J£ 2, с.222−224..

19. Андреев В. А. Экстремальные задачи для неналегающих областей.-Автореф. кацц.дисс. Донецк, 1976, II с..

20. Александров И. А., Ацдреев В. А. Экстремальные задачи для систем функций без общих значений. Сиб.мат.журн., 1978, т.19, В 5, с.970−982..

21. Jenkins J.A. On Bieberbach-Eilenberg functions. I, It , — Trans. Amer.Math.Soc., 1954, v.16, N 3, p.389−396- 1955, v.78, N 2, p.510−515..

22. Jenkins J.A. On a problem of Gronwall.- Ann.Math., 1954, v.59, N 3, p.490−504..

23. Jenkins J.A. Some theorems on boundary distortion.- Trans. Amer.Math.Soc., 1956, v.81, N 2, p.477−500..

24. Тамразов П. М. 0 некоторых экстремальных задачах конформного отображения. Мат.сб., 1967, т.73(115), В I, с.99−125..

25. Huckemann F. Extremal elements on certain classes of conformal mapping of an annulus.- Acta Math., 1967, v.118, N 3 4, p.193−221..

26. Jenkins J.A. On the existence of certain general extremal metrics. Ann.Math., 1957, v.66, N 3, p.440−453..

27. Strebel K. tiber quadratische Differentiale mit geschlossen Tra-jektorien und extremale quasikonforme Abbildungen.- In: Fest-band zum 70. Geburdstag von R.Nevanlinna. Berlin u.a., Sprin-ger-Verlag, 1966, p.105−127..

28. Strebel K. On quadratic differentials with closed trajectories and second order poles.- J.Anal.Math., 1967, v.19, p.373−382..

29. Тамразов П. М. Метод экстремальной метрики и конформное отображение. Автореф.канд.дисс. Киев, 1963, 23 с..

30. Тамразов П. М. Теоремы покрытия линий при конформном отображении. -Мат.сб., 1965, т.66(108), 14, с.502−524..

31. Кузьмина Г. В. К задаче о максимуме произведения конформных радиусов неналегащих областей. Зап.научи. семин. ЛОМИ, 1980, т.100, с.131−145..

32. Федоров С. И. 0 максимуме произведения конформных радиусов четырех неналегающих областей. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1980, т.100, с.146−165..

33. Кузьмина Г. В. Теоремы покрытия в классах функций Бибербаха-Эйленберга. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1981, т.112, с.143−158..

34. Федоров С. И. О максимуме одного конформного инварианта в задаче о неналегащих областях. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1981, т.112, с.172−183..

35. Liao L. Certain extremal problems concerning module and harmonic measure.- J.Anal.Math., 1981, v.40, p.1−42..

36. Кузьмина Г. В. К задаче о максимуме произведения конформных радиусов неналегащих областей в круге. Зап.научн.семин. ЛОМИ, 1983, т.125, с.99−113..

37. Кузьмина Г. В. 0 максимуме одного конформного инварианта, связанного с емкостью. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1983, т.125, с.114−127..

38. Кузьмина Г. В. Об одной проблеме модуля для семейств кривых.-Препринт ЛОМИ Р-6−83. Л., 1983, 43 с..

39. Гаврилюк М. Н., Солынин А. Ю. Применение проблем модуля к некоторым экстремальным задачам. Деп. в ВИНИТИ, В 3072−83, 139 с..

40. Гаврилюк М. Н., Солынин А. Ю. Оценки модуля производной в некоторых классах однолистных функций. Деп. в ВИНИТИ, $ 5656−83, 18 с..

41. Федоров С. И. 0 вариационной проблеме Чеботарева в теории емкости плоских множеств и теоремах покрытия для однолистных конформных отображений. Мат.сб., 1984, т. 123(165), № 5,с.I2I-I39..

42. Федоров С. И. Модули некоторых семейств кривых и множествозначений в классе однолистных функций с вещественнымикоэффициентами. Зап.научн.семин.ЛСМН, 1984, т.139, с.156−167..

43. Jenkins J.A. On certain geometrical problems associated with capacity.- Math. Nachr1969, Bd 39, H. 4−6, S 349−356 ..

44. Попов В. И. Область значений одной системы функционалов на классе S. Труды Томск. ун-та, 1965, т.182, с.107−132..

45. Гутлянский В. Я. Параметрическое представление однолистных функций. ДАН СССР, 1970, т.194, J5 5, с.750−753..

46. Горяйнов В. В. Об экстремалях в оценках функционалов, зависящих от значений однолистной функции и ее производной. В кн.: Теория отображений и приближение функций. Киев, «Науко-ва думка», 1983, с.38−49..

47. Rogosinski W. uber positive harmonische Entwicklungen and typisch-reelle Potenzreichen.- Math.Z., 1932, Bd 35, N 1, S 93−121..

48. Черников В. В. Однолистные функции с вещественными коэффициентами Уч.зап.Томск.ун-та, I960, 36, с.3−12..

49. Jenkins J.A. On univalent functions with real coefficients,-Ann.Math., 1960, v.71, N 1, p.1−15.50. de Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture.- LOMI Preprints, E-5−84, Leningrad: LOMI, 1984, 21 p..

50. Голузин P.M. Некоторые вопросы теории однолистных функций. Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1949, т.27, 109 с..

51. Leeman G. The seventh coefficient of odd symmetric univalent functions.- Duke Math.J., 1946, v.43, N 2, p.301−307..

52. Kubota Y. A coefficient inequality for certain meromorphic univalent functions.- Kodai Math.Semin.Rep., 1974/1975, v.26,N 1, p.85−94..

53. Kubota Y. On the fourth coefficient of meromorphic univalent functions. Kodai Math.Semin.Rep., 1974/1975, v.26, Ж 2−3, p.267−282..

54. Schiffer M. Univalent functions whose n first coefficients are real. J.Anal.Math., 1967, v.18, p.329−349..

55. Федоров С. И. К оценкам начальных коэффициентов в классах однолистных функций. Зап.науч.семин.ЛОМИ, 1983, т.125,с.166−183..

56. Jenkins J.A. On certain extremal problems for the coefficients of univalent functions. J.Anal.Math., 1967″ v.18,p.173−184..