Взаимодействие с электромагнитным полем в эффективной киральной теории

Одним из основных способов исследования процессов в физике высоких энергий является «просвечивание» объекта изучения частицами, обладающими столь большой энергией, что они способны проникать внутрь и проходить сквозь данный объект. После взаимодействия с изучаемым объектом характер движения пробных частиц изменяется и это позволяет делать предположения о его внутреннем устройстве. В качестве исторического примера, можно вспомнить рентгеновские лучи и опыты Резерфорда с прохождением а-излучения сквозь металлические пластинки. По мере роста предела достижимых энергий пробных частиц, объекты, казавшиеся прежде элементарными и неделимыми, могут обнаруживать внутреннюю структуру. Проведенные в Стэнфорде в 70-х годах эксперименты по глубоконеупругому рассеянию электронов на протонах показали, что и протон, один из основных «кирпичиков» материи, также является составным объектом. Сечение рассеяния вело себя так, как если бы рассеяние происходило на точечных бесструктурных объектах. Позднее Фейнманом была сформулирована партонная модель, в которой адрон рассматривался как совокупность взаимодействующих частиц — «партонов». Партоны могли быть и фермионами и бозонами, причем релятивистское описание адронов в рамках квантовой теории поля с необходимостью требовало рассмотрения состояний с произвольным количеством партонов.

С развитием теории калибровочных полей, партонная модель трансформировалась в квантовую хромодинамику (КХД) — теорию, в которой партоны-фермионы были названы кварками, а переносчики взаимодействия между кварками получили название глюоны. Лагранжиан КХД является частным случаем полей Янга-Миллса с локальной калибровочной «цветовой» группой SUC (3), в которой кварки лежат в фундаментальном, а глюоны в присоединенном представлении калибровочной группы. Особенность этой теории заключается в том, что ни кварки ни глюоны, принципиально не могут наблюдаться в свободном состоянии (явление конфайнмента или «удержание цвета»). Экспериментально могут наблюдаться только составные частицы, волновая функция которых инвариантна по отношению к глобальным преобразованиям из SUC{3). КХД позволила качественно объяснить спектр адронов и сгруппировать их по мультиплетам, в соответствии с кварковым составом. Также существует согласие между теоретическими предсказаниями и экспериментальными данными для процессов рассеяния с рождением струй.

В настоящей момент, однако, в данной теории не существует законченного аналитического метода, позволяющего получать численные результаты в области промежуточных импульсов из первых принципов теории. Кроме того, само явление конфайнмента пока не доказано в рамках КХД и обычно используется как самостоятельное утверждение, непосредственно вытекающее из эксперимента. Причина указанной проблемы хорошо известна: сильная константа связи растет с уменьшением расстояния и обычная теория возмущений перестает работать на масштабе порядка нескольких ферми. А это именно тот масштаб, который, в значительной степени, определяет динамику сильных взаимодействий. Поэтому любой физический процесс, для которого существенна область промежуточных и малых импульсов, требует для своего количественного описания введения каких-либо феноменологических функций или параметров, непосредственно не вытекающих из КХД.

Несмотря на указанную выше сложность, существуют различные косвенные методы получения численных результатов. Одним из способов получения информации о низкоэнергетических свойствах КХД является киральная теория возмущений (КТВ), лагранжиан которой выводится из общих симметрийных соображений. Так как адронный базис является полным, то при вычислении физических величин мы можем использовать не кварк-глюонные степени свободы, а физически-наблюдаемые, т. е. адронные. При этом, строго говоря, необходимо учитывать вклады от всевозможных адронных состояний. В области малых импульсов, однако, можно явно рассматривать только адронные состояния с наименьшей массой, т. е. оказывается, что вклады более тяжелых состояний подавлены и могут учитываться косвенно, через коэффициенты в эффективном лагранжиане.

При учете только двух «ароматов» кварков и и d (Nf = 2) в качестве базисных полей для построения эффективного лагранжиана КТВ берутся пионы. При этом нужно отметить, что с точки зрения киральной симметрии, пионы играют совершенно особую роль. В пределе нулевых масс кварков, лагранжиан КХД обладает точной киральной симметрией. Так как основное состояние КХД спонтанно нарушает аксиальную симметрию, то в силу теоремы Голдстоуна, в спектре теории появляются безмассовые псевдоскалярные голдстоуновские частицы, которые естественным образом отождествляются с пионами. На самом деле, массы легких кварков отличны от нуля и это приводит к появлению конечной массы пионов, хотя и малой по сравнению с характерным адронным масштабом. Возникающий лагранжиан оказывается неперенормируемым и представляет собой (бесконечный) набор слагаемых, удовлетворяющих определенным требованиям киральной симметрии, которые могут быть упорядочены по степеням импульсов (производных) и масс. Таким образом, в каждом порядке КТВ требуется знать только конечное число феноменологических параметров, которые могут быть найдены путем сравнения теоретических предсказаний с экспериментом.

Систематический метод по нахождению низкоэнергетических структур функций Грина был предложен Гассером и Лейтвиллером в [1, 2] (более современный обзор можно найти в [26]). Этот метод продолжает анализ Вайнберга элементов матрицы рассеяния [3] и позволяет находить разложения функций Грина по степеням импульсов и кварковых масс в однопетлевом приближении КТВ. Так как единственными параметрами лагранжиана КХД являются массы кварков и, возникающий вследствие размерной трансмутации новый параметр Лкхд, то коэффициенты разложения функций Грина могут быть, в принципе, выражены через эти параметры. Хотя в этом направлении и существуют некоторые результаты, удовлетворительного количественного описания еще не существует.

Построенный киральный лагранжиан был применен для описания различных низкоэнергетических процессов. В дальнейшем, была прояснена структура и оценены некоторые параметры кирального лагранжиана в двухпетлевом приближении. Это позволило уточнить амплитуды следующих процессов: ж-к —> 7Г7Г [4], 77 —> 7г°7г° [51], 77 —>• 7Г+7г [б], векторный и скалярный формфакторы пиона [7], слабый распад пиона 7 Г —" /г/-7 [8], пропагатор аксиального тока [9]. Кроме того, оказалось возможным обобщить метод построения кирального лагранжиана на нуклонный сектор, что позволило вычислить, например, амплитуду нуклон-пионного рассеяния [5].

Хорошо известно, что вакуум КХД имеет нетривиальную структуру, т. е. основное состояние теории имеет не нулевую плотность энергии (за вычетом бесконечной части, связанной с нулевыми модами осциллятора), как в случае КЭД, а конечную и отрицательную. Это означает, что вакуум КХД не является «пустым», а может содержать с конечной вероятностью произвольное число элементарных кварк-глюонных возбуждений. Непосредственно найти «волновую функцию» вакуума не удается, так как при формировании вакуума существенный вклад вносят длинноволг новые полевые конфигурации. Косвенный способ изучения свойств вакуума КХД состоит в изучении отклика системы на включение внешних параметров. В качестве примера, можно упомянуть недавно открытую цветную сверхпроводимость [10]. Предсказывается, что при очень больших значениях химпотенциала происходит спонтанное нарушение глобальной «цветовой» симметрии, что проявляется в появлении несинглетных по «цвету» вакуумных конденсатов.

• Поэтому представляется интересным рассмотреть задачу, находящуюся на пересечении двух указанных выше подходов, что и будет сделано в Первой главе. В качестве внешнего параметра будет выбрано внешнее (постоянное) магнитное поле.

В этой главе вычислена плотность вакуумной энергии КХД в присутствии магнитного поля в лидирующем приближении КТВ при малых (по сравнению с адронным масштабом) напряженностях поля. Получена формула для зависимости кваркового конденсата от магнитного поля в лидирующем приближении КТВ. Были обобщены низкоэнергетические теоремы КХД на случай постоянного магнитного поля, что позволило получить новое точное соотношение, позволяющее найти глюонный конденсат, если известна плотность вакуумной энергии. В первом приближении КТВ были найдены зависимости для массы и аксиальной константы связи 7Г°-мезона и показано, что соотношение Гелл-Манна — ОаксаРеннера остается справедливым и в этом порядке КТВ. Были также вычислены плотность вакуумной энергии, кварковый и глюонный конденсаты в следующем, двухпетлевом приближении КТВ. По результатам этой главы опубликованы работы [22, 24].

• Во Второй главе рассмотрен вопрос о структурных функциях фотона при малых виртуальностях. С этим вопросом связан один необычный эффект. В КЭД существует хорошо известное наблюдение, что реальные продольные фотоны не испускаются и не поглощаются, и это есть прямое следствие калибровочной инвариантности. Технически это связано с тем, что при умножении амплитуды рассеяния на вектор поляризации продольного фотона возникает множитель, пропорциональный его виртуальности и сечение любого физического процесса с участием реального продольного фотона есть ноль. Однако, это утверждение справедливо только в том случае, когда амплитуда процесса не содержит полюс по виртуальности продольного фотона. Как было показано в [53], в безмассовой КЭД, амплитуда рассеяния продольного фотона на поперечном содержит такой полюс. Аналогичный расчет для КХД приводит к тому же качественному результату (хотя, и количественно отличному). Такое вычисление в пертурбативной КХД, естественно, не приводит к правильному результату, так как в области малых виртуальностей обычная теория возмущений неприменима. В этой области, однако, для вычисления структурных функций продольного фотона можно использовать КТВ. В лидирующем приближении, лагранжиан КТВ совпадает с лагранжианом скалярной электродинамики, где также возникает указанный выше полюс. Во Второй главе вычисляются структурные функции продольного фотона и F[ в лидирующем и следующим за ним приближении. Полученные результаты опубликованы в работе [23].

• Темой Третьей главы является применение в КТВ решеточной регуляризации. Размерная регуляризация широко применяется в КТВ для регуляризации расходящихся интегралов и очень удобна технически. Однако, являясь математическим приемом, с «физической» точки зрения, она кажется довольно искусственной. Кроме того, она смешивает вместе любые степенные и логарифмические расходимости. По этой причине, можно попытаться применить в КТВ решеточную регуляризацию, которая также как и размерная сохраняет киральную инвариантность, но не смешивает расходимости и выглядит более естественной. В Третьей главе приведены примеры вычислений в решеточной регуляризации: найдены степенные поправки к массе и аксиальной константе связи пиона в однопетлевом приближении. Кроме того, в двухпетлевом вычислении расходящейся поправки к массе пиона показано, что явный учет групповой меры интегрирования необходим для сохранения киральной инвариантности. Результаты опубликованы в работе [49].

5 Заключение.

В диссертации получены следующие результаты:

1) В первом приближении КТВ получена формула для зависимости кваркового конденсата от напряженности постоянного магнитного поля в киральном пределе. Показано, что кварковый конденсат растет с увеличением напряженности поля и фазового перехода с восстановлением киральной симметрии не происходит. Найдено выражение для кваркового конденсата в области сверхбольших значений Н.

2) Низкоэнергетические теоремы КХД обобщены на случай постоянного магнитного поля Н. Это позволило вывести новое соотношение, связывающее глюонный конденсат и плотность вакуумной энергии во внешнем магнитном поле. Найдено явное выражение для зависимости глюонного конденсата от Н в первом приближении КТВ, показывающее, что глюонный конденсат уменьшается с ростом Н.

3) В первом приближении КТВ найдены зависимости от Н для массы и аксиальной константы связи 7г°-мезона. Показано, что соотношение Гелл-Манна — Оакса I.

— Реннера, связывающее кварковый конденсат, массу пиона и аксиальную константу связи, в этом порядке остается справедливым.

4) Найдены зависимости плотности вакуумной энергии, кваркового и глюонного конденсатов от напряженности магнитного поля Я в двухпетлевом приближении КТВ. Учет двухпетлевой поправки к глюонному конденсату не приводит к сильному изменению его поведения: обе поправки имеют одинаковый знак. Поведение кваркового конденсата в двухпетлевом приближении существенно зависит от знака феноменологического параметра dT кирального лагранжиана, который определить не удается. Если взять dT > 0, то, начиная с некоторого Н кварковый конденсат начинает уменьшаться, причем это значение Н все еще находится в области применимости КТВ.

5) В рамках киральной теории возмущений вычислены структурные функции продольно-поляризованного фотона. Рассмотрены два типа поляризации пробного (жесткого) фотона: поперечная и продольная. Вычисления проведены в первом и втором порядке приближения КТВ.

6) Для нахождения ультрафиолетовых расходимостей в киральной теории возмущений предложена решеточная схема регуляризации. Достоинство этой схемы в том, что в ней (в отличие от размерной) различаются степенные и логарифмические расходимости. В двухпетлевом приближении вычислены старшие расходящиеся поправки к массе и показано, что для сохранения киральной инвариантности необходимо явно учитывать нетривиальную меру группового интегрирования.

В заключение, я хотел бы выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю Иоффе Б. Л., а также соавторам И. О. Агасяну и А. В. Смилге.