Приложения дискретного эргодического метода к арифметике бинарных и изотропных тернарных квадратичных форм

Предлагаемая диссертация посвящена завершению исследований по приложениям дискретного эргодического метода (далее для краткости ДЭМ) к вопросам асимптотического распределения бинарных квадратичных форм и целочисленного представления чисел изотропными тернарными квадратичными формами. Основы этого своеобразного аналитико-алгебраического метода, используемого в нашей работе, были заложены академиком Ю. В. Линником [24,28] для изучения распределения целых точек на сфере х2 + у2 + z2 =п и на гиперболоиде xy — z2 — п, где п — растущий целочисленный параметр (см. также [33,34]). К этим основным статьям следует еще присоединить заметку Ю. В. Линника [30], развивающую результаты [28], а также его же работы [29,32,62], содержащие некоторые дополнения к [28,30].

В дальнейшем ДЭМ развивал A.B. Малышев сначала совместно с Ю. В. Линником применительно к положительным тернарным квадратичным формам [35], затем самостоятельно [38,39] и со своими учениками (см., напр., [71,1,42]). Важные исследования по применению ДЭМ к изучению асимптотического распределения целых точек на однополостном гиперболоиде хуz2 =п, п<0 проводил Б. Ф. Скубенко [51, 52].

Другой подход, использующий элементарные эргодические соображения, намечен Б. М. Бредихиным и Ю. В. Линником [2,3] для изучения асимптотической геометрии решений так называемого уравнения Харди.

Литтлвуда р + х~ + у~ = т, где р пробегает последовательность простых чисел.

В развитие метода дальнейший вклад внес также М. Петере [68], соединивший ДЭМ с теорией спинорных родов, что позволило ему получить теорему о существовании представлений чисел (но без асимптотики, а только оценки) рациональными положительными тернарными квадратичными формами общего вида, при этом ДЭМ применялся в [68] к произвольным родам положительных тернарных квадратичных форм.

Более завершенные исследования по применению ДЭМ к вполне положительным тернарным квадратичным формам в случае алгебраического поля проведены Ю. Г. Тетериным [53, 54].

Первые исследования по применениям ДЭМ к неопределенным тернарным квадратичным формам (случай, к которому относится наша диссертация) принадлежат Ю. В. Линнику [28] (предварительные сообщения [26, 27]) — статья [28], по существу, воспроизведена в монографии [33], гл. V. Некоторые дополнения к результатам [28] содержатся в заметках Ю. В. Линника [3032, 62] (см. также [72]). В этих статьях рассматривается простейшая неопределенная тернарная квадратичная форма о 5 Х2' Х3) = Х2 0) и изучается вопрос о распределении целых точек (д,*,-^) по областям на двуполостном гиперболоиде.

0(х1,х21×3) = т, т> 0. (2).

Заметим, что форма /0(х, х2, х3) представляет нуль нетривиально, в связи с чем в дальнейшем будем ее называть простейшей изотропной тернарной квадратичной формой, а поверхность /0(х1,х2,х3)-т, тФ 0 — простейшим изотропным гиперболоидом.

В [28] доказано, что при т —" оо целые точки распределены по поверхности простейшего изотропного гиперболоида (2) асимптотически равномерно в смысле соответствующей гиперболической метрики (метрики Лобачевского). Аналогичные результаты в случае однополостного гиперболоида о (*1, Х2 >Хз) = т > }П < 0 • (3) были получены Б. Ф. Скубенко [52] (предварительное сообщение [51]).

Указанные результаты Ю. В. Линника были уточнены и обобщены в кандидатской диссертации автора [75] на изотропные тернарные квадратичные формы специального вида, а именно формы /, содержащейся в форме /0, т. е. формы вида з з з ^ х, х2, Х3) = /о У^!СкХк кХк >^СЗкХк.

V А.=1 ?=1 ?=1 У.

4) где = 1,2,3) — целые числа- ?е1(сА) Ф 0, в частности, на аналог «удобных» положительных форм Ю. В. Линника [24] (см. полученные в [75] теоремы 4.1−4.3). Как и в исследованиях [33, 52] мы используем ДЭМ с некоторыми усовершенствованиями, в частности, удалось отказаться от сложного аппарата неопределенных эрмитионов и вместо него используется арифметика матриц второго порядка и при этом изложение стало в значительной степени параллельным применениям ДЭМ к положительным тернарным формам ([33, гл. V, VI- [71]]). В [74] доказано, что в случае двуполостного гиперболоида х, х2, х3) = га, т> 0. (5) где f имеет вид (4), целые точки (х, х2, х3) асимптотически (при га—>+оо) равномерно распределены как по поверхности гиперболоида, так и по классам вычетов по данному модулю.

Аналогичные результаты в случае однополостного гиперболоида х, х2, х3) = т, т< 0. (6) были получены в [42], где форма / имеет вид (4).

Что же касается многомерных гиперболоидов в размерности .у > 4, то в статье (Б.З. Мороз [45]) с использованием результатов А. В. Малышева [44] доказана асимптотическая равномерная распределенность целых точек по областям на таких гиперболоидах.

Перейдем теперь к более подробному изложению содержания диссертации.

Целью нашей работы является: 1) полное завершение исследований по применению ДЭМ к вопросу о представлений целых чисел произвольной изотропной тернарной квадратичной формой (гл. III, теоремы 3.3−3.6), т. е. перенесение результатов Ю. В. Линника, Б. Ф. Скубенко и других и ранее полученных автором результатов с уточнениями и обобщениями на неопределенные тернарные квадратичные формы /(х, х2, х3), определяемые соотношением где 8 — некоторое целое числоск] (А, у" = 1,2,3) — целые числаФ 0;

2) исследование новых приложений ДЭМ в получении результатов, относящихся к арифметике бинарных квадратичных форм с некоторыми дополнительными условиями (гл. IV теоремы 4.1−4.7) и не поддающиеся пока методу модулярных форм.

Наша диссертация состоит из этого введения и четырех глав, из которых третья и четвертая главы являются основными. Первая глава носит предварительный характер и в основном посвящена арифметике матриц второго порядка — аппарату, существенно используемому при приложении ДЭМ к нашей задаче. Результаты этой главы использовались в кандидатской диссертации автора [75] при изучении распределения целых точек на двуполостных гиперболоидах вида (4), соответствующих случаю д=. Во втором параграфе вначале вводится алгебра матриц второго порядка над полем О рациональных чисел (при этом мы отождествляем число шбО с матрицей I, где.

По аналогии с эрмитионами (см. [38], гл. IV) определитель матрицы, А будем называть ее нормой Ы{А) = с1еЫ. Матрицу вида.

1 (Л.

Ъа.

I= а, Ь, с еО,.

8) т. е. матрицу с нулевым следом, мы называем вектор-матрицей. Векторматрице Ь = тичную форму.

Ьа.

Vе мы сопоставляем точку а, Ь, с е О и бинарную квадраа, Ь, с) = аХ2 + 2 ЬХУ + сУ2 (9) определителя ас-Ъ2 = АТ (Ь). Если.

ЫЩ> 0, а> 0, (10) то вектор-матрицу называем положительной (положительно определенной). Если же.

ЩЬ)<0, (11) то вектор-матрицу Ь называем неопределенной.

Пусть Робласть пространства О3, определяемая одним из трех неравенств.

2Ъ<�а<�с или 0<2Ь <а — с или 0 < 2Ь = а < с, (12) п где ас — Ь = т > 0.

Область Р называется фундаментальной областью приведения положительных бинарных квадратичных форм определителя т> 0, при этом положительная вектор-матрица Ь называется приведенной, если соответствующая ей форма (9) является приведенной, т. е. выполняются условия (12). Если же область Е пространства О3 определяется неравенствами.

0 < Ъ < л/- т, л/-тЬ <�а<�л!~ т + Ь,, (13) где ас — Ь2 = т < 0, то область называется областью приведения неопределенных бинарных квадратичных форм определителя т < 0, при этом неопределенная вектор-матрица Ь называется приведенной, если соответствующая ей форма (9) является приведенной.

Матрицу А, элементы которой суть целые числа, мы называем целой матрицей.

Говорим, что матрица, А делится на матрицу В справа А/В, если найдется такая матрица С, что А=СВ. Аналогично определяется делимость слева. Невырожденная матрица Е называется обратимой (или единицей), если также целая матрицаэто равносильно тому, что N (E) = ±1.

Говорим, что матрицы, А и A ассоциированы справа, если А' = АЕ, где Е — обратимая матрицаассоциированность, А и А' справа равносильна де-лимостям слева, А A и A, А. Аналогично определяется ассоциированность матриц слева.

Если В — Ъцелое число, то делимость А1Ы равносильна делимости Ы / А — в этих случаях обозначаем b, А и тогда число называем числовым делителем матрицы А. Если из Ъ | А следует, что b — ±1, то матрицу, А называем примитивной.

В § 2 гл. I развивается элементарная теория делимости в кольце целых матриц M = М2(Z). В частности, формулируются и доказываются предложения, используемые в остальных главах.

Отметим из них матричный аналог основной теоремы арифметики (см. [73]), существенно используемый в ДЭМ: если, А — невырожденная матрица и N{A) — b-c. то найдутся матрицы В и С, для которых.

А = ВС, N (B)~b, N© = c, (14) причем разложение (14) единственно с точностью до ассоциированности: если, А = 5, С, N (Bj) = Ь, ю В}= ВЕ, С, = Е~ХС, где Е — обратимая матрица вМ.

В § 3 даются основы теории поворотов вектор-матриц второго порядка, также существенно используемой в гл. III при приложении ДЭМ к формам (1) и (4) и позволяющей строить потоки вектор-матриц, а значит, и точек на гиперболических поверхностях.

Эта теория является аналогом глубокой теории Б. А. Венкова [5] для ква-терионов. Частично теория поворотов вектор-матриц была развита Ю.В. Лин-ником [28,33]. В теории поворотов рассматриваются равенства вида.

L' = WLW~ (15) где L, L' - целые вектор-матрицы одинаковой нормы т Ф 0. Теория поворотов строится для примитивных вектор-матриц. При этом различаются случаи собственно примитивных вектор-матриц L, т. е. целых матриц (8) с условием Н.О.Д. (а, 2Ь, с) = и несобственно примитивных матриц (8), определяемых условиями Н.О.Д.(д, 6, с) = 1, Н.О.Д.(а, 26, с) = 2. Изучается вопрос о совокупности матриц W, удовлетворяющих условию (15), т. е. осуществляющих поворот вектор-матрицы L в вектор-матрицу L'. Эти совокупности сопоставляются с классами бинарных квадратичных форм определителя т.

Наконец, в § 4 гл. 1 приводится полученное с помощью асимптотической формулы Е. В. Подсыпанина [46] предложение о делимости матриц большой нормы, используемое в гл. III и IV.

1. Белова H.H., Малышев A.B. Эргодические свойства целых точек на эллипсоидах рода Gn i. // Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 1981. Т.106. — С. 17−51.

2. Бредихин Б. М., Линник Ю. В. Асимптотика и эргодические свойства решений обобщенного уравнения Гарди-Литтлвуда // Матем. сб. 1966. Т. 71 (113). № 2.-С. 145−161.

3. Бредихин Б. М., Линник Ю. В. Бинарные аддитивные задачи с эргодиче-скими свойствами // ДАН СССР. 1966. Т. 166. № 6. — С. 1267−1269.

4. Быковский В. А. Арифметико-аналитические свойства бинарных положительно определенных квадратичных форм // Зап. научн. семин. ЛОМИ. -1985. Т.144. С. 5−20.

5. Венков Б. А. Об арифметике кватернионов // I-V — Изв. Росс. АН. Сер. 6. -1992, т. 16. С. 205−220- - С. 221−246- Изв. АН СССР. Сер. 7. Отд-ние физмат. наук. -1929. № 5. — С. 489−504- № 6. — С. 535−562- № 7. — С. 607−622.

6. Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М.-Л.: ОНТИ, 1937. 219 с.

7. Венков Б. А. О фундаментальной области неопределенной тройничной квадратичной формы // Ученые зап. ЛГПИ. 1955. Физ,-мат. фак., т. 14. № 1.-С. 16−45.

8. Виноградов А. И., Линник Ю. В. Гиперэллиптические кривые и наименьший простой квадратичный вычет // Докл. АН СССР. — 1966. Т. 168. № 2. -С. 259−261.

9. Голубева Е. П. Асимптотическое распределение целочисленных бинарных форм фиксированного дискриминанта // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1981. Т. 112. — С. 26−40.

10. Голубева Е. П. Связь суммы сумм Салье с распределением целых точек // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1982. Т.116. — С. 56−62.

11. Голубева Е. П. Асимптотическое распределение целых точек, принадлежащих заданным классам вычетов, на гиперболоидах специального вида // Мат. сб. 1984. Т. 123. № 4. — С. 510−533.

12. Голубева Е. П. Представление больших чисел тернарными квадратичными формами // Матем. сб. 1986. Т. 129. № 1. — С. 40−54.

13. Голубева Е. П. Геодезические на верхней полуплоскости и распределение квадратичных иррациональностей // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН. -1988. Т.254. С. 28−55.

14. Голубева Е. П. О представлении больших чисел тернарными квадратичными формами: Автореф. докт. физ.-мат. наук. — Л., 1985. -13 с.

15. Джекобсон Н. Теория колец. М.: ИЛ, 1947. — 287 с.

16. Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: Наука, 1971. 200 с.

17. Истамов А. М. Асимптотика целочисленных матриц второго порядка, лежащих в данной гиперболической области и принадлежащих заданному классу вычетов // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980. Т.23. — С. 25−29.

18. Карпов А. Н. О представлении целых чисел изотропными квадратичными формами // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1986. Т. 151. — С. 66−67.

19. Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982. 436 с.

20. Линник Ю. В. Одна общая теорема о представлении чисел отдельными тернарными квадратичными формами // Изв. АН СССР. 1939. Сер. матем. Т. 3, № 1. — С. 87−108.

21. Линник Ю. В. О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными формами // Изв. АН СССР. 1940. Сер. матем. Т.4. № 4/5. — С. 363−402.

22. Линник Ю. В. Кватернионы и числа Кэлинекоторые приложения арифметики кватернионов // Успехи мат. наук. 1949. Т.4. Вып. 5. — С. 49−98.

23. Линник Ю. В. Некоторые приложения геометрии Лобачевского к теории бинарных квадратичных форм // Докл. АН СССР. 1953. Т.93. № 6. -С. 973−974.

24. Линник Ю. В. HoBi арифметичш застосувания геометри Лобачевського // ДАН УССР. 1955. № 2. — С. 112−114.

25. Линник Ю. В. Асимптотическое распределение приведенных бинарных квадратичных форм в связи с геометрией Лобачевского // I-III Вестн. Ле-нингр. ун-та. 1955, № 2. — С. 3−23- № 5. — С. 3−32- № 8. — С. 15−27.

26. Линник Ю. В. Цепи Маркова в аналитической арифметике кватернионов и матриц // Вестн. Ленингр. ун-та. 1956. № 13. — С. 63−68.

27. Линник Ю. В. Асимптотическая геометрия гауссовых родованалог эрго-дической теоремы // Докл. АН СССР. 1956. Т.108. № 6. — С. 1018−1021.

28. Линник Ю. В. Еще об аналогах эргодических теорем для мнимого квадратичного поля // Докл. АН СССР. 1956. Т. 109. № 4. — С. 694−696.

29. Линник Ю. В. Некоторые применения неевклидовых геометрии к теории характеров Дирихлеаналоги эргодических теорем // Тр. 3 Всесоюзн. мат. съезда. М. 1956. Т.З. — С. 21−29.

30. Линник Ю. В. Эргодические свойства алгебраических полей. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1967. — 208 с.

31. Линник Ю. В. Избранные труды. Теория чисел. Эргодический метод и L-функции. Л.: Наука, 1979. 432 с.

32. Линник Ю. В., Малышев A.B. Приложения арифметики кватернионов к теории тернарных квадратичных форм и к разложению чисел на кубы // Успехи мат. наук. 1953. Т. 8, вып. 5. — С. 3−71. испр.: — 1955. Т.10. вып. 1. -С. 243−244.

33. Малышев A.B. Асимптотический закон для представления чисел некоторыми положительными тернарными квадратичными формами // ДАН СССР. 1953. Т.93. № 5. С. 771−774.

34. Малышев A.B. О связи теории распределения нулей L рядов с арифметикой тернарных квадратичных форм // ДАН СССР. — 1958. Т. 122. — С.343−345.

35. Малышев A.B. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // M.-JL: Тр. мат. ин-та АН СССР. 1962. Т. 65. 212 с.

36. Малышев A.B. Новый вариант эргодического метода Ю. В. Линника в теории чисел // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1975. Т. 50. С. 179−186.

37. Малышев A.B. Дискретный эргодический метод Ю. В. Линника и его дальнейшее развитие. В кн.: Ю. В. Линник Избранные труды. Теория чисел. Эргодический метод и L-функции. Л.: Наука, 1979. С. 418−430.

38. Малышев A.B. О применении дискретного эргодического метода в аналитической арифметике неопределенных тернарных квадратичных форм // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980. Т. 93. С. 5−24.

39. Малышев A.B., Нгуен Нгор Гой О распределении целых точек на некоторых однополостных гиперболоидах // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1983. Т. 121.-С. 83−93.

40. Малышев A.B., Широков Б. М. Новое доказательство ключевой леммы дискретного эргодического метода для вектор-матриц второго порядка // Вестн. Ленингр. ун-та. — 1991. Серия 1. вып. 2. — С. 34−40.

41. Подсыпанин Е. В. Распределение целых точек на детерминантной поверхности // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980. Т. 93. С. 30−40.

42. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967. 511 с.

43. Проскурин Н. В. Теорема о распределении квадратичных вычетов, имеющая приложения в эргодическом методе Ю. В. Линника // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1975. Т. 50. — С. 169−178.

44. Рагунатан М. Дискретные подгруппы Ли. М., 1977. — 320 с.

45. Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М.: Фазис, 1988. -133 с.

46. Скубенко Б. Ф. Асимптотическое распределение и эргодические свойства целых точек на однополостном гиперболоиде // Докл. АН СССР. 1960. Т.135, № 4. С. 794−795.

47. Скубенко Б. Ф. Асимптотическое распределение целых точек на однополостном гиперболоиде и эргодические теоремы // Известия АН СССР. — 1962. Сер. матем. Т.26. № 5. С. 721−752.

48. Тетерин Ю. Г. О представлении целых чисел положительными тернарными квадратичными формами // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1983. Т.121. -С. 117−156.

49. Тетерин Ю. Г. Асимптотическая формула для числа представлений вполне положительными тернарными квадратичными формами // Изв. АН СССР. 1985. Сер. матем. Т.49. № 2. — С. 393−426.

50. Bachmann P. Die Arithmetik der quadratischen Formen / 1АЫ. Leipzig. Teub-ner. 1988. 668 s.

51. Duke W. Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Maas forms // Invent, math. 1988. V. 92. № 1. P. 78−90.

52. Jwaniec H. Fourier coefficients of modular forms of half integral weight // Invent. math. 1987. V.87. — P. 385−401.

53. Jones B.W. The arithmetic theory of quadratic forms. Baltimore, 1950. X. — 197 p.

54. Kneser M. Klassenzahlen indefiniter quadratischer Formen in drei oder mehr Veranderlichen // Archiv der Math. 1956. (Basel) 7. — S. 323−332.

55. Landau E. Uber die Klassenzahl imaginar-quadratischer Zahlkorper // Nachr. Gesellsch. Wissensch.- 1918. Gottingen. Math.-phys. S. 285−295.

56. Linnik Yu.V. On certain results relating to positive ternary quadratic forms // Матем. сб. 1939. Т. 5. № 47. — С. 453−471.

57. Linnik Yu.V. An application of the theory of matrices and of Lobatshcevskian geometry of the theory of Dirichlet’s real characters // J. Jndian. Math. Soc. — 1956. Vol. 20. N. 1/3. P. 37−45. ^.

58. Linnik Yu.V. Sur one application du thoreme d’Andre Weil a la theorie des caracteres des Dirichlet // Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres. Paris. 1966/1967 (1968).

59. Malyshev A.V. Yu.V. Linnik’s ergodic method in number theory // Acta arithm.- 1975. V.27. P. 555−598.

60. Malyshev A.V. Discrete ergodic method and its applications to the arithmetic of ternaiy quadratic forms // Topics in classical number theory. Budapest. 1981. V. 34.-P. 1023−1049.

61. Newman M. Integral matrices / New York-London. AP, 1972. 224 p.

62. Pall G. Representation by quadratic forms.// Canad. J. Math. 1949. V. 1. -p. 344−364.

63. Peters M. Darstellungen durch definite ternare quadratishe Formen // Acta arithm. 1977. Bd. 34. № 1. — S. 57−80.

64. Siegel C.L. Uber die Classenzahl quadratischer Zahlkorper // Acta Arithm. 1. -S. 83−86.

65. Watson G.L. Integral quadratic forms. Cambridge. 1960. XII. — 143 p. Работы автора по теме диссертации.

66. Малышев А. В., Пачев У. М. О представлении целых чисел положительными тернарными квадратичными формами (новый вариант дискретного эр-годического метода) // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1979. Т. 82. — С. 33−87.

67. Малышев А. В., Пачев У. М. О числе классов целочисленных положительных бинарных квадратичных форм, арифметический минимум которых делится на заданное число // Алгебра и теория чисел, вып. 4, Нальчик.- 1979. С. 53−67.

68. Малышев А. В-, Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980. Т. 93. — С. 41−86.

69. Пачев У. М. О распределении целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980. Т. 93. — С. 87−141.

70. Пачев У. М. Приложения дискретного эргодического метода к арифметике неопределенных тернарных квадратичных форм. — Дисс. канд. физ.-мат. наук. Л-д. 1980. — 140 с.

71. Пачев У. М. Эргодическая теорема для целых точек на двуполостных гиперболоидах // Структурные свойства алгебраических систем. Нальчик. -1981.-С. 84−90.

72. Малышев A.B., Пачев У. М. Эргодические свойства целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах // Деп. ВИНИТИ. № 6127. Нальчик. — 1984.-43 с.

73. Малышев A.B., Пачев У. М. Об остаточных членах в эргодических теоремах для целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах // Аналитическая теория чисел. Петрозаводск. 1986. Меж. вуз. сб. — С. 46−51.

74. Пачев У. М. Асимптотическое распределение гауссовых родов // Авто-морфные функции и теория чисел 1987. Ижевск. Меж. вуз. сб. — С. 3240.

75. Пачев У. М. Об остаточных членах в эргодических теоремах для потоков в гауссовых родах // Деп. ВИНИТИ. № 3246. Нальчик. -1992.-29 с.

76. Пачев У. М. О числе классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа // Матем. заметки. -1994, Т. 55. № 2. С. 118−127.

77. Пачев У. М. Эргодические свойства потоков классов положительных бинарных квадратичных форм в гауссовых родах // Зап. научн. семин. ПО-МИ РАН. 1997. Т. 236. — С. 149−161.

78. Пачев У. М. Эргодические теоремы и теоремы перемешивания для потоков целых точек на некоторых изотропных гиперболоидах // В кн. «Актуальные проблемы теории чисел». МГУ. 2002. — С. 133−151.

79. Пачев У. М. О числе приведенных целочисленных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов // Чебышевский сб. Тула. 2003. Т. 4. № 3. С. 92−105.

80. Пачев У. М. Об уточнении ключевой леммы дискретного эргодического метода для вектор-матриц второго порядка // Чебышевский сб. Тула. -2004. Т.5. № 2 (10). С. 89−97.

81. Пачев У. М. Асимптотическое распределение классов положительных бинарных квадратичных форм с условиями делимости коэффициентов // Фундам. и прикл. матем. 2005. Т. 11. № 6. — С. 123−130.

82. Пачев У. М. Представление целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами // Изв. РАН. 2006. Сер. матем. Т. 70. № 3. — С. 167 184.

83. Пачев У. М. Об асимптотике числа приведенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов // Сибирский матем. журн. -2007. Т. 48. № 2. С. 376−388.Доклады на конференциях.

84. Малышев A.B., Пачев У. М. Эргодические свойства целых точек на двуполостных гиперболоидах рода С? ж>2. Тезисы докладов всесоюзной конференции. Тбилиси. 1985, 147−149.

85. Пачев У. М. Асимптотическое распределение классов бинарных квадратичных форм по гауссовым родам. Тезисы докладов всесоюзной конференции. Тбилиси. 1985, 197−198.

86. Пачев У. М. Об остаточном члене в асимптотической формуле для гауссовых родов. Тезисы докладов всесоюзной школы. Минск. 1989, 118.

87. Пачев У. М. Эргодическая теорема для потоков классов бинарных квадратичных форм в гауссовых родах. Тезисы докладов международной конференции. Тула. 1993, 126.

88. Пачев У. М. Теорема о перемешивании для гауссовых родов. Тезисы докладов международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева. Казань. 1994, 74−75.

89. Пачев У. М. О числе классов положительных бинарных квадратичных форм с некоторым условием делимости коэффициентов. Тезисы докладов III международной конференции. Тула. 1996, 113.

90. Пачев У. М. Эргодическая теорема для потоков целых точек на некоторых гиперболоидах. Тезисы докладов IV международной конференции, посвященной 180-летию П. Л. Чебышева и 110-летию И. М. Виноградова. Тула. 2001, 91−92.

91. Пачев У. М. О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов. Тезисы докладов V международной конференции. Тула. 2003, 176−177.

92. Пачев У. М. Об асимптотике с остаточным членом для числа бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов. Тезисы докладов VI международной конференции, посвященной 100-летию Н. Г. Чудакова. Саратов. 2004, 90−91.