Разработка и применение асимптотических методов к исследованию моделей резервирования и массового обслуживания

Асимптотические методы играют важную роль при исследовании многих математических моделей, в том числе таких, которыми описывается функционирование различных типов систем массового обслуживания. Обычно об асимптотических методах говорят в том случае, когда непосредственные вычисления затруднительны из-за необходимости производить вычисления большого объема, или если в явном виде такие вычисление современными математическими средствами невозможно, но некоторым способом удается получить удовлетворительное для практики приближенное решение.

Одним из основных моментов при анализе сложной системы является нахождение явных зависимостей между ее входными и выходными характеристиками. Под явными зависимостями будем понимать либо независимость выходных характеристик от входных — своего рода инвариантность, — либо их скачкообразную зависимость, — аналог фазового перехода в физических системах. Обнаружение таких зависимостей даже для упрощенной модели системы позволяет рассчитывать на их сохранение при более детальном описании системы. В результате возникают содержательные гипотезы о поведении сложной системы, которые можно в дальнейшем проверять уже в ходе вычислительного эксперимента. Без формулировки таких гипотез и аналитическое исследование, и вычислительный эксперимент могут стать весьма громоздкими и затратными процедурами.

Одним из основных приемов упрощения модели системы является использование асимптотических методов. Развитие асимптотических методов с целью нахождения явных зависимостей между входными и выходными характеристиками системы предполагает прежде всего удобный выбор этих характеристик. Настоящая диссертация посвящена выбору таких характеристик для сетевых моделей массового обслуживания и надежности. Актуальность такой задачи связана с интенсивным развитием телекоммуникационных и компьютерных сетей, а также других технических систем. Компьютерные сети и компоненты связи подвергаются постоянной модернизации. Быстро меняющаяся среда требует умения своевременно реагировать на происходящие изменения. Естественно появляется необходимость посмотреть на примере математических моделей, как ведут себя системы при различных значениях параметров.

В работе исследуются два типа асимптотик, характерных для сложных стохастических систем. Первый из них связан с эффектом объединения автономно работающих систем. Наличие сильного взаимодействия или отсутствие такового являются двумя крайними случаями взаимодействия между отдельными элементами сложных стохастичесих систем. Изучение возникающих при объединении эффектов взаимодействия между объединяемыми подсистемами в различных сетевых моделях теории надежности и теории массового обслуживания представляет большой практический интерес, т.к. в этом случае появляется иной режим работы. Объединенная система приобретает новые свойства, знание которых позволяет в дальнейшем конструировать системы, обладающие заданными характеристиками.

Коммутационные эффекты в различных моделях массового обслуживания, резервирования и страхования исследовал Г. Ш. Цициашвили в работах [21], [22], [24], [96], где обнаруживается факт наличия достаточно сильного взаимодействия между объединяемыми подсистемами и дается его количественная оценка для перечисленных моделей. В частности, в [22] для модели резервирования с восстановлением получена скорость сходимости к единице вероятности функционирования всех рабочих мест объединенной системы в случае, когда коэффициент загрузки системы р < 1. В [24] исследовано влияние нескольких способов коммутации одноканальных СМО типа ММ1оо на показатели эффективности сконструированных систем.

В настоящей работе исследовано поведение вероятности наличия элементов на всех рабочих местах объединенной системы дублирования с восстановлением для различных значений критического параметра р данной модели в окрестности единицы. Построена определенная зависимость р от числа объединяемых подсистем, что позволило обнаружить эффект взаимодействия подсистем в рассматриваемой модели. Полученные результаты тесно связаны с исследованием надежности сложных восстанавливаемых систем, широко используемых в телекоммуникационных и компьютерных сетях, а также в других технических системах.

Стоит отметить, что без предварительного асимптотического анализа предпринятые ранее попытки численного расчета рассматриваемой вероятности не давали результатов. Выполненный нами анализ позволил провести вычислительный эксперимент, результаты которого подтверждают и уточняют характер обнаруженного переходного режима работы объединенной системы.

Если ввести некоторые условия в рассматриваемую модель, появляется вопрос: как изменятся ее свойства? Мы добавили в модель резервирования с восстановлением новое свойство — конкуренцию между ремонтными местами и так же исследовали поведение вероятности наличия элементов на всех рабочих местах данной системы.

В последнее время особый интерес у специалистов в области теории массового обслуживания вызывают исследования асимптотического поведения хвостов распределения случайных величин Р (х) = 1 — ^(ж), характеризующих различные математические модели массового обслуживания (см., например, [46], [47], [54], [55], [57], [58]).

Второй тип асимптотик, исследуемый в настоящей работе связан с поведением тяжелых хвостов распределения случайных величин. Тяжелые хвосты распределения обнаружены в последние годы во многих моделях массового обслуживания, теории надежности и страхования. Например, оказалось, что хвосты распределений времен обслуживания и ущербов страховых компаний являются тяжелыми [24], [64]. Этой тематике посвящено достаточно большое число работ, среди которых работы С. Асмуссена, К. Клюппельберг [52], Ф. Бачелли, С. Шлегеля, В. Шмидта [56], А. Балтру-нас, Д. Дэйли, К. Клюппельберг [57], Д. Коршунова, С. Асмуссена, С. Фос-са [83], А. Шеллера-Вольфа и К. Сигмана [91], А. Шеллера-Вольфа [92], В. Витта [97]. Однако модели, для которых проводятся эти исследования, в основном ограничиваются классической моделью риска и одноканальными системами массового обслуживания (СМО) М|(?|1|оо, £|(3|1|оо в стационарном режиме.

Первые результаты асимптотического анализа стационарных распределений с тяжелыми хвостами в сетях массового обслуживания представлены в работе С. Фосса, Ф. Бачелли, К. Клюппельберг [70].

В современных же системах передачи данных (включая Интернет) потоки являются нестационарными и, более того, имеют зависимые интервалы между приходом заявок [64]. Поэтому существует потребность в изучении систем массового обслуживания с такими потоками. Причем основной акцент делается на выборе таких нестационарных характеристик потоков, чьи асимптотические свойства можно было бы получать для сетей со структурой достаточно общего вида.

Известно (см. [15]), что распределение времени ожидания в стационарном состоянии для систем М|(7|1|оо и М|(?|т|оо можно получить при решении интегро-дифференциального уравнения Такача, а для систем Сг|Сг|1|оо и ?|(3|т|оо — интегрального уравнения Линдли. Однако решение этих уравнений связано с большими трудностями, особенно для случая многоканальных систем.

Асимптотическому исследованию распределения времени ожидания заявки посвящены работы [10], [46], [47], [70], [77], [97]. Несколько работ посвящено рассмотрению многоканальных СМО в стационарном режиме. Один результат содержится в работе Ф. Бачелли и С. Фосса [55], где получена грубая асимптотика для частного случая двухканальиой системы. В [10] рассмотрена существенно более простая модель многоканальной системы, когда все законы распределения показательные. В. Витту [97] удалось провести асимптотический анализ распределения времени ожидания заявки лишь в модели М|С|га|оо путем построения нижней оценки хвоста соответствующего распределения. В связи с этм вопрос об асимптотическом анализе распределения времени ожидания заявки в многоканальных СМО остается открытым. По мнению Д. Дейли этот вопрос представляет значительный теоретический и практический интерес, в частности, в связи с задачами теории расписаний в многоканальных системах.

Мы рассмотрели случай произвольного числа каналов т, но при нестационарном режиме. Благодаря этому получена асимптотика хвоста распределения времени ожидания с точностью до постоянного множителя. Наряду с этим получена асимптотика для времени освобождения к приборов от ранее пришедших заявок.

В работе А. Балтрунас, Д. Дэйли и К. Клюппельберг [57] приводится асимптотика хвоста распределения периода занятости в стационарном режиме для одноканальных систем С/|(7/|1, причем используется очень сложная техника получения результатов. Анализ стационарных распределений времени пребывания заявки в многоканальных системах массового обслуживания проводился А. Шеллером-Вольфом и К. Сигманом [91], [92]. Задача решалась авторами в терминах конечных моментов.

В нашей работе исследуются инвариантные характеристики, определяемые субэкспоненциальными распределениями, в одноканальных СМО типа М|(7|1|оо, Ст|С?|1|оо. Функция распределения времени обслуживания? не всегда достаточно точно известна. Мы получили теоремы, позволяющие строить предельные характеристики для С, не зависящие от неизвестных медленно меняющихся множителей. Полученные результаты являются оригинальными. Они основаны на классификации субэкспоненциальных распределений, предложенной К. Голди и К. Клюппельберг в [74].

В настоящее время изобретают все более дробные классы распределений. Мы не формируем новых классов, а применяем уже известные классы к различным моделям. Полученные результаты можно использовать для модели риска с пуассоновским входным потоком.

В связи с приложениями теории риска в последние годы возрос интерес к логико-вероятностным моделям (см. [14], [17]), но асимптотические исследования в этой области практически не проводились. Мы провели асимптотический анализ логической системы с ненадежными элементами.

Асимптотические оценки широко применяются в математической теории риска, где одной из основных задач является нахождение вероятности разорения страховой компании. Большое число работ посвящено изучению вероятности разорения в классической модели риска. Свойства классического процесса риска хорошо изучены, см., например, [75]. Для рассмотрения более реалистичных моделей возникает необходимость учета новых факторов (инфляция, перестрахование и др.) и как следствие неизбежного расширения спектра применяемых методов. Реальный расчет вероятности разорения труден, более того, получение ее явного вида для многих моделей оказывается невозможным, поэтому значительный интерес представляет нахождение различных апроксимаций, построение двусторонних оценок и применение численных процедур (см. [11], [50], [78]). В основном алгоритмы вычисления вероятности разорения предложены для классической модели риска.

Одним из значимых направлений теории коллективного риска является теория вероятности разорения в случае, когда распределение размеров выплат имеет тяжелый хвост. В [11] В. В. Калашников и Д. Констаптинидис получили двусторонние оценки вероятности разорение для модели Спарре Андерсена в случае выплат с тяжелыми хвостами.

Страховой рынок России в последнее десятилетие, в отличие от своих западных аналогов, характеризуется большей нестабильностью, влиянием дополнительных факторов риска, общей политической и экономической обстановкой в стране. Возникла объективная необходимость наряду с долгосрочными прогнозами проводить оценку ситуации и на небольших отрезках времени с учетом дополнительных рисков. Однако работы по изучению вероятности разорения на конечных промежутках времени страхования редки, отметим среди них [80], где предложена рекурсивная оценка вероятности разорения х) на конечном промежутке времени длины? при начальном капитале х.

В данной работе получены асимптотические и численные оценки вероятности разорения на конечном отрезке времени в модели риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы используя асимптотические методы выделить явные зависимости между входными и выходными характеристиками в моделях резервирования, массового обслуживания и страхования.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Исследовать поведение вероятности наличия элементов на всех рабочих местах объединенной системы дублирования с восстановлением и системы резервирования с восстановлением и конкуренцией между ремонтными местами.

2. Провести асимптотическое исследование нестационарных характеристик потоков в системах массового обслуживания.

3. Провести асимптотическое и численное исследование модели риска с дискретным временем.

В первой главе исследуется явление типа фазового перехода для объединения систем дублирования с восстановлением. Приводятся данные численного эксперимента, подтверждающие и уточняющие характер этого явления. Рассматривается также система резервирования с восстановлением и конкуренцией между ремонтными местами и показывается, как меняются ее свойства в связи с введением конкуренции.

Во второй главе строится асимптотика хвостов распределения интервалов между выходом заявок из СМО. Эта асимптотика исследуется в случае, когда СМО определяется субэкспоненциальными распределениями интервалов между приходом заявок и времен их обслуживания. Выявлено, что она в основном определяется более тяжелым из хвостов перечисленных выше распределений. Исследовано влияние структуры СМО на вид рассматриваемых асимптотических оценок.

Изучено асимптотическое поведение хвоста распределения свободного периода в открытой сети массового обслуживания (СеМО). Установлено, что независимо от вида сети она эквивалентна хвосту распределения интервала между приходом заявок в сеть.

Исследуется асимптотика хвоста распределения времени пребывания заявки в многоканальной СМО. Показано, как распределение времени ожидания и времени пребывания заявки в системе зависит от числа обслуживающих приборов и номера заявки.

Рассматривается модель логической системы с ненадежными элементами. Строится асимптотика распределения времени жизни этой системы. Вычисление асимптотики существенно проще, чем непосредственное вычисление вероятностных характеристик модели и основано как на знании структуры логической системы, так и на вероятностных свойствах ее элементов.

В третьей главе строятся и исследуются инвариантные характеристики хвостов стационарного распределения времени ожидания в системах массового обслуживания М|С?|1|оо и (?|С?|1|оо, определяемых субэкспоненциальными распределениями. Хвосты этих распределений задаются с точностью до медленно меняющихся множителей. Получены стационарные характеристики, инвариантные относительно этих множителей.

В приложении рассматривается модель риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты. Получены асимптотические и численные оценки вероятности разорения на конечном отрезке времени в рассматриваемой модели. Предложен алгоритм численного интегрирования медленно меняющейся функции.

Результаты диссертационной работы докладывались на Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е. В. Золотова (Владивосток, 2001, 2003, 2005, 2006 гг.), на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2001;2003 гг.), на семинарах ИПМ ДВО РАН (Владивосток, 2002, 2004 гг.), на Международной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» (Хабаровск, 2003 г.), на заседаниях кафедры математики БГПИ (Биробиджан, 2001;2004 гг.), на двух семинарах лаборатории приближенных методов и функционального анализа ВЦ ДВО РАН (Хабаровск, 2004 г.). Работа вошла составной частью в поддержанный РФФИ проект 03−01−512: «Разработка методов стохастического управления параметрами систем массового обслуживания и асимптотического исследования их потоков» .

По теме диссертации опубликовано 17 работ [29]-[45].

Заключение

.

В диссертационной работе используя асимптотические методы были выделены наиболее явные зависимости между входными и выходными характеристики в моделях резервирования, массового обслуживания и страхования.

Сформулируем основные результаты диссертации.

1. Исследованы коммутационные эффекты в модели дублирования с восстановлением и модели резервирования с восстановлением и конкуренцией между ремонтными местами.

2. Получены асимптотичекие формулы для хвостов распределения интервалов между выходом заявок из многоканальных систем массового обслуживания, хвостов распределения времени пребывания и времени ожидания заявки в этих системах в нестационарном режиме и хвоста распределения свободного периода в открытой сети массового обслуживания.

3. Получены инвариантные характеристики хвостов стационарного распределения времени ожидания в системах массового обслуживания М|?|1|оо и <�ЭД1|оо, определяемых субэкспоненциальными распределениями.

4. Проведено асимптотическое и численное исследование вероятности разорения на конечном отрезке времени в модели риска с дискретным временем.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Г. Ш. Цициашвили за постановку задач и внимание к работе.