Методика изучения элементов теории дискретных групп преобразований на факультативных занятиях в 10, 11 классах: На прим. 
геометрии Евклида и Лобачевского

В настоящее время в условиях современной гуманизации и гуманитаризации образования все большее значение приобретает личностный подход к обучению. Цель современной школы — развитие личности учащегося, формирование его ценностного сознания. Современная концепция развития образования предполагает поиск новый Форм и методов организации учебного процесса, которые позволят максимально раскрыть индивидуальные особенности школьника, ориентируясь на способности и склонности учащегося, осуществление такого подхода вполне возможно на факультативных занятиях.

Основная цель Факультативный занятийрасширение, углубление и развитие образования в средней школе, развитие интересов и способностей учащихся в избранных ими областях знаний. Применительно к математике эта цель заключается в сближении школьного курса математики с современной наукой" в ознакомлении школьников с важнейшими современными идеями математики. Специфика Факультативных курсов в современный условияк позволяет решать сложные проблемы: повышение интереса к (наукам, обеспечение высокого теоретического уровня знаний: ориентация учащихся в отношении выбора жизненного пути, существенным образом связанного в перспективе с математикой.

Как видно из трудов виднейших психологов и педагогов С. Л Рубинштейна с813, ли. Бояювич с 163, П. Я. Гальперина С263, H.A. Менчинской С623, Н. Ф, Талызиной с943, психологические особенности развития учащихся старших классов благоприятствуют постановке довольно сложных по научному уровню Факультативных занятий.

Проблемам совершенствования математического образования, возможного сближения школьного курса математики с математической наукой, изучению на доступном для учащихся уровне идей современной математики посвящены работы известаык математиков и педагогов, среди которых: А. Р. Кулишер С48), К. Ф. Лебединцев С53), В. В. Лермантов (54), К.А. поссе С77), В. Б. Струве С77), С. И. Шокор-Троцкий С1053, Б-ВГнеденко с 28), А. Д. Александров С 1,2,3), В. Г, Болтянский С18), Л. Д. Кудрявцев С 47), А. Я. Хин-чин С104).

В качестве одной из фундаментальный теорий современной математики, элементы которой могут изучаться на факультативных занятиях, мы предлагаем теорию дискретных групп преобразований. теория дискретных групп преобразований — это современная и быстро развивающаяся область геометрии, изучающая действия дискретных групп на многообразиях. Стимулом развития теории дискретных групп преобразований явились потребности такик наук, как теория дифференциальных уравнений, теория функций, геометрия, теория чисел, кристаллография и других областей науки. Наиболее интересным и преемлемым для изучения в средней школе материалом, на наш взгляд, является применение теории дискретных групп преобразований в решении задачи замощения плоскости Евклида и Лобачевского. Опыт научно-исследовательской работы показал, что изучение элементов теории дискретных групп преобразований Скак в плоскости Евклида, так и в плоскости Лобачевского) на Факультативных занятиях в старших классах вполне реально.

В настоящей диссертации проиллюстрированы принципы отбора содержания и организации учебного материала Факультативного курса «ЛМПК.РРТНЫР ГРУППЫ ЛРШЖРНИЙ R плпгк-л^тм Евгсшдя и Лпвачййсклгп» и его двух частей: «Дискретные группы движений в плоскости Евклида» и «Геометрия Лобачевского, дискретные группы движений плоскости Лобачевского» — для изучения в 10,11 классах средней школы.

Выбор этик тем можно обосновать следующими соображениями:

— в основе Факультативного курса «Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского» лежит одно из основных понятий математики — геометрическое преобразование;

— геометрические преобразования являются одной из содержательных линий школьного курса геометрии:

— множество движений плоскости относительно их суперпозиции образует группу, являющуюся примером математической структуры, которая имеет наиболее богатые приложения в различных областях науки и техники, то есть появляется возможность показа на конкретном примере целостной теории;

— школьный курс геометрии, построенный на аксиоматической основе, таит в себе благоприятные возможности и обладает достаточными резервами для изучения в рамках факультативным занятий элементов геометрии Лобачевского;

— наиболее наглядным примером показа целостной теории является изложение элементов теории дискретных групп преобразований как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского.

Под целостной теорией мы понимаем здесь минимальную структуру, адекватную общепринятой структурной единице науки, которая состоит из двух основных частей: оснований сосновные понятия и исходные посылки) и следствий Собъяснения и интерпретация известных Фактов и предсказание новых).

Через применение структур появляется возможность раскрыть учащимся абстрактный характер математики, показать возникновение математических абстракций, значение математических методов. Умение осмыслить математику с точки зрения структур — это значит умение отвлечься от конкретного содержания, воспользоШ Ш ваться методом, языком математики, в чем и состоит ее практическая ценность. Понятие математической структуры позволяет установить единство в многообразии математических фактов и методов.

Понимание роли структур может быть достигнуто через изучение конкретных структур и вопросов, которые помогают понять значение структурного подхода при изучении конкретного материала. Знакомство с основами аксиоматического метода при изучении элементов геометрии Лобачевского, построение новой геометрии и ее модели позволяет привести учащихся к общему понятию математической структуры, первым примером которой рассматривалось понятие группы геометрических преобразований.

Ознакомление учащихся с геометрией Лобачевского, само по себе, важно с различных точек зрения: с логической — это новая аксиоматика геометрии: с познавательной — как один из примеров неевклидовой геометрии: с исторической — на примере геометрии Лобачевского можно показать учащимся роль русских ученых в развитии науки: с прикладной — изучение геометрии Лобачевского способствует изучению других разделов науки, в частности, теории относительностис философской — у учащихся формируются представления о геометрии реального Физического пространства и т. д. Таким образом, ознакомление с геометрией Лобачевскогоэлемент общей культуры, с ней должен быть знаком каждый человек.

Основная цель изучения теории состоит, как известно, в том, чтобы научиться ее применять. Всякая теория может | применяться либо для изучения, развития другой теории, либо для реI шения практических задач. Поэтому, применительно к нашей! теме, необходимо показать конкретно, с одной стороны, применение элементов теории дискретных групп в геометрии сЕвклида и Лобачевского), с другой — приложения теории дискретных групп преобразований к построению орнаментов, паркетов и решению практическим и прикладным задач.

Вопросам теории дискретным групп преобразований посвящено значительное количество литературы, касающейся как геометрии действия этим групп, так и приложений С к теории функций комплексного переменного, топологии, дифференциальным уравнениям, теории чисел, кристаллографию. Этим вопросам посвященыработы А. Пуанкаре с 109), В. Тёрстона С110), Б.н. Апанасова С 7, 8), А. Бердона с 13), Ю. М. Рябумина с 82), з.Б. Винберга с ?1,22,23), а также д. Гильберта С27), С. Кон-Фоссен с27), М. Берже с14), Г. С. М. Коксетера С42) и другим авторов. Все перечисленные работы являются строго научными или научно-популярными, практически, не существует литературы, ориентированной на неподготовленного читателя, на первое знакомство с предметом. Вопросы обучения этим темам в методической литературе еще не рассматривались.

Необмодимой основой для изучения факультативного курса является тема «Геометрические преобразования». Разработка методики обучения теме «Геометрические преобразования» привлекала внимание многим методистов. Вопросам ознакомления учащимся с группами преобразований на факультативным занятиям посвящены диссертационные исследования А. Р. А. Сайед С 83), Н. в. Аммосовой с 6), А.м. янченко с 108), т. и. Уткиной с 98), м.А. Петровой с 70) и другим авторов. Методика изучения элементов теории дискретным групп преобразований и ее приложений в решении задачи замощения плоскости на факультативным занятиям еще не рассматривалась.

Для изучения второй части Факультативного курса предполагается знакомство учащимся с элементами геометрии Лобачевского. Этим вопросам посвящены работы авторов: В. Г. Болтянского (18), А. В. Силина с 87), Н. А. Шмаковой С 87), Б. В. Кутузова С 49), Е.Е.

Семенова С863 и других. Программы факультативных курсов, знакомящих старшеклассников с элементами неевклидовых геометрий и методика организации их работы предлагались в разное время н.Р.гшбуллаевым с25), п.В.Мартиросян с61), Т.И.саламатовой с843, е.А.Ермак с333. Во всех перечисленных выше работах основной акцент делается на применение геометрии Лобачевского, в решении задач Физики, теории относительности и астрономии,! в решении практических задач с помощью сферической и гиперболической геометрий. Вопросы дискретных групп движений в плоскости Лобачевского и методика изучения этой темы в работая перечисленных выше авторов не рассматривались.

Наряду с большим количеством имеющихся научных работ по геометрии дискретных групп и интенсивным развитием этого направления науки" элементы теории дискретных групп преобразований в плоскости Евклида и Лобачевского на Факультативных занятиях в школе не изучались. Практически, не существует литературы, ориентированной на неподготовленного читателя. Вопрос методики изучения этой темы на факультативных занятиях не исследовался.

Кроме того, как показывает анализ современной педагогической и методической литературы, многие студенты-первокурсники естественно-научных и математических Факультетов университетов испытывают серьезные трудности, прежде всего на первых этапах обучения в высшей школе, при изучении математических теорий вьь сокого уровня абстракции. Поскольку на Факультативах обучаются, как правило, те дети, которые связывают свое будущее если не с математикой, то с естественно-научным циклом дисциплин, безусловно, еще в средней школе следует готовить ик к преодолению упомянутых выше трудностей. Одним из вожможных путей их преодоления мы видим усиление роли математической теории при обученим геометрии на Факультативный занятиях.

Таким образом, возникает необходимость разработки содержания факультативного курса «Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского» на уровне, адекватном для школьников старших классов, и методики его изучения с тем, чтобы на примере конкретной темы показать учащимся особенности математической теории и начать подготовку к более действенному изучению высоких математических абстракций.

Все сказанное выше определяет актуальнпгть темы исследования. проблема ислепования заключается в поиске путей постанов-^ ки факультативного курса по изучению элементов теории дискрет.

1 ных групп преобразований в старших классах.

V Цель работы состоит в разработке содержания и методики изучения Факультативного курса «Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского», направленной на усиление теоретических аспектов геометрии. объектом исследования является процесс обучения геометрии # на Факультативных занятиях. прйпметпм исследования является содержание учебного матс-1 риала по теме: «Дискретные группы движений в плоскости Евклида и.

Лобачевского" и методика его изучения. в ходе исследования была выдвинута гипотеза согласно котоI рой, реализация методических особенностей постановки Факульта тивного курса «Дискретные группы движений в плоскости Евклида и.

Лобачевского", направленных на усиление роли математической к теории, будет способствовать более глубокому усвоению програм.

I «.

1 много материала, создаст объективные предпосылки для повышения уровня математической культуры и интеллектуального развития школьников.

Для решения проблемы исследования и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было последовательно решить следующие задачи:

1. Произвести анализ научной и учебно-методической литературы по теш исследования.

2. Выявить методические особенности постановки факультативного курса «Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского» в современный условиях с учетом усиления теоретических аспектов геометрии.

3. Разработать структуру и содержание Факультативного курса «Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского» на уровне, адекватном для школьников старших классов.

4. разработать методические рекомендации по изучению тем Факультативного курса «Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского.

5. провести экспериментальную проверку разработанный материалов.

При решении поставленных задач использовались следующие методы исследования:

— изучение и анализ научной и учебно-методической литературы по теме исследования;

— обобщение опыта постановки Факультативных курсов;

— беседы с учителями школ и преподавателями вузов;

— беседы и анкетирование школьников;

— организация и проведение педагогического эксперимента;

— количественная, качественная и статистическая обработка данных, полученных в результате эксперимента.

Исследование проводилось с 1993 по 1997 г. г. и включало в себя несколько этапов: на первом этапе был проведен анализ математической, псино-лого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, изучен опыт постановки Факультативный курсов по математике, определен предмет исследования, организован констатирующий эксперимент. на тугпрпм этапе были подготовлены учебные материалы и методические рекомендации к ним по темам: «дискретные группы движений в плоскости Евклида» и «Геометрия Лобачевского, дискретные группы движений плоскости Лобачевского», разработаны отобран комплекс задач на основе ик непосредственной взаимосвязи с теоретическими знаниями. Организован поисковый эксперимент. на тррткрм этапе разрабатывалась методика проведения обучающего эксперимента и осуществлялась его реализация. на четвертом этапе была проведена количественная и качественная обработка материалов эксперимента, сформулированы общие выводы и заключение по проведенному исследованию.

Научная нпшляна проведенного исследования состоит в разработке содержания Факультативного курса по математике «Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского» и методических рекомендаций по его изучению.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:

— обоснована целесообразность и возможность изучения элементов теории дискретных групп преобразований на факультативных занятиях;

— разработаны основы изучения элементов теории дискретных групп преобразований в плоскости Евклида и Лобачевского на факультативных занятиях по математике;

Практическая значимость работы заключается в том, что:

— разработано содержание факультативного курса «Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского» ?

— предложено примерное планирование Факультативных занятий по данной теме для учащихся 10,11 классов;

— разработаны методические рекомендации по изучению тем Факультативного курса;

— разработанные по темам «Дискретные группы движений в плоскости Евклида.» и «геометрия Лобачевского, дискретные группы движений плоскости Лобачевского.» материалы могут быть использованы учителями для проведения факультативных занятий и занятий по выбору, как в обычный классах, так и в классах с углубленным изучением предметов естественно-математического цикла, в лицеях и гимназиях;

— отдельные разделы Факультативного курса могут быть использованы автономно и в других факультативах, а также для разработки факультативных занятий в классах с другими специализациями;

— материалы исследования могут быть использованы преподавателями педвузов для проведения спецкурсов, студентами для самостоятельного изучения. на защиту дьмосятся: содержание и методика изучения теш «Дискретные группы движений в плоскости Евклида и Лобачевского» на факультативных занятиях в ю, и классах,.

Апвпбапия результатов игеладования. основные методические выводы и результаты исследования обсуждались на кафедре геометрии МПУ. Проводились доклады: на 4-ой научно-практической межвузовской региональной конференции сБиробиджан, 1995 г.3, на семинарах методического объединения учителей математики г. Тобольска, на методическом семинаре преподавателей летней математической школы еТобольск, 1996 г. З, на семинаре «Передовые идеи в преподавании математики в России и за рубежом» СМПУ, 1997 г.). экспериментальная проверка. Для оценки эффективности выдвинутых в ходе исследования положений был проведен педагогический эксперимент с 1993 по 1997 г. г. на базе гимназии N0 ю г. Тобольска и на базе летней математической школы г. Тобольска, где ежегодно обучаются дети с целью их раннего отбора, профориентации и профинформации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и трек приложений.

2. А. пександроЕ А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В* И. геометрия &- S с учебное пособие для учащикся жсол и классов с углубленным изучением математики). — М.: Просвемение 1881. — 415 с.

3. Александров А. Л. Вернер А.Л., Рыяшк В*Е геометрия 10−11 сучебное пособие для учащийся жол и классов с углубленным' изучением математики). — М.: Просвещение 1995. — 463 с.

4. Апексакдров, а Мир ученого // Наука и жизнь., 1374. М 8. с. 2 — 9.

5. Алек: сандров П. С. Николай Иванович Дэбачевский.//Квант.- 1876. — W2. — 5 — 15.

6. Аммосова н. в. Движения^ группы движений и ик приложения в системе факультативный курсов. Автореф. дис.канд. пед. наук. /Моск. пед. ин-т им. в. и. Ленина, — М. 1887. — 15 с.

7. Апанасов В. Е Геометрия дискретный групп и многообразий. М.: Наука. 1891. — 426 с.

8. Апанасов Б. Н. Лискретные группы преобразований и струкТУРЫ многообразий, ньвосибирск: Наука. 1983. — 242 с.

9. АРНОЛЬД В. Зачем мы изучаем математику? // Квант.1983. — W ½. — 6.

10. Атанасян Л. С. Бутузов В-Ф., Кадомцев СБ. познякЭ.Г. Юдина И. И. Геометрия 7 — 9, учебник для 7 — 9 классов средней жолы. — М.: Просвещение, 1882. — 335 с.

11. Барыбина И. А. Элементы современной алгебры на й^культативнык занятияк в средней жоле. АвтореФ. дис. канд. пед. наук. / мопи им. ЕК. Крупской, -М., 1870. — 16 с.

12. Бакман Ф. Построение геометрии ш основе понятия симjLiZiA.метрии. М. г Наука, 1969. — 379 с. 13- Бердон А. геометрия дискретный групп. — М.: Наука, 1986; - 300 с.

13. Берже м. Геометрия, т.1. -М.: Мир, 1984. — 54б'с.15- Верже м., Берри Ж. — П., Паксю Н, Сен-Р-еймон КЗадачи по геометрии с комментариями и решениями. — М.: Мир, 1Ш9. 304с.

14. Божович Л-Ипознавательные интересы жольников и путит изучения. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1955; - вып. 73. — 314 с.

15. Болтянский В. Г., йглом И. М. Пшобразования. Век: торы:пособие для учителей. — М.: Просвещение, 19S4. — 303 с.

16. Болтянский Е. Г. Загадка аксиомы параллельнык. /Квант.- 1976. -• N3. — 2 — 8.

17. В чворческом поиске. Вопросы психологии и методики обучения Физике и математике в школе. / Под ред. В. И. ЗЫКОВОЙ И, з.И. Калмыковой. — м., «Сов. Россия», 1872. — 143 с.

18. Вейль г. Симметрия. — м.- Наука, 1968. — 191 с. Й1. Винб’ерг ЭВ. Дискретные группы, порожденные отражениями в пространствах Лобачевского // Мат. сб., 1967. т. 72. с. 471 — 488.

19. Винберг/ Э. Б. Некоторые примеры кристаллографическийгрупп в пространствак Лобачевского // Шт. сб., 1967. т. 78. с. 633−639.

20. Винберг Э. Б., Шварпман О. В. Римановы поверкности. /итоги тшт и текники, 1978, т. 16 — 245 с.

21. Гуцул И., Макаров В. 06 одном семействе федоювскик групп пространства Лобачевского // ТР. Мат. ин-та ДН СССР. 197S. T.14S. с. 106 — 108. 31- души св., '^Шотаревскйй Б.д. От орнаментов до диФФеренциальнш уравнений. -.Минск: вьш.шк. 1988. — S53c.

22. Евклид, начала т.т. 1 Л 1 Л П. М., -П.: Гостениздат.194S — 1949, 1950. — 445, 510, 326.

23. Ермак Е. А. Развитие пространственнык представленийучащийся средней жолы при изучении евклидовой и неевклидовой геоштрии: Автореф. дис. канд. пед. наук. — Санкт — Петербург, 1981. — 18 с.

24. Зорина Ли. Дидактические основы Формирования системности знаний старшклассников. М., 1978. — 123с.

25. Зыкова В. И. Очерки псикологии усвоения начальный геометрических знаний. Пособие для учителей. — м., Учпедгиз. 1955. 164 с.

26. Каган В. Ф. Лобачевский и его геометрия. — М.-Л.: Гостешздат. — 1948. — 30g с.

27. Калужин Jl.A.V Сущанский В.й. Преобразования и перестановки. — М.: Наука, 1985. — 160 с.

28. К. ШЙН Ф. сравнитльное Обозрение Н0Е8ЙЙШК геоме-шйческик исследований / Эрлангенская программа/, 1872. — В сб: 06 основанияк геометрии. — М.: Гостекиэдат, 1956. — 399 — 434.

29. Клейн Ф. Элементарная штематака с точки зрения высшей: в йх томан. т. 2. Геоме’шия: Пер. с нем. / Под ред. В. Г. Болтянского. — 2-е изд. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. .шт., 1987. — 416 с.

30. Коксетер Г. СМ.

Введение

в геометрию. — м.: Мир, 1971. 247 с. .

31. Коксетер Г. М., Грейцтер Л. Новые встречи с геоштрией: Пер. с англ. / Под ред. А. П. Савина. — М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 19Ж — 224 с, ил.

32. Коксетер Г. СМ., Мазер У.о.Дж. Поровдашйе з. шменты иопределящие соотношния дискретный групп: ПЁР. С англ./ под ред. Ю. И. Мерзлякова — М.: Наука. Гл. ред.^з.-мат. лит., 1980. — 240 с.

33. Колмогоров А. Н. паркеты из правильный многоугольников.//Квант. -1986. Мб. 3 7.

34. Колягин Ю. М., Лукашсин Г. Л., Моркушин Е. л., ОганесянВ.А., пичурин Л.Ф., саннинский В.й. Методика преподавания математики в средней жоле. С Частные методики). — М.: Просвещение, 1877. — 478 с.

35. Колягин Ю. М., Оганесян В. А., Саннинский В.й., Луканкин Г. Л. Методика преподавания математики в средней школе. СОбщая методика). — м.: Просвещение, 1875. — 461 с.

36. КрушкалБ л.^ Ананасов Б. Н., гусевский Н.А. клейновы- 185 группы и униФоршзао. ИЯ в примерак и задачак. — Новосибишк: наука. 1981. — 231 с.

37. Лаптев Б. Л. н. и. Лобачевский и его геометрия: Пособиедля учащийся. — М.: Просвещение, — 1876. — 11Й с.

38. Лермантов Б. В. Какик результатов можно требовать отпреподавания элементарной алгебры и как ее следует излагать. Прив. — доц. в. лермантова. Одесса, тап. Шпенцера, 1901. 13 с.

39. Лучшие псикологические тесты Сдля профотбора и профориентации). о/р. А. Ф. Кудряшов. — Петрозаводск.: изд-во «ШтроКОМ», 1892. — 318 с.

40. Макаров B.C. геометрические методы построения дискретнык групп движений пространства Лобачевского // Проблемы геомечрии 15. М.: ВИНИШ. 1983. 3−59.

41. Макаров B.C. 06 одном классе двумерный Федоровскийгрупп // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1967. Т. 31. с. 531 542.

42. Макаров В. СОб одном классе разбиений пространстваЛобачевского // МН СССР, 1965. Т. 161. S77 — 278.

43. Мантуров О. В. Исаева М. А. 06 аксиоматическом методе вшкольном курсе геоме-шии // Математика в школе. — 1988. ш: 38 — 41.

44. Мартиросян, а в. элементы неевклидовой геометрии всредней школе: Автореф. дис. канд. пед. наук. — Баку. — 1973. — 37 с.

45. Менчинская Н. А. мышление в процессе обучения. // С6. Исследования мышления в советской псико.110гии. / Под ре д. СВ. Широковой. — М.: Шука> 354 387.

46. Методика препдавания математаки в средней школе: Общаяметодика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. «Математика» и «Физика» / А. й. шюк, Е. канин, Н. Г. Килика и др.- сост. Р. черкасов. А. А. Стляр. — М.: Просвещение, 1975. 336 с.

47. Молодшй B. R Очерки по омлософским вопросам математики. — м.: Просвещение, 1969. — 303 с.

48. Мордукай-Волтовской М.М. 0. заполнении неевклидовыкпространств пшвйльными многоугольниками и многогранниками. Уч. зап. НИИ мат. и Физ. Рост. н/Д Гос. ун-та, 1838, Т. 2. 35 37.

49. Нечипоренко К. А. Элементы, теории чисел на Факультативный занятияк в VII vril классак средней жолы. Автореф. дис. канд. пед. наук., Киев, 1975.™ Зй с.

50. Пеклецкий И. Д. Общая теория систем и анализ процессаобучения. — Пермь, 1976. 120 с.

51. Пиаш I., Э.Вет., Ж. Дьедоне, А. Ликнерович, Г. Жоке, К.Гаттекьо. Преподавание математики. — М. Учпедгиз, 1960. «* Ju%?fC Кал.

52. Пикан В. в. совершенсшовать формы учебный занятий //Математика в жоле. 1987. — W 5. 23 — 26.

53. Погорелов А. В. Геометрия 7 — 11. Учебник для 7 — 11классов средней жолы. — М.: просвещение, 1982. — 383 с.

54. Поздняков И. И. Педагогические основы Факультативныйзанятий по математике в старшик классах средней жолы. АВтореф. дис. канд. пед. наук., М., 1971. — 18 с.

55. Польский Н. И. О различный геометрияк. — Киев: Йзд-вооо АН УССР, 1862. 100 с.

56. Шссе К. А. Струве В. БО согласовании програш увшматики в средней и высшей жолак. Доклады, прочит, в общем собрании Первого Всерос. съезда преподавателей математики з января 1912 г. Одесса. 1912, 16 с.

57. Потои^ сий М.В. О педагогическик основак обучения математике. — М.: Учпедгиз, 1963. — 200 с. 78- Программы факультативный курсов для средней школы. 41. — R, 1969. — 54−66.

58. Пуанкаре А. о науке, -м.: Наука, 1980.81- Рубинштейн С-л. Проблемы общей психологииМ.: Педагогика, 1973. 426 с.

59. Рябукин Ю. М. Геометрия дискретны5{ групп. Кишенев, Xi^wU- «^ 1"зл.

60. Сайед А. Р. А. Методика ознакомления учащихся среднейжолы с элементами теории групп: АвтереФ. дис. канд. пед. наук. -• - киев, 1874. — 35 с.

61. Саламатова Т. И. Методика Ьазвитая геоме1|>ическик представлений учащийся средней жолы на внекласснык и Факультативных занятиях Сна примере геоме-шии Лобачевского и сферической геометрии): Автореф. дис. канд-пед. наук. ^ М., 1987. — 18 с.

62. Силин А. В., Шмакова Н. А. Открываем неевклидову геометрию. — М.: Шюсвещение, — 1988. — 123 с.

63. Симоновская Г. А. Факультативный курс «Комплексные числа и их прилошния» для старших классов средней жолы: Автореф. дис-. канд. педнаук. — М. 1897. — 16 с.

64. Смирнова И. м. многогранники и ик приложения на Фарсультатавнш занятияк в средней жоле: Автореф. дис.-.канд. пед. наук. — М., 1987. — 16 с.

65. Смирнова ЕМ. Научно-методические основы пшподавания. геометрии в условияк профильной дифференциации обучения: Автореф. дис. докт. пед. наук /Моск. пед. гос. ун-т, — М. ^ 1995. — 38 с.

66. Степанов В. Д. Вопросы организации и методики проведения факультативный курсов по математике в средней жоле: АвтореФ. дис. канд. пед. наук. -Казань^ 1973. — 20 с.

67. Столяр А. А. Педагогика математики. — Минск, «Вьшйш.жола», 1969. — 368 с,.

68. Столяр А. А. Логические пюб. шмы пшподавания математики. — Минск. «Вышзйш. жола» — 1965. — 253 с.

69. Талызина Н. Ф. S^ пpaвлeниe процессом усвоения знаний.М.: ЙЗД-ВО ШУ, 1875. — 343 С 95- «Пеория и практика педагогического эксперимента /Под ред. Шскунова А, И., Воробьева Г. В. -М.: Педагогика, 1979. — 208 с. • .

70. Туматаев с к. Методика использования преобразованийплоскости ПРИ изучении курса геометрии в 6 — 8 классак: Авторе®-, дйс. канд. пед. наук. — тажент. 1878. — 23 с.

71. Тяшсин А. А,. Шибанов А. с. Пуанкаре. — м.: Молодаягвордия., 1979. — 415 с.

72. Уткина Т. И. ВОПРОСЫ методики изучения геоме’п:>йчески}{преобразований пространства в средней жоле. Автореф. ДИС-. канд. пед. наук. — М. 1981. — 1 6 с.

73. Факультативный курс по математике сучебное пособие для7 — 9 классов средней жолы). Сост. И. Л. Никольская — М.: Просвещение. i99i. 381 с. 100- ШетасоЕ А. И. Очерки по евклидовой и неевклидовой геоштрии. -М.: Просвещение. — 1865. -• 235 с.

74. Фёдоров Е. Правильное деление плоскости и пространствэлЛ.: Наука, 1879. — 272 с.

75. Фёдоров Е. С. Сишетрия и структура кристаллов: основные работы. / Ред. А. В. Шубникова, И-И. ШафраноЕского. Симметрия правильный сисшм точек. — М.: АН ссер, 1848. — с. ill — 255.

76. Фйскович Т. т. Опыт изложения курса элементарной геометрии на плоскости на основе идеи групп преобразований. Авторе©— дис. канд. пед. наук. >-м., 1866. — 1 5 с.

77. Хинчин А. й. Педагогические статьи. -М.: Изд-во АПНРСФСР, 1963. — 203 с.

78. Шокор-'Шощсий СИ. Цель и средства преподавания низшей математики с точки зрения требований общего образования. Спб., Журн. «F-yc. жола», 1882. — 116 с.

79. Яглом Й. М. iDMHiwn относительности Галилея и неевклидова геометрия. М.: Наука, 1869. — 303 с. 107. йглом И.М. Ф&шкс Клейн и Софус Ли. — М.: Знание, 1877. — 64 с.

80. Шченко А. М. Методические основы применения группыперемещений в курсе геоштрии. Автореф. дйс. канд. пед. наук. — М., 1875. — 22 с.

81. Рошсаге Н. Theorie des iroupes Fuchsiens.- ActaHaih., 1882, Ed. 1, S. 1−62.

82. Thurston v. The geoiftBtry and topology of 3-raanifolds:1.cture notes. — Princeton, 1878.