Оптимизационные методы решения вариационных неравенств
Диссертация
В работах начала семидесятых годов прошлого века впервые был использован итерационный процесс, заменяющий задачу конечномерной оптимизации последовательностью задач минимизации исходной целевой функции с проксимальной регуляризирующей добавкой. Главное преимущество этого вида регуляризации, в отличие от регуляризации по Тихонову, состоит в том, что нет необходимости устремлять параметр… Читать ещё >
Содержание
- ГЛАВА 1. Задача о движении жидкости в трубе с трением на границе
- Существование и единственность решения
- Метод конечных элементов
- 1. 1. Постановка задачи
- 1. 2. Условие разрешимости
- 1. 3. Вариационное неравенство и краевая задача
- 1. 4. Аппроксимация задачи по методу конечных элементов
- 1. 5. Метод итеративной проксимальной регуляризации
- ГЛАВА 2. Методы двойственности
- 2. 1. Классическая двойственность
- 2. 2. Модифицированный функционал Лагранжа. Характеристические свойства
- 2. 3. Метод Удзавы нахождения седловой точки
- 2. 4. Итеративная проксимальная регуляризация модифицированного функционала
- 2. 5. Аппроксимация по методу конечных элементов и реализация алгоритмов
- ГЛАВА 3. Методы двойственности с классическим и модифицированным функционалами Лагранжа при решении коэрцитивной задачи
- ЗАКЛЮЧНИЕ
Список литературы
- Андерсен, JI.-E. Трещина, выходящая за контактную границу. Метод фиктивных областей и инвариантные интегралы / JI.-E. Андерсен, A.M. Хлуднев // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. -Т. XI, № 3.-С. 15−29.
- Аннин, Б.Д. О численной реализации вариационного неравенства в задачах динамики упругопластических тел / Б. Д. Аннин, В. М. Садовский // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. -Т. 36, № 9.
- Аннин, Б.Д. Упруго-пластическая задача / Б. Д. Аннин, Г. П. Черепанов. -М.: Наука, 1983.-239 С.
- Антипин, А.С. О методе выпуклого программирования, использующем симметрическую модификацию функции Лагранжа / А. С. Антипин // Экономика и математические методы. 1976. — Т. 12, № 6. — С. 11 641 173.
- Антипин, А.С. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа / А. С. Антипин. Москва, Препринт ВНИИ системных исследований. — 1979. — С. 1−73.
- Антипин, А.С. Равновесное программирование: проксимальные методы / А. С. Антипин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. — Т. 37, № 11. — С. 1327−1339.
- Антипин, А.С. Экстрапроксимальный метод решения равновесных и игровых задач / А. С. Антипин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. — Т. 45, № 11. — С. 1969−1990.
- Антипин, А.С. Регуляризированный метод с прогнозом для решения вариационных неравенств с неточно заданным множеством / А. С. Антипин, Ф. П. Васильев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. — Т. 44, № 5. — С. 796−804.
- Бадриев, И.Б. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами / И. Б. Бадриев, О. А. Задворнов // Известия ВУЗов. Математика. 2003. — № 1. — С. 20−28.
- Бадриев, И.Б. Исследование сходимости итерационных методов решения нелинейных задач теории фильтрации / И. Б. Бадриев, А. Д. Ляшко, О. В. Панкратова // Известия ВУЗов. Математика. 1998. — № 11. — С. 813.
- Бадриев, И.Б. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных стационарных задач теории фильтрации / И. Б. Бадриев, О. В. Панкратова // Исследования по прикладной математике. 1989. — Вып. 16. — С. 17−34.
- Байокки, К. Вариационные и квазивариационные неравенства: Приложения к задачам со свободной границей / К. Байокки, А. Капело. М.: Наука, 1988.-448 С.
- Бердичевский, В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды / В. Л. Бердичевский. М.: Наука, 1983. — 448 С.
- Бертсекас, Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа / Д. Бертсекас. М.: Радио и связь, 1987. — 399 С.
- Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. М.: Мир, 1987. — 542 С.
- Васильев, Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. М.: Изд-во Московского университета, 1974. — 374 С.
- Васильев, Ф.П. Методы регуляризации для решения неустойчивых задач минимизации первого типа с неточно заданным множеством / Ф. П. Васильев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. — Т. 41, № 2. — С. 217−224.
- Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. -М.: Наука, 1980. 518 С.
- Васильев, Ф.П. Методы решения экстремальных задач / Ф. П. Васильев. -М.: Наука, 1981.-400 С.
- Васильев, Ф.П. Регуляризированный проксимальный метод для задач минимизации с неточными исходными данными / Ф. П. Васильев, О. Обрадович // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. — Т. 33, № 2. — С. 179−188.
- Вепринцев, С.И. О методе итеративной регуляризации, использующем проксимальный оператор / С. И. Вепринцев // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. — Т. 37, № 1. — С. 7−10.
- Вихтенко, Э.М. О методе решения полукоэрцитивных вариационных неравенств, основанном на методе итеративной проксимальной регуляризации / Э. М. Вихтенко, Р. В. Намм // Известия ВУЗов. Математика. 2004. -№ 1.-С. 31−35.
- Вихтенко, Э.М. О скорости сходимости метода конечных элементов в полукоэрцитивной модельной задаче с трением / Э. М. Вихтенко, Р. В. Намм // Дифференциальные уравнения. 2009. — Т. 45, № Ю. — С. 1504−1508.
- Вихтенко, Э.М. Схема двойственности для решения полукоэрцитивной задачи Синьорини с трением / Э. М. Вихтенко, Р. В. Намм // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. — Т. 47, № 12.-С. 2023−2036.
- Вторушин, Е.В. Численное исследование модельной задачи для уравнения Пуассона с ограничениями типа неравенств в области с разрезом /
- Е.В. Вторушин // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. -Т. VIII, № 1.'-С. 41−49.
- By, Г. Метод итеративной проксимальной регуляризации для поиска седловой точки в полукоэрцитивной задаче Синьорини / Г. By, С. Ким, Р. В. Намм, С. А. Сачков // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. — Т. 46, № 11. — С. 2024−2031.
- Галин, Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / Л. А. Галин. М.: Наука, 1980. — 303 С.
- Главачек, И. Решение вариационных неравенств в механике / И. Главачек, Я. Гаслингер, И. Нечас, Я. Ловишек. М.: Мир, 1986. — 270 С.
- Гловински, Р. Численное исследование вариационных неравенств / Р. Гловински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер. М.: Мир, 1979. — 574 С.
- Голиков, А.А. Модифицированная функция Лагранжа для задач линейного программирования / А. А. Голиков, Ю. Г. Евтушенко // Известия ВУЗов. Математика. 1997. — № 7. — С. 45−48.
- Гречка, Г. Ю. Модифицированные процедуры итеративной ргох-регуляризации / Г. Ю. Гречка// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. — Т. 37, № 8. — С. 914−924.
- Голыптейн, Е.Г. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации / Е. Г. Голыптейн, Н. В. Третьяков. М.: Наука, 1989. -400 С.
- Гроссман, К. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации / К. Гроссман, А. А. Каплан. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1981. — 183 С.
- Джангвеладзе, Т.А. О вариационной постановке одной нелокальной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертогопорядка / Т. А. Джангвеладзе, Г. Б. Лобжанидзе // Дифференциальные уравнения. 2009. — Т. 45, № 3. — С. 325−333.
- Дюво, Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. -М.: Мир, 1980.-383 С.
- Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1986. — 318 С.
- Золотухин, А.Я. О линейной скорости сходимости методов с итеративной проксимальной регуляризацией / А. Я. Золотухин, Р. В. Намм, А. В. Пачина // Известия ВУЗов. Математика. 2006. — № 12. — С. 44−54.
- Золотухин, А.Я. Приближенное решение полукоэрцитивной задачи Синь-орини с неоднородным граничным условием / А. Я. Золотухин, Р. В. Намм, А. В. Пачина // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. — Т. 43, № 3. — С. 388−398.
- Ижуткин, B.C. Методы приведенных направлений на основе модифицированной функции Лагранжа для задачи нелинейного программирования / B.C. Ижуткин, М. В. Петропавловский // Известия ВУЗов. Математика. -1995. -№ 12.-С. 33−42.
- Киндерлерер, Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения / Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. М.: Мир, 1983. — 256 С.
- Клабукова, Л.С. Вариационная постановка задач о деформации сетчатой композиционной пластинки с сетками различного типа / Л. С. Клабукова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. -Т. 47, № 2.-С. 321−337.
- Клабукова, Л.С. Вариационная постановка задач о поперченном изгибе сетчатой пластинки из композиционного материала / Л. С. Клабукова // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. -Т. 43, № 2. — С. 295−307.
- Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1976. — 543 С.
- Коннов, И.В. Комбинированный метод для решения вариационных неравенств с монотонными операторами / И. В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1999. — Т. 39, № 7. -С. 1091−1097.
- Коннов, И.В. Метод множителей Лагранжа для вариационных неравенств / И. В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. — Т. 41, № 9. — С. 1344−1357.
- Коннов, И.В. Метод спуска для негладких вариационных неравенств / И. В. Коннов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. — Т. 46, № 7. — С. 1251−1257.
- Коннов, И.В. О системах вариационных неравенств / И. В. Коннов // Известия ВУЗов. 1997. — № 12. — С. 79−88.
- Лапин, А.В. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации / А. В. Лапин // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. — Т. 19, № 3. — С. 689−700.
- Лапин, А.В. Об аппроксимации нелинейных стационарных вариационных неравенств / А. В. Лапин // Исследования по прикладной математике. -1981.-Вып. 9.-С. 9−23.
- Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. — 587 С.
- Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. -414 С.
- Лионе, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. -М.: Мир, 1971.-371 С.
- Марчук, Г. И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г. И. Марчук, Ю. М. Агошков. -М.: Наука, 1981.-416 С.
- Мину, М. Математическое программирование: теория и алгоритмы / М. Мину. М.: Наука, 1990. — 485 С.
- Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных /
- B.П. Михайлов. М.: Наука, 1983. — 424 С.
- Михлин, С.Г. Линейные уравнения в частных производных /
- C.Г. Михлин. М.: Высшая школа, 1977. — 431 С.
- Мосолов, П.П. Механика жестко-пластических сред / П. П. Мосолов, В. П. Мясников. М.: Наука, 1981.-208 С.
- Намм, Р.В. Решение квазивариационного неравенства Синьорини методом последовательных приближений / Р. В. Намм, С. А. Сачков // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2009. Т. 49, № 5.-С. 805−814.
- Намм, Р.В. О W2 -регулярности решений полукоэрцитивных вариационных неравенств /Р.В. Намм, А. Г. Подгаев // Дальневосточный математический журнал. 2002. -Т. 3, № 2. — С. 210−215.
- Нурминский, Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации / Е. А. Нурминский. М.: Наука, 1991. — 167 С.
- Панагиотопулос, П. Неравенства в механике и их приложения / П. Панагиотопулос. М.: Мир, 1989. — 492 С.
- Подгаев, А.Г. О теоремах единственности в задаче минимизации одного недифференцируемого функционала / А. Г. Подгаев // Дальневосточный математический журнал. 2000. — Т. 1, № 1. — С. 28−37.
- Поляк, Б.Т. Введение в оптимизацию / Б. Т. Поляк. М.: Наука, 1983. -384 С.
- Поляк, Б.Т. Об одном итерационном методе линейного программирования и его экономическая интерпретация / Б. Т. Поляк, Н. В. Третьяков // Экономика и математические методы. 1972. — Т. 8, № 5. — С. 740−751.
- Попов, Л.Д. Квадратичная аппроксимация штрафных функций при решении задач линейного программирования большой размерности / Л. Д. Попов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. — Т. 47, № 2. — С. 206−221.
- Попов, JI.Д. Применение модифицированного ргох-метода для оптимальной линейной коррекции несобственных задач выпуклого программирования / Л. Д. Попов // Труды института математики и механики УрО РАН. 1995. — № 3. — С. 261−266.
- Пшеничный, Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах / Б. Н. Пшеничный, Ю. М. Данилин. М.: Наука, 1975. — 319 С.
- Рокафеллар, Р.Т. Выпуклый анализ / Р. Т. Рокафеллар. М.: Мир, 1973. -469 С.
- Рудой, Е.М. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием / Е. М. Рудой, A.M. Хлуднев // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. — Т. XII, № 2. — С. 120−130.
- Рязанцева, И.П. О разрешимости вариационных неравенств с неограниченными полумонотонными отображениями / И. П. Рязанцева // Известия ВУЗов. Математика. 1999. — № 7. — С. 49−53.
- Стукалов, А.С. Экстрапроксимальный метод решения равновесных задач в гильбертовом пространстве / А. С. Стукалов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. — Т. 46, № 5. — С. 781−798.
- Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. М.: Мир, 1980. -512 С.
- Темам, Р. Математические задачи теории пластичности / Р. Темам. М.: Наука, 1991.-288 С.
- Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. М.: Наука, 1990.-230 С.
- Треногин, В.А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. М.: Наука, 1980.-495 С.
- Третьяков, Н.В. Метод штрафных оценок для задач выпуклого программирования / Н. В. Третьяков // Экономика и математические методы. — 1973. Т. 9, № 3. — С. 526−540.
- Уральцева, Н.Н. О регулярности решений вариационных неравенств / Н. Н. Уральцева // Успехи математических наук. 1987. — Т. 42, № 6. — С. 151−174.
- Уральцева, Н.Н. Теоремы регулярности для вариационных неравенств и односторонних задач / Н. Н. Уральцева, Т. Н. Рожковская // Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды международной конференции. Новосибирск: Наука. — 1987. — С. 187−192.
- Хлуднев, A.M. Оптимальное управление пластиной над препятствиями / A.M. Хлуднев // Сибирский математический журнал. 1990. — Т. 32, № 1. -С. 172−178.
- Чеботарев, А.Ю. Субдифференциальные краевые задачи магнитной гидродинамики / А. Ю. Чеботарев // Дифференциальные уравнения. 2007. — Т. 43, № 12.-С. 1700−1709.
- Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р. Темам. М.: Мир, 1979. — 399 С.
- Argyris, J.H. Energy theorems and structural analysis / J.H. Argyris. London: Butterworth Scientific Publications. — 1960.
- Brezis, H. Problemes unilateraux / H. Brezis // J. de Math. Pures et Appliquees. 1971.9.-P. 1−168.
- Clough, R.W. The finite-element method in plane stress analysis / R.W. Clough // Proceedings of the Second ASCE Conference on Electronic Computation. Pittsburg, Pennsylvania. — 1960.
- Courant, R. Variational methods for the solution of problem of equilibrium and vibrations / R. Courant // Bull. Amer. Math. Soc. № 49. — 1943. — P. 1−23.
- Dautov, R.Z. High accuraty post-processing technique for free boundaries in finite element approximations to the obstacle problems / R.Z. Dautov // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1998. — Т. 38, № 5.-Р. 239−246.
- Fichera, G. Problemi elastostatici con vincoli unilateral!: il problema di Signo-rini con ambigue condizioni al contorno / G. Fichera // Mem. Accad. Naz. Lin-cei.-Ser. 8, 7.- 1964.-P. 91−140.
- Fortin, A. On the imposition of friction boundary conditions for numerical simulation of Bingham fluid flows / A. Fortin, D. Cote // Computer Methods in Applied Mechanics and Ingeneerins. North-Holland, 1991. — V. 88. — P. 97 109.
- Glavachek, I. Numerical solution of variational inequalities / Glavachek I., J. Haslinger, I. Necas, J. Lovishek. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1988.-322 P.
- Glowinski, R. Numerical methods for nonlinear variational problems / R. Glowinski. New York: Springer, 1984. — 381 P.
- Grisvand, P. Bundary volue problems in non-smooth domains / P. Grisvand. -Maryland: University of Maryland, Department of mathematics, MD 20 724. -1980.
- Gugat, M. Prox-regularization methods for generalized fractional programming / M. Gugat // Journal of optimization theory and applications. 1998. — V. 99, № 3. — P. 691−722.
- Hare, W.L. A proximal method for identifying active manifolds / W.L. Hare // Computational optimization and applications. 2009. — V. 43, № 2. — P. 295 306.
- Hestenes, M.R. Multiplier and gradient methods / M.R. Hestenes // Journal of optimization theory and applications. 1969. — Vol. 4. — P. 303−320.
- Ignatieva, M.A. Mixed hybrid finite element scheme for Stefan problem with prescribed convection / M.A. Ignatieva, A.V. Lapin // Lobachevskii J. Math. -2003.-V. 13.-P. 15−24.
- Khludnev, A.M. Analysis of cracks in solids / A.M. Khludnev, V.A. Kovtunenko. Southamption-Boston: WIT Press. — 2000. — 408 P.
- Khludnev, A.M. Modelling and control in solid mechanics / A.M. Khludnev, J. Sokolowski. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser. — 1997. — 384 P.
- Konnov, I.V. Combined relaxation methods for variational inequality problems over product sets / I.V. Konnov // Lobachevskii J. Math. 1999. — V. 2. — P. 39.
- Laitinen, E. Large splitting iterative methods and parallel solution of variational inequalities / E. Laitinen, A.V. Lapin, J. Pieska // Lobachevskii J. Math. -2001.-V. 8.-P. 167−184.
- Martinet, B. Determination apprachee d’un point fixe d’une application pseu-do-contractence / B. Martinet // C.r.Acad.Sci. 1972. — V. 274, № 2. — P. 163 165.
- Martinet, B. Regularization d’inequations variationelles par approximations successives / B. Martinet // RIRO. 1970. — V. 4, № 3. — P. 154−159.
- Namm, R.V. About the method with regularization for solving the contact problem in elasticity / R.V. Namm // International series of numerical mathematics. Basel, 1992. — V. 106. — P. 223−228.
- Namm, R.V. Sadie methods for ill-posed variational inequalities / R.V. Namm // Lecture notes in economics and mathematical systems. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1997. — V. 17. — P. 497−510.
- Namm, R.V. Introduction to the theory and solution methods for variational inequalities / R.V. Namm, W. Gyungsoo. Changwon National University Press, 2002.- 117 P.
- Nguyen, Buong. On parameter choice and convergence rates in regularization for a class of ill-posed variational inequalities / Buong Nguyen, Van Loi Pham // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. -Т. 44, № 10.-С. 1735−1744.
- Powell, M.J.D. A method for nonlinear constraints in minimization problems / M.J.D. Powell // Optimization, Fletcher R., ed. London: Academic Press, 1969.-P. 283−298.
- Rockafellar, R.T. A dual approach to solving nonlinear programming problems by unconstrained optimization / R.T. Rockafellar // Mathematical programming. 1973. — V. 5, № 3. — P. 354−373.
- Rockafellar, R.T. Augmented Lagrangians and applications of the proximal point algoritm in convex programming / R.T. Rockafellar // Math, operations Res. 1979. — V. 1, № 2. — P. 97−116.
- Rockafellar, R.T. Moreau’s proximal mappings and convexity in Hamilton-Jacobi theory / R.T. Rockafellar // Nonsmooth Mechanics and Analysis. -2006-V. 12.-P. 3−12.
- Rockafellar, R.T. The multiplier method of Hestenes and Powele applied to convex programming / R.T. Rockafellar // Journal of optimization theory and applications. 1973.-V. 12, № 6. -P. 555−562.
- Schmitt, H. On the regularized Bingham problem / H. Schmitt // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1997.-V. 452.-P. 298−315.
- Turner, M.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures / M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, L.J. Topp // J. Aero Sci. 1956. -№ 23.-P. 805−823.
- Кушнирук, Н.Н. О решении полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н. Н. Кушнирук, Р. В. Намм // XXXIII Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е. В. Золотова: тезисы докладов. — Владивосток: Изд-во Дальнаука, 2008. С. 77−78.
- Кушнирук, Н.Н. О решении полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н. Н. Кушнирук, Р. В. Намм // Вестник АмГУ. 2008. — Вып. 41. -С. 5−8.
- Кушнирук, Н.Н. Об одном подходе к решению полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н. Н. Кушнирук, Р. В. Намм // Дальневосточный математический журнал. 2008. — Т. 8. — № 2. — С. 171−179.
- Кушнирук, Н.Н. Метод Удзавы с модифицированной функцией Лагранжа для решения задачи о движении жидкости в бесконечной трубе с трениемна границе / Н. Н. Кушнирук // Информатика и системы управления. -2009. -№ 1(19).-С. 3−14.
- Кушнирук, Н.Н. Характеристические свойства седловой точки модифицированного функционала Лагранжа в полукоэрцитивной модельной задаче с трением / Н. Н. Кушнирук // Вестник АмГУ. 2009. — Вып. 45. -С. 13−17.
- Кушнирук, Н.Н. Метод Удзавы для решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н. Н. Кушнирук // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-21: сб. трудов XXII Междунар. науч. конф. Т. 2. Сек. 2. — Псков: Изд-во ПГПУ, 2009. — С. 73−74.
- Кушнирук, Н.Н. Метод множителей Лагранжа для решения полукоэрцитивной модельной задачи с трением / Н. Н. Кушнирук, Р. В. Намм // Сибирский журнал вычислительной математики. 2009. — Т. 12, № 4. -С. 409−420.