О разрешимости квазилинейных смешанных задач для параболических уравнений

Изучению смешанных, иначе начально-краевых, задач для линейных дифференциальных уравнений и систем посвящено большое число работ [1],.

2], [10], [14], [22], [26], [36], [38], [39], [42], [47]. При этом естественно возникают различные методы решения, отражающие в свою очередь развитие математической науки. Это — метод разделения переменных Фурье, методы интегральных преобразований, операторные методы, метод характеристик, метод Галеркина, метод конечных разностей и другие.

Одно из центральных мест принадлежит методу Фурье, модификация которого используется в нашей работе и с которым связан большой математический аппарат, являющийся удобным и мощным инструментом исследования задач математической физики.

Впервые метод Фурье получил строгое обоснование в работах Стеклова В. А. [41], рассмотревшего смешанные задачи для уравнения колебания неоднородной струны и охлаждения неоднородного стержня.

Для многомерной смешанной задачи где 5/ - самосопряженный оператор, порожденный выражением метод Фурье обоснован Ладыженской О. А. [24].

Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для смешанных задач гиперболического и параболического типов в случае разделяющихся переменных получены Ильиным В. А. [15].

Для случая несамосопряженности пространственного оператора задачи обоснование метода Фурье приводит к исследованию разложимости и суммируемости функций в ряды по главным функциям оператора (либо пучков операторов), [7], [28].

Применение метода Фурье к уравнениям с неразделяющимися переменными приводит к значительным трудностям, связанным с исследованием бесконечных систем дифференциальных уравнений, из которых определяются коэффициенты разложения в ряд для неизвестного решения. Отметим в этом направлении работы Халилова З. И. и Коробейника Ю. Ф. и их учеников [13], [17]-[21], [43], [44], в которых использован обобщенный метод Фурье, примененный Бернштейном С. Н. в работе [5], относящейся к смешанной задаче для одного нелинейного гиперболического уравнения.

Дальнейшее развитие обобщенный метод Фурье получил в работах [11], [12], [36], [45], относящихся к нелинейным задачам.

Отметим повышенный интерес к таким задачам в последнее время и значительное продвижение в их исследовании, особенно для параболических уравнений, что отчасти вызвано многочисленными приложениями в вопросах моделирования процессов диффузии и химических превращениях, при моделировании биологических процессов, процессов теплообмена и других областях, [3], [48], [49], [50]. Отметим важные фундаментальные исследования Ладыженской O.A., Солонникова В. А., Уральцевой H.H. и их учеников [24]-[2 7] по квазилинейным параболическим уравнениям общего вида метода априорных оценок.

Сущность метода, использованного в работах [11], [12], [36], [46], состоит в том, что решение разыскивается в виде ряда по собственным функциям линейного пространственного оператора задачи с неопределенными коэффициентами. При нахождении этих коэффициентов приходят к бесконечной системе интегральных уравнений. Разрешимость полученной системы исследуется в определенных банаховых пространствах, при этом необходимым условием является самосопряженность указанного линейного оператора.

В нашей диссертации используется метод решения, предложенный Вагабовым А. И. [8], являющийся дальнейшим развитием обобщенного метода Фурье из предшествующих работ, его комбинирования с методом интегральных преобразований типа Лапласа. Мы целиком основываемся на аналитическом аппарате решения задачи и сводим ее к решению системы двух нелинейных интегральных уравнений особого вида. Простота схемы решения позволяет глубже вникнуть в содержание задачи и значительно увеличить диапазон рассматриваемых задач, в частности, отпадает существенность условия самосопряженности линейного пространственного оператора.

Дадим краткое изложение содержания работы, отметив ее существенные стороны. Предметом исследования первых двух глав является квазилинейное параболическое уравнение а2у / дЛ, 1Ч с (х)—= —т + / *, х, у, —, (1).

81 дхх дх.

О <х<1, 0<1<т, с двумя граничными условиями с вещественными коэффициентами и^Ыос, — + ату) х=о + (Д — + Д0у)|^=1 = 0, (2) и с начальным условием у (0,х) = М/(4 (3).

При решении задачи (1)-(3) мы ставим вопрос в принципиальном плане о возможности переноса метода работы [8] на случай параболических уравнений с переменными коэффициентами в старшей части. Для этого в главах 1 и 2 на простой модели разрабатывается соответствующая теория, приложимая и к более широким классам параболических уравнений.

К данным задачи (1)-(3) предъявляются следующие требования:

1)с (х)>0, с (х)<=С3[0,1]-,.

2) /(/, х, V, у) — непрерывно дифференцируемая функция в замкнутой области ?>: 0< 0, где — решение задачи (1)-(3) при / = 0, 0>О константа;

3) а^^Щ + аД.

4)н/(х)еС3[0Д =0, 1 = 0,1,2.

I х=0,1.

По поводу условия 2) заметим, что решение нелинейной задачи естественно искать в окрестности решения соответствующей линейной задачи.

XV.

ЭФ дх.

В случае с (х) = 1 и простейших граничных условий = у (/, 7) = О задача рассмотрена в [8]. Простота этого случая определяется элементарностью резольвенты линейной части задачи и возможностью точных вычислений, связанных с нею.

В нашей ситуации положение меняется. Так, вспомогательное уравнение у" - }^с{х)у = 0 уже не имеет решений элементарного вида. Таким образом, при изменении главной линейной части задачи картина исследования может существенно меняться.

В § 1. гл. I дана постановка проблемы и введена в рассмотрение краевая задача с комплексным параметром X: у" -Х2с (х)у = 0, 0<х<1, (4) и1(у) = 0, 17 2 (у) = 0. (5).

Приведена теорема о наличии экспоненциально асимптотических по К фундаментальных решений уравнения (4) в правой (левой) X полуплоскости: 1.

С[х) 4 е где (6) а]=а + 0 Г.

Лу.

Решения (6) представляют основу всех последующих построений, в частности, при построении функции Грина в этом же параграфе.

В теореме 2 найдена асимптотика нулей знаменателя функции Грина (спектр задачи (4)-(5)), указаны свойства этих нулей.

В теореме 3 получено экспоненциально убывающее при Х^юэ асимптотическое представление функции Грина G (x,^, X) задачи (4)-(5). Опираясь на это представление, в теореме 4 доказана формула.

— 1 2 1 h{x) = lim — ?XeeX dX fG (x, X) c{^)h{^, (7) eio ni L 0.

L = = H, argX < || U > H, argX = ±-j j, H «1, предельного интегрального представления для любой непрерывной на [0,l] функции h (x).

На основании теоремы 4 получена теорема 5 о разложимости функции h (x) в ряд Фурье по собственным и присоединенным функциям задачи (4)-(5). Сумма ряда понимается в смысле суммирования по Абелю порядка 2. Указан естественный способ объединения слагаемых ряда в скобки по четыре, основанный на их «родстве» по четырем соответствующим собственным значениям Х%к.

Важным связующим звеном работы являются леммы параграфа 4, относящиеся к интегралам, связанным с решением основной задачи. В лемме 1 установлены формулы.

Ja= ?X2k+lel2i-XadX = l^a^I^, t>0, а*0. (8) dt vi L 2 dt t e-x2dx<^e~R2, R>0. (9) r 2.

Лемма 2 доказывает абсолютную и равномерную сходимость интегралов вида.

1 -к.

Js = ?Xsel2^dX?e < (10) ь о о.

1 # ЧНИ И *.

1 $ = Х" ех2^ХЕ (х, 1Х) е 1о 0 > (11).

10 о.

0 < х< 1, — 8 = 0,1, где Е — ограниченная на I функцияЬ — разомкнутый контур из правой Xполуплоскости, имеющий асимптотами полупрямые аг^Х = ±-1у^. При этом справедливы оценки тах|у0|,|/0|)<�аатах|/|, тах¹ ?, 1 ?)< С-Лтах/ /а, <а < /. 2.

Лемма 3 утверждает их абсолютную и равномерную сходимость уже при всех целых 5.

Также абсолютно и равномерно сходятся интегралы вида.

ДсК.

0, л (12) х % ^.

— М {+].

I о при любых целых^- ?е[/0,Г], 10>0, 0<х<1. Это утверждает лемма 4.

В лемме 5 при указанном выше условии 4) на функцию |/(л:) доказано, что функция непрерывна вместе со своими производными по х до третьего порядка на прямоугольнике [0,Г]х[0,7], причем, дифференцирование можно производить под знаками интегралов.

Лемма 6 позволяет делать весьма удобный и существенный переход, заключающийся в равенстве:

— lim [kdX ]g (x, jfix,^ v, ^V^dx = — ГЯ^ f/ix, (13) l о о У где Cn — концентрические окружности с центром в 0, проходящие вне полюсов функции Грина.

В пятом параграфе гл. 1 доказано, что функция 1.

Ф (*,*) =-Ит [кеХ1Ок [(?(*, ^ДМЙуЙ)^ (14).

2 т «->® ¿-г ^ представляет единственное решение однородной задачи (1)-(3), (/ = #), причем это решение имеет производные любого порядка по t.

В главе II используются все построения, теоремы и леммы главы I. Она посвящена решению основной проблемы диссертации, то есть задачи (1)-(3).

В теоремах 7 и 8 доказана эквивалентность решения задачи (1)-(3) решению интегро-дифференциального уравнения:

1 1 г (2(.

У (/, Х) = ФМ— ех^т, (15) о о У ди где — указанное выше решение (14) однородной задачи (1)-(3).

В § 2 сделан следующий шаг — сведение уравнения (15) к системе двух интегральных уравнений с двумя неизвестными:

В теореме 9 установлена эквивалентность вопросов разрешимости уравнения (15) и системы (16).

Необычность системы интегральных уравнений (16) относительно неизвестных V,, а вместе с тем и трудность исследования, заключаются в наличие в операторах правой части «посторонней» операции несобственного интегрирования по параметру X.

В § 3 доказана теорема 10, устанавливающая однозначную разрешимость системы (16) в пространстве С?[0,1] непрерывных вектор-функций (у, при достаточно малых 1<10.

Доказательство получено путем исследования и оценок интегральных операторов правой части (16).

В § 4 обоснована наиболее трудоемкая теорема 11 о непрерывной дифференцируемости по / и х решения (у, ш) системы (16), из чего становится ясным то, что первая компонента V решения системы (16) служит решением задачи (1)-(3) в классическом смысле.

Доказательство теоремы 11 требовало четкого выделения и расчета главной части операторов системы (16) с применением лемм 1, 2, 3.

16).

Наконец, в теорема 12 доказано, что при 0<1<10, где ^ - малое число, задача (1)-(3) имеет единственное решение.

Теорема 13 завершает главу II и утверждает представимость найденного в теореме 12 решения в виде ряда Фурье по собственным элементам задачи (4)-(5). При этом коэффициенты Фурье этого ряда получены нелинейным «возмущением /» из коэффициентов Фурье решения соответствующей линейной задачи.

1. Аболиня В. Э., Мышкис А. Д. О смешанной задаче для линейной гиперболической системы на плоскости. //Уч. записки Латв. гос. университета, 1958, Т.20. Вып.З. С.87−104.

2. Агранович М. С. Граничные задачи для систем псевдодифференциальных операторов 1-го порядка. //УМН, 1969. Т.24. № 1. С.61−125.

3. Акрамов Т. А., Вишневский М. П. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия. //Сибирский математический журнал. 1995. Т.36. № 1.

4. Березанский Ю. М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Hayкова думка. 1965 798 с.

5. Бернштейн С. Н. Об одном классе функциональных уравнений с частными производными. //Изв. АН СССР. Сер. математ. 1940. Т.4. С. 17−26.

6. Вагабов А. И. Корректность задачи Коши для одного класса систем линейных дифференциальных уравнений. //Учен, записки Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. и хим. наук. 1964. № 3. С. 10−13.

7. Вагабов А. И. Условия корректности одномерных смешанных задач для гиперболических систем. //Докл. АН СССР 1964. Т. 155. № 6. С. 1247−1249.

8. Вагабов А. И. Обобщенный метод Фурье решения смешанных задач для нелинейных уравнений. //Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32. № 1. С.90−100.

9. Гусейнов А. И. Худавердиев К.И. О решении методом Фурье одномерной смешанной задачи для квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка.//ДАН СССР. 1963. Т.148. № 3. С.496−500.

10. Дедушев A.B. Обобщенный метод Фурье в уравнениях с частными производными //Дисс. канд. физ.-мат. наук. Ростов н/д 1987. 149 с.

11. Загорский Т. Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа. Львов. 1961.-213 с.

12. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений. //УМН. 1960. Т.15. № 2. С.97−154.

13. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука. 1972. 496 с.

14. Коробейник Ю. Ф. Бесконечные системы дифференциальных уравнений: Диссертация кандидата физико-математических наук. Ростов-на-Дону. 1955. 204 с.

15. Коробейник Ю. Ф. Решение смешанной задачи методом Фурье для интегро-дифференциального уравнения // Докл. АН СССР 1957. Т.114 С.14−17.

16. Коробейник Ю. Ф. О решении операторных уравнений методом Фурье // Труды семинара по функц. анализу. Воронеж. 1957. С.71−86.

17. Коробейник Ю. Ф. О решении уравнений гиперболического типа методом Фурье // Учен, записки Ростовского гос. ун-та, серия механико-математическая. Орджоникидзе: 1959. Т. LXVI. № 7. С.77−116.

18. Коробейник Ю. Ф., Дедушев A.B. Решение смешанной задачи методом Фурье // Изв. СКНЦ ВШ, серия естеств. науки. 1980. № 1. С.11−16.

19. Костюченко А. Г., Оразов М. Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопряженные квадратичные пучки.//Труды семинара им. Петровского. 1981. Вып.1. С.97−146.

20. Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. Изд-во АН СССР, Ленинград. 1932. 473 с.

21. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: ГИТТЛ. 1953. 279 с.

22. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. 736 с.

23. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: ГИФМЛ. 1973. 407 с.

24. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности. //УМН. 1986. Т.41. Вып.5. С.59−83.

25. Лидский В. Б. Разложения в ряд Фурье по главным функциям несамосопряженного эллиптического оператора. //Матем. сб. 1962. Т.57. № 2. С.137−150.

26. Магомедова Е. С., Вагабов А. И. Интегральные уравнения, для плоских нелинейных смешанных задач параболического типа. //Тезисы международ, школы-семинара памяти Н. В. Ефимова. Ростов н/д. 1998. С.183−184.

27. Магомедова Е. С., Вагабов А. И. Интегральные уравнения, относящиеся к плоским нелинейным смешанным задачам для уравнений параболического типа. //Изв. вузов Северо-Кавказского региона. Сер. естеств. и обществ, наук. 1999. № 3. С. 16−21.

28. Магомедова Е. С. Построение решений смешанных задач для нелинейных уравнений теплопроводности. //Вестник ДГУ. Махачкала. 1999. № 1 С.54−58.

29. Магомедова Е. С. О построении решения смешанной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности. //Тезисы докладов конференции памяти Х.Мухтарова. Махачкала. 1999. С.48−49.

30. Магомедова Е. С. Суммируемость по Абелю интегралов и рядов Фурье непрерывной функции по обобщенным системам. //Вестник ДГУ. Махачкала. 1998. Вып.4. С.31−38.

31. Магомедова Е. С., Вагабов А. И. Представление решений смешанных задач для параболических систем интегралами Пуассона и их приложения. // Изв. вузов Северо-Кавказского региона. Сер. естеств. и обществ, наук. 2001. № 4. С.13−17.

32. Магомедова Е. С., Вагабов А. И. Смешанная задача для плоской квазилинейной параболической системы второго порядка с переменной старшей частью.// Деп. в ВИНИТИ РАН № 1702-В-2002. 15с.

33. Максудов Ф. Г., Худавердиев Ф. К. Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных гиперболических уравнений //ДАН СССР. 1990. Т.310. № 3. С.539−542.

34. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969. 526 с.

35. Петровский И. Г. О проблемах Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций.//Бюллетень МГУ, секция А. 1938. Т.1, Вып.7. С.1−72.

36. Расулов М. Л. Метод контурного интеграла. М.: Наука. 1964. — 462 с.

37. Соболевский П. Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве. //Труды Московского математического общества. 1961. С.297−350.

38. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. М.: Наука. 1983. 432 с.

39. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917. Тип М. П. Фроловой. 308 с.

40. Тихонов А. Н. Об уравнениях теплопроводности для нескольких переменных. //Бюлл. МГУ. Секция А. 1938. Т.1. Вып. 9.

41. Халилов З. И. Решение задачи колебания конечной струны в среде с переменным коэффициентом сопротивления. //ДАН АзССР. 1952. Т.8. № 7. С.333−337.

42. Хамраев К. Применение обобщенного метода Фурье и теории операторно-дифференциальных уравнений к решению некоторых смешанных задач для уравнений с частными производными. //Дисс. канд. физ.-мат. наук. Баку. 1979. 115 с.

43. Чандиров Г. И. Об одном обобщении неравенства Гронуолла и его приложения. //Уч. зап. Азерб. ун-та. Серия физ.-мат. и химических наук. 1958. № 6. С.3−10.

44. Шварц Л. Анализ. М.: Мир. 1972. 811 с.

45. Эйдельман С. Д. Параболические системы. М.: Наука. 1964. 443 с.

46. Amann Н. Dynamic theory of guasilinear parabolic equations II reactiondiffusion system. //Differential Integral Equations. 1990. V.3. № 1. P. 1375.

47. Croger K. Asymptotic behavior of solutions to a class of diffusionsreaction equations. //Math. Nachr, 1983. Bd. 112. S. 19−33.

48. Struwe M.A. Counterexample in regularity theory for parabolic systems. //Gzchoclowsk Math. J. 1984. V.34. № 2. P. 183−188.

49. Tamarkin J. Some general problems of ordinary linear differential equations and expansion of arbitrary function in series of fundamental functions.//Math. Zs. 1927. V.27. P. l-54.