Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, не содержащие малого параметра, долгое время были для аналитиков «вещью в себе», к которой не имелось никаких подходов. Самое большее, на что можно было рассчитывать — это на нахождение отдельных классов точных решений, обычно связанных с группами симметрий, допускаемыми уравнениями. В тех случаях, когда этого было недостаточно, оставалось полагаться на вычисления на ЭВМ.
Тем не менее уравнения нелинейной математической физики, поддающиеся глубокому математическому анализу с помощью аналитических методов, в настоящее время исчисляются многими десятками. Эти уравнения часто называют интегрируемыми, хотя интегрируемость в другом смысле слова доказывается лишь для немногих из них. Число интегрируемых уравнений продолжает возрастать.
Характерной чертой интегрируемых уравнений является существование у них специальных точных решений — солитонов. Солитоны наиболее интересны с точки зрения физических приложений теории. Они представляют собой локализованные в пространстве и во времени объекты, отличающиеся значительной устойчивостью и сохраняющиеся при столкновениях.
Исторически, понятие уединенной волны было введено Скоттом-Расселом более ста лет назад в только что зарождавшуюся науку — гидродинамику, когда он описал это явление [1], наблюдаемое им в одном из водных каналов.
В 1895 г. Кортевег и де Вриз [2] вывели уравнение волн на мелкой воде с учетом нелинейных и дисперсионных эффектов, но в пренебрежении диссипацией энергии, заложив тем самым основы аналитического исследования уединенных волн.
В течение долгого времени к уединенной волне относились как к сравнительно маловажной экзотике, встречающейся в математической структуре нелинейной теории волн. Ввиду того, что уединенная волна представляет собой частное решение дифференциального уравнения в частных производных, многие исследователя решили, что для ее возникновения требуются несколько особые начальные условия, и что, следовательно, по отношению к задаче Коши ее роль в лучшем случае будет второстепенной. К тому же было принято считать, что если послать навстречу друг другу две уединенные волны, то в результате нелинейного взаимодействия при столкновении пропадут их целостность и характерные признаки. С появлением современных вычислительных машин появилась возможность проверить все эти предположения путем прямых вычислений.
Впервые результаты таких расчетов были получены в 1962 г. Перрин-гом и Скирмом [3], которых заинтересовали решения уравнения sin-Гордона в качестве простейшей модели элементарных частиц вещества. Перринг и Скирм провели численные эксперименты, с тем чтобы выяснить, как в такой модели происходит рассеяние элементарных частиц при столкновениях. Из найденного на ЭВМ решения следовало, что уединенные волны не рассвиваются, а выходят из столкновения с той же формой и скоростью, что и перед столкновением. Оттолкнувшись от этой «машинной подсказки», Пе-ринг и Скирм сумели найти аналитические выражения для описания актов столкновения. Любопытно, что десятилетием раньше эти уравнения уже были выведены Зегером, Донтом и Кохендерфером [4].
Вскоре Забуски и Крускал опубликовали результаты совершенно самостоятельного исследования, выполненного на ЭВМ с целью изучения возможности применения уравнения КдВ к волнам в плазме [5]. И снова машинное моделирование показало, что уединенные волны выходят из столкновения с той же формой и скоростью, что и до столкновения. Желая подчеркнуть столь примечательную особенность уединенных волн, Забуски и Крускал ввели особый термин солитон, положив начало глубоким многосторонним исследованиям условий существования солитонов. Новейшее развитие теоретической физики показало, что солитоны играют важную роль во многих физических ситуациях — в гидродинамике, в физике плазмы, в физике конденсированных сред, в теории элементарных частиц и в космологии.
В настоящее время теории солитонов посвящена обширная литература [6]. Одной из областей применения солитона является физика элементарных частиц, где солитонные решения нелинейных полевых уравнений используются в качестве простейших моделей протяженных элементарных частиц [3,6]. Как известно, теория поля, рассматривающая элементарные частицы как математические точки, обладает рядом существенных недостатков. В такой теории невозможно получить конечные значения для масс частиц, объяснить существующий спектр масс, вывести конечные значения для заряда, спина частицы и т. д. Представление о точечных частицах не позволяет ставить вопрос об их внутренней структуре, которая вытекает из современных экспериментов. Одним из возможных подходов к преодолению указанных трудностей является нелинейное обобщение основных уравнений поля. Следовательно, нахождение и исследование свойств точных регулярных локализованных решений нелинейных классических полевых уравнений (солитоно или частицеподобных решений) связано с надеждой создать свободную от расходимости теорию элементарных частиц, которая могла бы описывать сложную пространственную структуру частиц, наблюдаемую экспериментально. Внутренняя структура частиц определяет их глобальные характеристики, в том числе и те квантовые числа, которые служат для описания индивидуальных свойств, барионов, мезонов или лептонов [7]. Взаимные превращения частиц указывают на то, что существует некоторая внутренняя основа типа «праматерии» [8]. При этом надо иметь ввиду, что нелинейное обобщение теории поля необходимо независимо от вопроса о расходимостях, так как учет взаимодействия полей неизбежно приводит к появлению в уравнениях поля нелинейных членов. Это означает, что нелинейность надо рассматривать не только как один из способов устранения трудностей теория, но и как отражение объективных свойств поля. Полное описание элементарных частиц со всеми их физическими характеристиками может дать лишь теория взаимодействующих полей [9]. Локализованным решением классических уравнений поля соответствуют частицы в квантовой теории поля. Поскольку элементарная частица является квантовым объектом, то попытки построения классических моделей частиц являются предварительным, но необходимым этапом исследования при переходе к квантовой теории.
В то же время после создания общей теории относительности и квантовой теории поля возник интерес к исследованию роли гравитационных взаимодействий в физике элементарных частиц. С продвижением в область высоких энергий и по мере построения теории остальных взаимодействий включение гравитации в общую теоретическую схему взаимодействий элементарных частиц стало одной из наиболее актуальных задач физики высоких энергий [10]. В продвижении к этой цели важную роль играет получение и исследование точных решений самосогласованных систем материальных и гравитационных полей.
Учет собственного гравитационного поля системы взаимодействующих полей представляет физический интерес в силу его универсальности и неэкранируемости, а также в силу того, что уравнения гравитационного поля по своей структуре нелинейны. И таким образом из нелинейности гравитационного поля следует невозможность введения точечного объекта [11,12].
Как известно, отыскание точных решений нелинейных уравнений даже в плоском пространстве-времени является сложной задачейучет же собственного гравитационного поля в виде системы уравнений Эйнштейна значительно усложняет задачу. Поэтому целесообразно рассматривать модельные системы полей, допускающих точное математическое исследование [13,14].
Одним из основных требований, которому должны удовлетворять ча-стицеподобные решения, является требование конечности полной энергии системы полей. Это требование легко формулируется в плоском пространстве времени для всех типов симметрии — сферической, цилиндрической и плоской. С учетом гравитационного поля требование конечности полной энергии полей, включая энергию гравитационного поля, можно сформулировать только для сферически-симметричных частицеподобных решений, так как конфигурации полей с такой симметрией образуют островную (изолированную) систему, которая может иметь асимптотически плоское пространство-время [15,16]. В плоском пространстве-времени можно рассматривать соли-тоноподобные объекты, имеющие одно, два или три пространственных измерения. В общей теории относительности уравнения Эйнштейна описывают геометрию четырехмерного пространства-времени, поэтому цилиндрически-симметричные или плоско-симметричные решения также описывают конфигурации полей в четырехмерном пространстве-времени. Поскольку системы полей с такой симметрией не ограничены по одной или двум координатам, то они не могут образовывать изолированную систему и для них понятие полной энергии, включая энергию гравитационного поля, не определено. Поэтому в теории гравитации интерпретация цилиндрическисимметричных иплоско-симметричных решений как солитоноподобных встречает определенные трудности.
Влияние гравитационного поля на свойства регулярных локализованных решений — солитоноподобных или частицеподобных решений — существенно зависит от симметрии системы. В данной работе рассматриваются статические плоско-симметричные решения нелинейных уравнений, описывающих самосогласованные системы взаимодействующих скалярного, спинорного и гравитационного полей (главы 1, 2).
Плоско-симметричные полевые конфигурации, при всей их модельно-сти, описываются более простыми системами уравнений, что позволяет проанализировать влияние собственного гравитационного поля на свойства изученных систем полей [17−19]. В настоящее время есть некоторые указания на то, что собственное гравитационное поле может играть стабилизирующую роль [20,21].
Универсальность и неэкранируемость гравитационного поля вызывает принципиальный с исследовательской точки зрения вопрос о влиянии внешнего космологического гравитационного поля на эффекты микромира. Как будет показано ниже на примере уравнения нелинейного спинорного поля (глава 3), внешнее гравитационное поле может играть определяющую роль в формировании регулярных локализованных решений с конечной энергией. В данной работе нелинейное спинорное поле рассматривается во внешнем гравитационном поле Вселенной Гёделя [22]. Чем обусловлен такой выбор?
Вселенная Гёделя является моделью Вселенной, обладающей рядом необычных свойств, которые ассоциируются с ее вращением. Вопрос о существовании вращения Вселенной как целого был поднят более 50 лет назад в работе Гамова [23] и до сих пор не имеет удовлетворительного ответа. Почти одновременно Геделем [24] была предложена замечательная во многих отношениях модель вращающейся Вселенной. Метрика Гёделя описывает однородную в пространстве и времени Вселенную, заполненную идеальной газовой средой как во Фридмановской космологии. Однако присутствие вращения имеет две особенности: 1) пространственно-временная метрика описывает анизотропное пространство, т.к. есть ось вращения, 2) существуют замкнутые времениподобные кривые. Поскольку в работе рассматривается случай самодействия спинорного поля, а характерные космологические времена очень велики по сравнению с характерными временами микромира, то этими особенностями можно пренебречь. Но если реальная Вселенная несомненно может иметь угловую скорость вращения, то замкнутые времениподобные кривые вряд ли имеют место.
Структура диссертации:
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Заключение
.
Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:
1. В плоско-симметричной метрике изучена самосогласованная система уравнений гравитационного и скалярного полей с нелинейным членом с^((р)/с1(р в уравнении скалярного поля, где У (ср) — произвольная функция скалярного поля ср. Предложен подход к нахождению точных решений вышеуказанной системы уравнений.
В рамках принятого подхода получены точные самосогласованные решения уравнений, которые в пределе плоского пространства-времени являются уравнениями ят-Гордона и Клейна-Гордона. В случае уравнения вт-Гордона показано, что основное отличие полученных решений от решений уравнения эт-Гордона в плоском пространстве-времени заключается в том, что если в плоском пространстве-времени с изменением параметра нелинейности Л функциональная зависимость (р (х) не изменяется (ср (ж) = 4т/Лаг^ехр (гаж)), то учет собственного гравитационного поля приводит к тому, что каждому значению Л соответствует своя функциональная зависимость фл (ж). Кроме того учет собственного гравитационного поля приводит к тому, что энергия полевой конфигурации типа кинка меньше, чем энергия кинка в плоском пространстве-времени (глава 1, § 2).
В случае уравнения Клейна-Гордона поведение полученного решения при х —=роо совпадает с поведением решения соответствующего уравнения в плоском пространстве-времени, где ф (ж) = фое±тж, а при х —±-оо полевая функция в случае учета собственного гравитационного поля возрастает по закону ф (ж) ~ 2тх, ос — Зх/8, что гораздо медленнее, чем в плоском пространстве-времени (глава 1, § 3).
2. Рассмотрена система уравнений нелинейного спипорного и нелинейного скалярного полей с минимальной связью в теории гравитации в плоско-симметричной метрике. Получены точные плоско-симметричные статические решения вышеуказанной системы уравнений (глава 2,.
51).
Исследована роль гравитационного поля в формировании конфигураций полей, обладающих ограниченной полной энергией, ограниченными спином и зарядом. а) Получено самосогласованное решение уравнения линейного спинор-ного поля — уравнения Дирака и уравнения линейного безмассового скалярного поля. Установлено, что хотя в случае линейных спинор-ного и скалярного полей с минимальной связью заряд и спин спи-норного поля ограничен, но полная энергия системы полей неограниченная величина. Изучено влияние изменения знака плотности энергии скалярного и спинорного полей на свойства формируемой конфигурации полей. Установлено, что при изменении знака плотности энергии скалярного поля система физически реализуема только в том случае, если величина скалярного заряда не превосходит некоторой критической величины. Более того, существует частный случай, когда существование в ОТО скалярного поля с отрицательной плотностью энергии невозможно (даже при отсутствии линейного спинорного поля) (глава 2, § 2). b) Исследована система, состоящая из уравнений нелинейного спинор-пого и линейного безмассового скалярного поля с минимальной связью. При этом нелинейный член в лангранжиане спинорного поля выбран в виде = А^?", где, А — параметр нелинейности, п ^ 2. При п = 2 получено уравнение спинорного поля типа Гейзенберга-Иваненко, для которого выписаны точные решения. Показано, что в этом случае плотность энергии системы полей нелокализованная функция, а полная энергия системы неограниченная величина. Однако показано, что возможно существование системы с ограниченным спином и зарядом.
При п > 2 найдены условия, при которых полная энергия системы полей ограничена. Показано, что в рассматриваемом случае свойства конфигурации полей опроделяются свойствами нелинейного спинорного поля. Получено решение, при котором рассматриваемая система полей обладает конечной полной энергией, конечным зарядом и спином спинорного поля (глава 2, § 3). c) Рассмотрена система уравнений гравитационного и нелинейного скалярного полей. В качестве нелинейного уравнения скалярного поля выбрано уравнение типа Борна-Инфельда. Найдено решение, при котором инвариант скалярного поля 1{х) имеет форму кинка, а полная энергия скалярного поля — ограниченная величина (глава 2, § 4).
1) Исследована самосогласованная система уравнений нелинейного спинорного и нелинейного скалярного полей. В лагранжиане спи-норного поля лагранжиан самодействия выбран в виде степенной функции ^" (5) — ХБ". — а в качестве лагранжиана скалярного поля выбран лагранжиан типа Борна-Инфельда. Найдено решение с ограниченной полной энергией системы полей, однако спин и заряд системы неограничены. В общем случае показано, что в системе нелинейных полей с минимальной связью нелинейный член в уравнении спинорного поля можно выбрать так, что устраняется вклад скалярного поля в метрику пространства-времени, но остается вклад в полную энергию системы, из чего следует вывод, что свойства системы нелинейного спинорного и скалярного полей с минимальной связью формируются той частью гравитационного поля, источником которой является нелинейное спинорное поле (глава 2, § 5).
3. Получены точные статические решения уравнений спинорного поля с нелинейными членами, являющимися произвольными функциями инвариантов: 1) 5 = «фг[> и 2) Р = гфу5» ф, во внешнем гравитационном поле Вселенной Геделя. В обоих случаях рассмотрены конкретные типы нелинейных лагранжианов, приводящих к регулярным и локализованным распределениям плотности энергии спинорного поля.
Во внешнем гравитационном поле Вселенной Геделя рассмотрено спи-норное поле с нелинейными членами в лагранжиане, представляющими собой произвольные функции спинорных инвариантов 3) /у = 52 + Р2 и 4) 1 т = Б2 — Р2. На основе системы спинорных уравнений найден явный вид /у и 1 т как функций пространственного аргумента х. Предложен конкретный вид нелинейных членов в уравнениях спинорного поля, описывающих статические конфигурации с локализованной плотностью энергии и конечной энергией спинорного поля Ef = ^ Тц^—^д с1ж (при интегрировании в единичных пределах по осям у, г). Показано, что в плоском пространстве-времени исходная система нелинейных уравнений спинорного поля не имеет решений с локализованной плотностью энергии. Это означает, что в формировании статических спинорных конфигураций с локализованной плотностью энергии внешнее гравитационное поле Вселенной Геделя играет регулирующую роль (глава 3, § 3).