Калибровочные теории поля составляют в настоящее, время фундамент для построенияг теориислабых, электромагниашыхя сильных взаимодействий элементарных частиц.- Теория «ашктрог слабых взаимодействий Вайнбергабалама /» 83]• ,/?б/получила-в последние годы блестящее экспериментальное хготверждение [Ъ1]. На роль теории сильных взаимодействий единственным кандидатом фактически является квантовая хромодинамика, основанная на неабелевой 30(3) калибровочной симметрии г описывающая взаимодействие цветных кварков и глюонов. Основные успехи этих теорий связаны с применением методов теории возмущений/улучшенной с помощью ренормгруппы/ для расчета различных процессов* Так свойство асимптотической свободы квантовой хромодинамики [ъч] * /?07 позволило объяснить скейлинг и отклонение от скейлинга в глубоко неупругом рассеянии лепта-нов на адронах при высоких энергиях /58], [ъъ] .
Однако решение ряда проблем калибровочных теорий поля-конфайнмент кварков, вычисление спектра масс адронов и др. -требует использования методов, выходящих за рамки теории возмущений. Так, например, имеются основания предполагать, что нетривиальная структура вакуума квантовой хромодинамики, не проявляющаяся в теории возмущений, приводит к тому, что между цветными зарядами, помещенными в такой вакуум, возникают струноподобные силы, обеспечивающие невылетание кварков. Таким образом, появляется необходимость изучения одномерных полевых объектов типа струн.
Актуальным является поэтому, исследование двумерных /1+1/ калибровочных теорий поля как с точки зрения развития технических приемов вычислений вне рамок теории возмущений, так и с точки зрения разработки физической картины квазиодномерных процессов, происходящих в реальном четырехмерном пространстве. Классическим примером в этом плане может служить модель Швингера /*78], /?97 /двумерная безмассовая спи-норная электродинамика/, где имеются аналоги конфайнмента кварков и процесса аннигиляции электрона и позитрона в адроны /377, /" 387 •.
Целью диссертации является исследование некоторых не-изучавшихся ранее аспектов двумерных квантово-полевых моделей. В ней рассматриваются следующие вопросы: сравнение результатов суммирования бесконечнх рядов теории возмущений с помощью метода ренормализационной группы с точными решениями в модели Швингера, вычисление эффективного лагранжиана в двумерной электродинамике с постоянным и однородным внешним полем при наличии/а также и в отсутствие/аномального магнитного момента у спинорных частиц, поляризация вакуума двумерной скалярной электродинамики в неоднородном поле двух внешних зарядов. Для решения таких задач в диссертации применяются методы континуальных интегралов и функциональных детерминантов, метод ренормализационной группы, метод регуляризации с помощью обобщенной дзета-функции.
Диссертация содержит четыре главы, заключение, математические приложения и список литературы.
Первая глава носит вводный характер. В ней дается обзор и анализ основных предшествующих работ по двумерным моделям в квантовой теории поля, сделаны выводы о их физическом значении, обосновывается постановка исследуемых в диссертации вопросов.
Во второй главе изучается соответствие ренормгрупповых выражений для полных функций Грина в модели Швингера точным выражениям. Показано, что метод ренормализационной группы правильно восстанавливает только аналитическую по константе связи часть функции Грина. Проведен анализ диаграмм Фейнмана для фермионного пропагатора в порядке до оС3 .
В третьей главе вычислено эффективное действие для квантовой электродинамики с аномальным магнитным моментом. Для регуляризации функциональных детерминантов, возникающих при интегрировании по фермионным полям в континуальном интеграле, применен метод дзета-функции. Достоинство этого метода состоит в том, что не приходится иметь дело с непосредственным вычитанием бесконечных частей, как в других регуляризациях. Исследовано поведение как мнимой, так и реальной части полученного выражения для эффективного действия. Показано, что при наличии аномального магнитного момента у мнимой части действия, описывающей вероятность рождения пар, появляется максимум, а при значении внешнего поля при котором обращается в нуль эффективная масса фермиона — минимум.
Четвертая глава посвящена исследованию поляризации вакуума двумерной скалярной электродинамики в поле двух внешних зарядов. В отличив от задач, рассмотренных в третьей главе, поле двух внешних зарядов не является однородным во всем пространстве. Это вносит существенные технические усложнения. Точное вычисление детерминанта удается провести в безмассовом случае. Показано, что учет квантовых флуктуаций меняет существенным образом поведение классического потенциала взаимодействия двух зарядов. Классическая энергия взаимодействия пропорциональна расстоянию между зарядами. Учет квантовых флуктуаций приводит к тому, что. Таким образом, поляризация вакуума усиливает конфайнмент зарядов. Наличие массы у скалярных частиц, оказывается, не меняет существенно этот результат,.
В заключении формулируются и обсуждаются результаты и выводы настоящего исследования двумерных калибровочных теорий.
В приложения, А — Г вынесены некоторые математические детали вычислений, в частности, в приложении В дан вывод асимптотического разложения обобщенной гамма-функции отсутствующей в известных справочниках по специальным функциям.
ШВА I.
ДВУМЕРНЫЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ МОДЕЛИ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ.
Интерес к двумерным моделям в квантовой теории калибровочных полей возник сразу после появления в свет основополагающих работ Янга, Миллса и Ли [12>], /287 ¦ Как известно, в этих работах указывается на возможность связать сохранение изотопического спина и барионного числа в сильных взаимодействиях с инвариантностью относительно более общей, чем в электродинамике, группы локальных калибровочных преобразований, Трудность, возникающая при этом, состоит в безмассово-сти частиц калибровочных полей. Подобно тому как в электродинамике безмассовость фотона обеспечивается калибровочной инвариантностью, в такой теории промежуточные частицы также должны быть безмассовыми, что противоречит эксперименту.
В 1962 году, Швингер проанализировал возможность появления динамической массы у фотона путем перестройки массового спектра при больших значениях константы связи и предположил, что именно такая ситуация могла бы иметь место в условиях сильного взаимодействия [и], [чъ]. Действительно, в рамках электродинамики, из теоремы Гаусса $ - ф 1= (1.1) следует, что.
Е = # 4 С1−2) есть дальнодействующее поле/то, что речь идет о статическом.
— э поле оказываемся несущественным/. Здесь важно то, что полный заряд отличен от нуля" Однако, если он полностью экранирован вакуумной поляризацией, дальнодействие и, тем самым без-массовость поля оказывается под вопросом. Нерелятивистким аналогом эффекта экранировки может служить экранировка дальнодействующего кулоновского поля в плазме.
В качестве иллюстрации полной экранировки заряда калибровочной теории поля, Швингер предложил/" 787 «/79,7 модель квантовой электродинамики в двумерном пространстве-времени с исчезающей электронной массой/модель Швингера/. В двумерии масса и заряд имеют одну и ту же размерность. Естественным безразмерным параметром модели, следовательно, является отношение ^/е массы фермиона к его заряду. Таким образом, предел 7п-> О соответствует пределу неограниченно растущей константы связи.
Дальнейшему обсуждению в контексте модели Швингера проблема массы калибровочного поля подвергнута в работах Брауна /" 347 и Зумино /867 «• в работе /8б7 подчеркнуто, что если в электродинамике имеется ввиду калибровочная группа без введения дополнительных штюкельберговских скалярных калибровочных полей, то калибровочная инвариантность ведет с необходимостью к нулевой голой массе фотона.
Рассмотрим поляризационный оператор который соответствует сумме всех собственно-энергетических фотонных диаграмм. В калибровочно-инвариантной теории оператор должен иметь поперечную форму:
Соответственно, полный фотонный пропагатор Iдолжен иметь вид: (1.4) где йМ= (1.5) и ^ - параметр калибровки.
Положение полюса функции определяет физическую фотонную массу. В теории возмущений обычной четырехмерной квантовой электродинамики функция П (Кг) регулярна в точке «откуда следует, что физическая масса фотона равна нулю. Ненулевая фотонная масса может возникнуть если/^^^р при Кг->0 • С такой ситуацией имеем дело в двумерной квантовой электродинамике Швингера. Действительно, из-за двумерия/5з7 полный фотонный пропагатор (1.4) модели Швингера.
— * можно получить суммируя бесконечный ряд повторяющихся простых собственно-энергетических диаграмм.
1.6) где линия соответствует свободному пропагатору, а петля — поляризационному оператору.
Отметим, что вычисление последнего выражения по правилам Фейнмана не является непосредственным. Мы должны специально позаботиться о калибровочной инвариантности. Для этой цели можно воспользоваться регуляризацией Паули-Вилларса [ь], [ ЪЪ], определяя.
7Г).
— ГХ (р^кОР)} где М — вспомагательная масса,.
1.9) м р-н/И.
— свободные пропагаторы фермиона, или, что более экономно, использовать процедуру размерной регуляризации /61/ ,/бб7 «определяя.
В последнем случав, если использовать об — параметрические представления/" 5] функций? нам понадобятся формулы/" о]: и о г.
4-ге ?(ар+2?.р) Р • в1.
Ре -/?а)Лр, а р)* рее зг / о* С .4−2 € ¿-(арг+2ё./>).
РР^е = I, а ?
1.12) я*2 «г.
Из формулы (1.8) видно, что функция Л с в модели е*.
Швингера имеет вид ¦ и соответственно.
0(*Л) = - * (1ЛЗ) от что означает наличие ненулевой, равной, массы у фотона в модели. Этот результат обязан нулевой массе фермиона, что как говорилось выше соответствует бесконечно поляризованному вакууму" Мы видим как один динамический фактор может изменить спектральные свойства фотонного пропагатора. В четырех-мерии тоже мыслима подобная ситуация, если связь с векторным током достаточно сильна [и] ¦
Динамическое появление полюса в П (хг) при /<г~0 называется в литературе механизмом Швингера. Энглерт и Браут/497, [ъо] и Джекив и Джонсон/" 63^ пересмотрели заново идею Швингера и показали как может работать этот механизм в случае размерности 4: полюс в П (кг) может возникнуть, когда безмассовой фермион приобретает массу в результате спонтанного нарушения симметрии. /В работе/бЗ7 предположено существование решения ¿-(р) уравнения Швингера-Дайсона для фермионного массового оператора, нарушающее киральную симметрию:{ Механизм Хигеса в калибровочных теориях с нарушенной симметрией также может быть истолкован как специальная-реализация механизма Швингера: отличное от нуля вакуумное среднее канонического скалярного поля, взаимодействующего с векторным бозоном дает полюсной вклад в поляризационный оператор.
Видно, что несмотря на двумерность модели Швингера" она является физически поучительной, а в ходе исторического развития идей калибровочных полей и имеющей определенное эвристическое значение. Оказывается, модель правильно воспроизводит также и ряд особенностей актуальной теории сильного взаимодействия — квантовой хромодинамики /КХД/, таких как асимптотическую свободу, конфайнмент кварков и др. Обратимся более подробно к этому вопросу.
Ренормгрупповым подходом /54/, [ъъ], [ы] предлагается решение КХД в трех этапах: во-первых, рассмотрение предела малых расстояний, во вторых, рассмотрение предела больших расстояний и в третьих — установление связи мезду двумя пределами. В квантовой электродинамике в двумерном пространстве-времени /КЭД2/ такую программу можно выполнить в явном виде /зз/ •.
Рассмотрим двумерную квантовую электродинамику как модель квантовой хромодинамики с одной цветовой /" глюонное поле" / и одной ароматовой /" кварковое поле" У- / степенями свободы. Имеем максвеловские уравнения:
1.14).
1.15) где ЕМ — напряженность поля и дираковское уравнение.
1.16).
Эти уравнения получаются из калибровочно-инвариантной плотности лагранжиана / г-М^ -л — ,.
Х = + (1.17) с и (4)~ ковариантной производной • Здесь и дальше:
1.18) е ^^ ?
1.19).
1.20).
1.21).
• / пока не будем уточнять процедуру квантования, которая как и в обычной четырехмерной электродинамике зависит от выбора специальной калибровки. В нашем обсуждении квантование будет развито вместе с нахождением решений полевых уравнений.
Физические наблюдаемые инвариантны относительно калибровочных преобразований.
Такими калибровочно-инвариантными величинами в рассматриваемой схеме являются напряженность поля ?(*) и «струнный оператор л-' Г*')*Х/>(*? & (1.23).
С последним оператором связывается определенная физическая картина: операторы Т (х^х') построены с помощью операторов ровдения кварк-антикварковых состояний, связанных глюонными линиями и являются важным инструментом в квантовой хромодина-мике на решетке /85.7 •.
Проследим сначала предел малых расстояний и выявление асимптотической свободы в КЭДг>. Из анализа размерностей величин теории /в длине /, в естественной системе У /.
— f (1−24) dim e = /, m = / sH> 1 получаем, что функции uj (P, 7*1) высших поправок в разложении кваркового оператора.
Q (p.p'sej =-, «^ ^ - + (1.25).
— / p-7П где o? —, могут быть представлены в виде.
1.36) — безразмерная функция. Отсюда легко получить уравнение ренормгруппы.
1.27) которое при больших, а дает нам ъ) — ¦ (1.28).
Таким образом, лидирующий член в (1.25) при малых расстояниях *. * есть свободный. Это рассмотрение показывает, что асимптотическая свобода является трвиальным свойством теории с константой связи с положительной массовой размерностью /сверхперенормиру-емые теории/. КЭД2 дает нам пример такой теории. В перенормируемых теориях с безразмерной константой связи вклад в асимптотический предел дают члены каждого порядка теории возмущений и описание свойства асимптотической свободы, как известно, делается более рафинированными методами [ъч] ,/70.7. Обсуждение этих методов в рамках КЭД2 можно найти в работе/Ц/ .
Обратимся к инфракрасному пределу КЭД^. Самая поразительная загадка кварковой модели — отсутствие изолированных кварков предположительно решена гипотезой инфракрасной нестабильности/инфракрасного заточения//" 84/. В терминах ренормгруппы последнее означает при ^ о. Так как последовательной теории сильной связи нет, приходится делать специальные предположения относительно механизма приводящего к конфайнменту кварков. Имеются два типа идей: во-первых, потенциал между кварками, обусловленный глюонным обменом, изменяется в инфракрасной области от потенциала кулоновского типа ^/ь при /V? сх=> к «конфайнинг'Чютенциалу «растущему при больших. /В КХД в двумерном пространстве-времени расчеты показали линейный рост/62^//. Второй круг идей оперирует тем обстоятельством, что сильная связь должна привести к формированию связанных состояний в сильно поляризованном вакууме, один феноменологический способ описания таких связанных состояний состоит в соответствующей модификации лагранжиана при которой полевые уравнения имеют классическое солитонное решение. Другим таким способом является моде льпмбшковп. Мы рассмотрим эти подходы на языке КЭД2. Для этого учтем, что предел, соответствует т^о т. е. в этом пределе мы имеем случай точно решаемой модели Швинге-ра.
Простая структура алгебры матриц Дирака в двумерии дает возможность решить безмассовое уравнение Дирака для произвольного глюонного поля. Будем использовать калибровочное условие Лоренца с^/)*=(). Специфической особенностью двумерия является то обстоятельство, что если векторное поле имеет нулевую дивергенцию, оно может быть записано как ротор от некоторого скалярного поля: в*{*)= е^ъ №, = зГ*') (1.31).
Поэтому запишем.
Д^Х) = - -^Ч ^ (1.32).
Тогда, пользуясь матричным соотношением (1.21) можем записать ' * / решение уравнения (1#30) в виде е ъг*) (1.зз) где.
1−34).
Введем векторные и аксиально-векторные свободные токи.
Они сохраняются и связаны соотношением.
X) (1.36) откуда следует, что ^' удовлетворяет волновому уравнет нию.
У? = * (1.37).
Обсуждение квантованного уравнения Максвела.
Ъ*ГГх) = -е1{х) (1.38) у* /* требует корректного определения ^{х) в терминах взаимодействующего дираковского поля ^(х). Следуя Швингеру/787,, записываем следующее калибровочно-инвариантное определение тока: л т Г 7 С1*39) о.
Тогда можно показать, что.
•им+4/*) (1.40) где ^ - свободный ток квантованного поля, удовлетворяющий уравнению (1.37). Если отсюда определимыми под/ ставим в уравнение (1.38), получим для калибровочно-инвари-антного тока уравнение Клейна — Гордона а."). «г.
Уравнения (1.33,34) и (1.32,37,40,41) показывают, что кварковое и глюонное поля модели Швингера связаны со свободными полями. В работе/" 677 установлено, что релятивисткое ковари антное решение в операторной форме может быть выражено через свободные квантованные поля э {х), , определенные уравнениями и комутационными соотношениями ъг+ О, ?А (х-х'-?)} (1.42а).
У-Гх)=-0) ?>{х-х')^ (1.426) следующим образом.
Г (Х)= (1.43Г) где.
А р/> 1/>х. (х.45).
Обсудим некоторые особенности процедуры квантования. В определении коммутационной функции интеграл не существует при • В этом случае необходима регуляризация инфракрасным параметром :
Таким образом калибровочное поле квантуется при помощи индефинитной метрики. Это ведет к локальным коммутационным соотношениям щ? ^ = 4? х), а %')] = (1.47) с одной конечной константой перенормировки и сглаженным поведением на световом конусе /39/, /74/. /Для простоты выражения ?^ использовано, чтъ/тг // Квантовые поля (1.43) удовлетворяют уравнению Дирака г.
1.30), а также и уравнению & е^ Гх) (1.48).
Поэтому уравнение Максвела (1.38) выполняется только для фиА зических состояний, определенных условием у (х)/<�рид. состоянилУ — О (1*49).
Из квантовой электродинамики в четырехмерном пространстве-времени мы знаем, что физические состояния образуют подпространства, определенного вспомагательным условием [ъ]. Здесь физическое содержание решения (1.43) представлено калибровоч-но-инвариантными наблвдаемыми и относительно которых физическое подпространство инвариантно. «Струнный оператор» вычисляем при помощи уравнений (1.43): т (.,*•) — (1>50) где с.
К = е V уМр т6.
1−51).
Для физических состояний использование условия (1.49) ведет к, х. 71 / ' — ~ д- (г.
— г + -2>/ А /——где (1.53) сг- ' О — свободные заряды, V «Л потенциалы свобод. '. .г ^ ^ ных токов^^,. Подходящим образом размазанный интеграл по сходится к оператору со свойствами/67.7: ' (1.546).
0 (1.54В).
5- .
Рассмотрим сначала физику, связанную с (Гполями/407, /73/. Операторы не зависят от /V /ур.(1.546)/. Они генерируют бесконечномерное пространство вакуума:
Собственные состояния в б сг/% в>= е' оу ' (1.55) образуют орт ©-нормированный базис. Так как/<£^ ФСу^-О, все состояния соответствуют одному и тому же собственному значению. При этом, как следует из (1.54), в пространстве собственных векторов опре I" делены преобразования группы.
Вырождение вакуума свидетельствует о его сильной поляризации, а неинвариантность относительно группы и (*)хиО) — о спонтанном нарушении симметрии. Согласно уравнению (1*51) наблюдаемые зависят только от д=вф-д. Поэтому они инвариантны относительно фазовых преобразований. Мы видим, что в теориях с такими наблюдаемыми вакуумная поляризация, описываемая параметром в влияет сильно на динамическую структуру. Таково положение и в массивной двумерной квантовой электродинамике, которую мы рассмотрим дальше.
Остановимся перед этим на вопросе о конфайнменте кварков в модели Швингера. Все физические состояния получаются здесь в результате действия калибровочно-инвариантных наблюдаемых на вакуум/^ ву. Следовательно, они состоят из свободных частиц массой описываемых полем фГх). Так как т.
Щ №]-[ЪЖЯЪ,&-*'>] = 0 (1.57) то эти частицы бесцветны. Кроме того, их поле происходит из «кварк-антикваркового» выражения в правой стороне уравнения.
Ь" ф (*) — ¦ (1.43).
Отсюда следует, что они представляют собой мезонами. Эти мезоны, получившие в литературе название пФ — мезонов" бесцветны^ мы имеем полный конфайнмент кварков. Чтобы получить динамическое объяснение этого явления можем рассмотреть кварк-антикварковое состояние ТТёУ^)/0^ и вычислить среднее значение энергии.
Таким образом, для разведения кварка и антикварка на бесконечное расстояние друг от друга необходима/линейно растущая/ бесконечная энергия. С другой стороны, «голый11 кварк без его глюонного поля не является, как мы видели, физическим состоянием. Б работе [ЪЪ] показано, что в массивной КЭД2 конфайн-мент появляется таким же образом.
В этом анализе возможностей модели Мвингера важны по крайней мере два обстоятельства. Во-первых, мы имеем теоретико-полевую модель, в которой бесконечно большие «ограничивающие «силы между кварками совместимы с принципами релятивизма. Во вторых, из КХД на решетке мы имеем указания, что конфайнмент кварков в реальном четырехмерном мире получается подобным образом/» 85,7 •.
Поскольку модель Швингера асимптотически свободная, кварки должны наблюдаться как партоны. В работах/37/ «/38/ рассматривается двумерный аналог реакции — адроны» в котором «скалярное фотонное» поле связывается с оператором Корреляционная функция ?<�р/Т5Гх)5(о)/о^> показывает партонное поведение: о1Т5Шо)/°> = г-, ггтл (1.59).
X-¿-О с этим выражением можно связать /377, /387 следующую карти ну процесса пе*£* - адроны". В начальный момент пара кваркантикварк распространяется свободно. Далее поле между ее зарядами вызывает сильную поляризацию вакуума, т#е. возбуждается кварк-антикварковое «море». Затем первоначальные кварк и антикварк «подхватывают» из этого моря партнеров, что приводит к превращению каждого из них в адроны.
Рассмотрим теперь вопрос о связанных состояниях в массивной двумерной модели спинорной квантовой электродинамики с «голой» массой фермиона тп.. Индуцирует ли вакуумная поляризация такие состояния? Чтобы ответить на этот вопрос, с помощью уравнений (1.43в) и (1.50), вычисляем плотность гамильто * ниана.
772: ^Гх)У-Гх): = :2-/*лФУ*) — - (1.60).
• - *.
Эта операция преобразует КЭД£ в каноническую систему с оператором Гамильтона [ъъ], /74/ :
61) о ^ «2.
Важное влияние вакуумной поляризации описывается фазой &. .? / В пределе сильной связиг>772 имеем тяжелые <р — мезоны массой —. Поэтому в первом приближении можно пренебречь многочастичными взаимодействиями и использовать нерелятивисткое приближение /^Оу7. Ограничение двухчастичными взаимодействиями приводит гамильтониан к выражению:
Н (4>=: (1−63) где, , а знаки «* «соответствуют двум характерным фазам /притяжению и отталкиванию соответственно/» С другой стороны, в нерелятивистком приближении число частиц сохраняется и реализуется нерелятивисткая кинематика. Пользуясь нерелятивисткими соотношениями.
ФТафгч]*.
0 > <-> в (К) — ?4"')]= И"'"'), получаем из Н^выражение для нерелятивисткого гамильтониана.
В этом приближении, из гейзенберговских уравнений движения получаем.
— (Яф (1'66) т. е. поля 1 Г и /^являются решениями так называемого нелинейного уравнения Шредингера. В случае Л>о, когда вакуумная поляризация ведет к сильному притяжению ф — мезонов,.
Так как это решение периодическое по времени его можно про-квантовать методами ВКБ или Бора-Зомерфельда. Результат для энергии стационарных состояний дается формулами:
Главное внимание в нашем обзоре мы уделили двумерным полевым моделям и их аспектам наиболее плотно соприкасающимся с реальными проблемами последовательной теории сильного взаимодействия. Этр безмассовая и массивная модели Швингера. Конечно, этим не исчерпывается значение и применение двумерных полевых моделей. Точной решаемостью модели Швингера можно в принципе пользоваться и в других актуальных задачах /см.напр. [ш] /. В главе II мы ставим себе задачу проанализировать в какой связи находятся ренормгру-пповые решения для функций Грина и точные решения в модели Швингера.
Кажется, также, интересным проследить эффекты поляризации вакуума в несколько измененной двумерной модели кван.
1 ^ 3 з ^.
З72 П/*92.
1.68).
V = —г/ Ъ, 72=.
Л «.
— товой электродинамики с феноменологическим паулиевским членом с аномальным моментом. Квантовые эффекты во внешних полях происходящие из-за наличия аномального магнитного момента у фермионов, интенсивно обсуждались в литературе /427 «/~437 «/60/ в связи с возможными астрофизическими применениями. В главе III мы рассматриваем рождение пар и стабильность вакуума в двумерной спинорной электродинамике с аномальным «магнитным» моментом во внешнем однородном поле.
Четвертая глава посвящена изучению поляризации вакуума двумерной скалярной электродинамики в поле двух внешних зарядов. В отличив от главы III, здесь рассматриваемое поле не является однородным во всем пространстве, что вносит существенные технические усложнения и требует иных методов анализа.
ШВА II.
МЕТОД РЕН0РМАЛИЗАЦИ0НН0Й ГРУППЫ В ДВУМЕРНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ ШВЙНГЕРА.
2Л. РЕНОШАЛЙЗАЦИОННАЯ ГРУППА В КВАНТОВОЙ ТЕОРИЙ ПОЛЯ.
Метод ренормализационной группы возник 30 лет назад вслед за созданием аппарата ренормировок в квантовой теории поля. Было замечено, что преобразования мультипликативных ренормировок квантованных полей и констант связи образуют группу, причем наблюдаемые величины /матричные элементы 3 -матрицы/ инвариантны относительно этих преобразований. Выяснилось также /54/, что свойство ренорминвариантности квантовой теории поля налагает определенные ограничения на вид зависимости квантовополевых функций Грина от своих аргументов, что в ряде случаев позволяет явно найти некоторые характеристики этой зависимости, а именно асимптотику функций Грина по импульсам. Эффективно, применение метода ренормгруппы соответствует суммированию лидирующих асимптотик бесконечных подклассов диаграмм Фейнмана.
В настоящее время метод ренормгруппы широко используется как для чисто теоретических изысканий в области квантовой теории поля, например для нахоздения ультрафиолетовых и инфракрасных асимптотик функций Грина в разных моделях, для исследования динамического нарушения симметрии и т. д., так и для изучения высокоэнергетического поведения ряда физических процессов: глубоконеупругих лептон-адронных реакций, электрон-позитронной аннигиляции в адроны и др. Повидимому, наиболее известной формулой, ассоциируемой с термином «ренормализационная группа» является выражение для эффективного заряда в приближении главных логарифмов.
При а<0 /ситуация так называемого «нуль заряда» / имеет нефизический полюс и соответствующая квантовополевая теория/квантовая электродинамика/ оказывается внутренне несогласованной. Если же <2>0 ¿-асимптотическая свобода" /, то с ростом импульса эффективная константа связи? монотонно стремится к нулю, т. е. взаимодействие исчезает на малых расстояниях. Это позволяет использовать асимптотически свободные модели для описания лептон-адронных процессов с большой передачей импульса. Выражение (11.1.1) для эффективного заряда является на сегодняшний день основой большинства приложений ренормгруппы в физике. Но вместе с тем, метод ренормгруппы представляет собой и последовательную схему вычисления поправок к этой формуле. Могут ли высшие поправки в случае нуль-заряда как-то исправить ситуацию, а в случав асимптотической свободы — дать дополнительную полезную информацию о высокоэнергетических асимптотиках, улучшить согласие теории с экспериментом? Эти вопросы продолжают быть объектом обсуждения.
В основе всех квантовополевых приложений ренормгруппы лежат ренормгрупповые уравнения. Изложим коротко некоторые детали ренормгрупповой инвариантности, вывод соответствующих ренормгрупповых уравнений и их анализ [ь] для спинорной квантовой электродинамики.
Ренормализационная группа представляет группу мультипликативных преобразований/учтено тождество Уорда = ^ /.
11.1.3) содержащихся в теории промежуточных величин типа функций Грина 4е^/электронная/,/фотонная/, о (-} /вершинная функция/, зарядов и параметров калибровки, которые не приводят к каким-либо изменениям в выражениях для наблюдаемых эффектов. В частности при преобразованиях из этой группы не меняют своих значений элементы матрицы рассеяния.
Группа преобразований (11.1.2) позволяет получить для функций Грина простые функциональные уравнения, а также и дифференциальные групповые уравнения Ли. Поскольку в следующих параграфах мы будем иметь дело с фотонной ¿-^¿-{х) и электронной (Р) функциями Грина сосредоточимся на рассмотрении групповых уравнений только для этих функций. В соответствии с (11.1.2) в функциях и С? содержатся мультипликативные конечные произвольные постоянные. Если записать (11.1.3) радиационные поправки не даш вклада в /,.
772 то произвольный множитель, например пр^ функции ^А^пере-носится в ее аргумент и задается нормировочным условием: сС = / при Кг=, (ПЛ. 5) где 7 г играет роль квадрата импульса нормировки.
Нормировка на единицу возможна лишь при тех значениях.
2 г, когда обычная /нормированная при А=о / фотонная функция с10 является действительной и положительной. Это связано с тем, что перенормировка функции с (осуществляется той же величиной, которая перенормирует и квадрат заряда и поэтому должна быть действительной и положительной. Условие действительности с{ при в соответствии с формулами второго порядка и при учете высших порядков теории возмущений приводит к условию.
О. (Н.1.6).
С другой стороны, рассмотрение пространственно-подобных импульсов нормировки диктуется тем, что при времени-подобных импульсах амплитуды приобретают абсорбтивные части, которые отличны по своей структуре от затравочных выражений.
Из соображений однородности в импульсном пространстве дальше вытекает, что с{ может быть представлена функцией от безразмерных импульсных переменных причем 7 г< о и.
11.1.8).
Подобным образом можно фиксировать постоянную 2, наложив условие нормировки на одну из функций и или 3, которые с учетом однородности в пространстве импульсов можно записать в виде.
•>(Я*г Я" ' '/ (11.1.9).
Как видно из (11.1.8), квадрат импульса нормировки функционально связан с зарядом оС • Подставляя (II*1*3) в уравнение.
П. 1.10) с учетом уравнения.
V ^ / находим о/ = V. (ПЛ. 11) г.
Полагая здесь и учитывая (11.1.8) получаем для выражение пллз) подставляя которое в (11.1.12) приходим к функциональному уравнению для Ы :
Л Ъ ' ' причем = * ¦ (ПЛЛ5).
Аналогичные рассуждения приводят к следующему функциональному уравнению для двух функций О. и 8, обозначенных общим символом Я: г 5 л2. * Г /.
11.1.16).
Уравнения (II.1.14), (II.1.15), (11.1.16) принимают более компактный вид в обозначениях:
П. 1.17) 4 4 * ' '.
Имеем? ?Л")-у) (IX" 1.18).
5"Г=.
11.1.19).
Последние уравнения накладывают определенные ограничения на функциональный вид функций? и Я, являющиеся отражением некоторой автомодельности функций Грина.
Вместо функциональных уравнений часто оказывается удобным использовать дифференциальные уравнения группы. Эти уравнения получаются следующим образом: дифференцируя (11.1.18) и прологарифмируй, а затем дифференцируя (ПЛ.19), получаем.
• • У.
—, (11.1.20).
ЭАг 5 (х^,*-¦*<!>,).
2л где Ъх.
11.1,22).
11.1.23).
Л' /Г-/.
Структура решений функциональных уравнений группы, показывает, что ограничения на функциональные зависимости функций Грина? и ^ оставляют еще большой произвол функционального типа. Это связано с тем обстоятельством, что в решениях уравнений не отражена динамика. Дополнительная информация может быть почерпнута из теории возмущений. Иными словами, можно фиксировать функциональный произвол из соображений соответствия с теорией возмущений. Этим путем удается улучшить аппроксимационные свойства разложений теории возмущений в случаях, когда члены этих разложений убывают недостаточно быстро. Такая ситуация возникает в ультрафиолетовой и инфракрасной областях импульсных переменных, когда эффективным параметром разложения является произведение постоянной тонкой структуры на большой логарифм.
В третьем параграфе настоящей главы, мы, следуя описанной схеме, получим уравнения ренормгруппы для модели Швингера квантовой электродинамики и найдем их решения, проводя соответствие с выражениями функций О и во втором порядке теории возмущений.
2.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФЕРШ0НН0Г0 ПР0ПАГАТ0РА В ТЕОРИИ возмущений до ог3 .
В целях дальнейшего анализа нам будут полезны выражения для радиационных поправок к фермионной функции Грина в безмассовой модели Швингера. Их вычисление сделано в работе 21 вплоть до ъ калибровке Фейнмана / .
Лагранжиан модели Швингера запишем в виде.
-¿-гУг-^^-^*", (И.2.1) где.
11.2.2).
У = ', у*.
Примем, как и в гл. 1, следующие обозначения: для свободной фермионной функции Грина.
— л.
11.2.3) для свободной фотонной функции Грина.
Полная фермионная функция Грина С^/р) содержит всевозмокные радиационные поправки типа собственной энергии. Так как в двумерном случае выполняется специфическое алгебраическое соотношение.
11.2.5) определение /* -матриц дано формулами (1.19)/, то анализ в случае калибровки Фейнмана приводит к результату, что отличные от нуля радиационные поправки вплоть до 6-ого порядка даются диаграммами.
11.2.6).
11.2.7).
Аналитическое выражение диаграммы четвертого порядка (11.2.6) есть.
• Ш. М).
Поляризационный оператор пвычислен в гл.1/формула (1.8)/:
П"(1 — £(г*- &.
Подстановкой этого выражения в (11.2.8) и интегрированием с помощью исчезающей фотонной массы «выполняющей роль параметра инфракрасного обрезания, получаем.
Радиационные поправки 6-ого порядка даются диаграммой (II.2.7), которая имеет следующее аналитическое выражение:
2ъ)<
11.2*10).
Здесь снова используем выражение для поляризационного оператора (1.8). Вычисления аналогичны, но довольно длинные. В результате получаем г’Ч ,.
Т1 /Т^Х ' (П'2Л1).
Сумма диаграмм.
-+ ^J.
II. 2.12) дает нам соответствующее аналитическое выражение.
II.2"13) откуда, принимая в виду выражения (II.2.9) и (II.2.11) имеем & 4.
II. 2. 14:).
В рамках рассматриваемой точности, это выражение совпадает с полученным в работе/207/см.ур.(11.3.146)/.
2.3. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ РЕНОРМГРУППЫ ДЛЯ ПРОПАГАТОРОВ В МОДЕЛИ ШВИНГЕРА.
Как известно, в квантовой теории поля ряды теории возмущений являются не сходящимися, а, в лучшем случав асимптотическими. Поэтому возникает вопрос о том, насколько адекватно суммирование бесконечных рядов теории возмущений с помощью метода ренормализационной группы. Чтобы в какой-то степени ответить на этот вопрос естественно попытаться применить метод рвнормализационной группы к точно решаемой модели квантовой теории поля и сравнить выражения, получаемые с помощью этого метода с точными. Как нами будет показано, метод рвнормализационной группы позволяет правильно восстанавливать только те члены в высших порядках теории возмущений, в которых сохраняется аналитичность по константе взаимодействия.
Рассмотрение проведем на примере модели Швингера безмассовой квантовой электродинамики/" 20/в двумерном пространствевремени. Полные пропагаторы бозонного и фермионного полей модели Швингера имеют в импульсном представлении вид где О и /чЗ* -лоренц-инвариантные функции. Добавление в лагранжиан модели — у^/й^ е=/5гу<. (1Л7) конечных контрачленов приводит к мультипликативным перенормировкам функций Грина (11.3.1) аналогично тому, как это имеет место в случае спинорной электродинамики в четырехмерном пространстве-времени. Поэтому можно использовать известные аргументы метода ренормализационной группы /см.напр./57"/547″ а также и изложение в п. 2.1/ с дополнительным учетом того обстоятельства, что в двумерной электродинамике константа взаимодействия является размерной величиной, в отличие от случая четырехмерной электродинамики. Поступая таким образом, определим перенормированные пропагаторы.
11.3.3а) *$) • (п-3−2б> что соответствует введению новых функций Ж и 5 вместо О и 5 .
11.3.3а).
П.З.Зб) где.
11.3.4) л~ л* > * л* ' ^ и новых констант и вместои: у" ^sfDC-fj/**), (II.3.5a) *.
-^—. (II.3.56).
Как видно из определения (II.3.3), параметр является импульсом нормировки функций d и 5 т. е. dfojJ^sOj*,*)^ ' • (П. 3.6).
Учитывая, что перенормированные функции (II.3.2), вычисленные при различных значениях параметра Я /например и / отличаются мультипликативным фактором, и определяя этот фактор с помощью условия нормировки (II.3.6), получим следующие функциональные уравнения для лоренц-инвариантных функций d и?: t (II.3.7a).
Sfrjtf’sfaysff.ijfajj-f). (II. 3.76).
Дифференцируя уравнения (II.3.7), получиы дифференциальные уравнения Ли ренормализационной группы.
A dfa) — irgdCw)) в (шз.8а).
II.3.86) где c-vir>JI!!KI.
11.3.9) 7.
Уравнения ренормализационной группы позволяют проводить частичное суммирование ряда теории возмущений по известным первым членам этого ряда. Чтобы увидеть это, вычислим в начале вклад однопетлевых диаграмм Фейнмана, отвечающий второму порядку по константе взаимодействия. Получим /см.(1.6),(1.8), а также п. 2.2/ г.
2) рг с в ^ ^.
П.ВЛОа).
II.3 ЛОб).
Используя (11.3.3), найдем функции и с точностью до второго порядка по.
11.3.11а) 5 г) 4 «.
•?-1) • (П. 3.116) и, соответственно, функции ^ и У" в этом приближении.
11.3.12а).
11.3.126).
Подставляя последние в уравнения (11.3.8) и интегрируя эти уравнения, получаем н, (11.3.13а).
5 2) -у] «еур/'^а -')] • (И. 3.136).
Таким образом, мы нашли функции с (и 5 в приближении, учи-. тывающем все порядки теории возмущений по степеням • Отметим, что, в отличив от четырехмерной электродинамики, в данном случае суммируемые члены не являются логарифмическими. Формулы (11.3.13) справедливы в области пространственно-подобных импульсов -/>, и имеют конечный предел при оо, что отражает факт отсутствия ультрафиолетовых расходимостей в двумерной электродинамике. Переходя к пределу.
2 Л в (II.3.13) и учитывая, что при ЭТОМ а/., осуществим переход от и 4* к и ^ • в результате получим.
0(Р*^У==(^г), (П. 3.14а) г, — ^ • (II. 3.14<3).
4/г.
Таким образом, применение метода ренормализационной группы позволило, исходя из второго порядка теории возмущений (11.3.10) найти пропагаторы в приближении, соответствующем суммированию во всех порядках некоторых членов ряда теории возмущений.
2.4. СРАВНЕНИЕ С ТОЧНЫМИ РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПРОПАГАТОРОВ.
Рассмотрим вопрос о том, насколько результаты, полученные с помощью метода ренормализационной группы, соответствуют точным решениям уравнений для функций Грина.
Если обратиться к точному решению для бозонного пропа-гатора в модели Швингера /787 /см., также (1.4)и (1.13)/ у и.4.1) то, как видно, оно находится в точном соответствии с полученным нами выражением (11.3.14а) для лоренц-инвариантной функции О •.
Что касается фермионного пропагатора, то здесь мы сталкиваемся с иной ситуацией. Точное решение для фермионного пропагатора в калибровкеО было получено Швингером в координатном представлении в следующем виде/": ар=о ' ' г «л где & (*)=—^г — пропагатор свободного фермионного поля. Проинтегрировав по К в (11.4.2), получим ^Мехр^О*^-^)], (11.4.3) где к (гЯГ/)-1Г (П-4−4) К0 — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка/. Переходя в импульсное представление, получаем здесь — функция Бесселя первого порядка/.
В формулах (11.4.3) и (11.4.5) нами оставлена малая мнимая добавка ?€ в силу следующих соображений. Если, как это обычно делается, после интегрирования по К в (II.4.2) взять предел о } то в выражениях для пропагаторов возникает неаналитическая особенность при. Действительно, исполь^ зуя разложение функции Бесселя в (11.4.3) при малых значениях аргумента, получаем где — постоянная Эйлера. Разлагая экспоненту в.
11.4.5) и интегрируя /см.приложение А/, получаем.
Возникновение этой /логарифмической/ особенности по у* обусловлено инфракрасными расходимостями, связанными с двумер-ностью пространства-времени. Как видно из (11.4.7), в импульсном представлении эта особенность проявляется, начиная с четвертого порядка теории возмущений по ¿-и. В соответствии с этим, вклад двухпетлевых диаграмм Фейнмана в собственную энергию фермиона оказывается инфракрасно расходящимся в ка.
— 46 либровке ^ = о. Однако, как видно из вычислений в предыдущем пункте/207 в калибровке вклад двухпетлевых, а также трехпетлевых диаграмм в собственную энергию фермиона является конечным. Поэтому представляется интересным обобщить выражение (11.4.5) на случай с/^о. Формула перехода к произвольной калибровке ^^о для фермионного пропагатора в координатном представлении имеет вид /см.например[ъ] / (11.4.8) где /в двумерном случав/ г е*** р (х) =)—2. (II.4.9).
Переходя в импульсное представление, получаем г Г о где.
Разложение лоренц-инвариантной функции S по степеням имеет вид до 2.
Ь=/ где х> суммирование в (11.4.13) проводится по всем целым положительным решениям уравнения + Рассмотрим несколько нижайших коэффициентов Сп /по поводу вычисления интегралов от функций Бесселя см. приложение А/:
С (в)=- № -<].
1 1 у 46 I 1 У (11.4.14) /- V ^.
— т -¿-у*/.
11.4.15) У-*")*.
Как видно из (11.4.14) и (П. 4.15), в калибровке коэффициент приуи в разложении (11.4.12) становится сингулярным в пределе ?2-* о, что находится в соответствии с (11.4.7). В калибровке этот коэффициент конечен, поэтому рассмотрим следующие коэффициенты.
3 (в]/ = и 4~ в/.
11.4.17).
Таким образом, в разложении точного решения для фермионного пропагатора по степеням ^ инфракрасные расходимости проявляются в коэффициентах С^ при п^^ в случае / и при в случае .
Выражение для фермионного пропагатора, полученное с пог мощью метода ренормализационной группы (11.3.146), является аналитической функцией, так как оно не учитывает инфракрасных особенностей. Как видно из сравнения соответствующих функций, коэффициенты разложения? по степеням, имеющие предел при /т.е. Сг, С^, С3 в случае и С/Л в случав 4 /, в этом пределе совпадают с соответствующими коэффициентами разложения функции (11.3.146) по степей ням уц. Таким образом, ренормгрупповая функция (11.3.146) правильно учитывает лишь ту часть точной функции (XI.4.12), в которой инфракрасная расходимость не проявляется.
Можно заключить, следовательно, что обычный метод ренормализационной группы, основанный на свойстве мультипликативности перенормировок и использующий результаты теории возмущений в ее первых порядках, позволяет восстанавливать только аналитическую по константе взаимодействия часть функции Грина. Для учета членов содержащих неаналитичность, требуется привлечение дополнительных соображений.
Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1], /18/, [1Ъ], /?207, /21/ .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Сформулируем основные результаты и выводы диссертационной работы :
1. Методом ренормализационной группы получены бозонный и фермионный пропагаторы в точно решаемой двумерной модели квантовой электродинамики. Путем сравнения с точными выражениями для этих пропагаторов установлено, что обычный метод ренормализационной группы, основанный на свойстве мультипликативности перенормировок и использующий результаты теории возмущений в ее первых порядках, позволяет восстанавливать только аналитическую по константе взаимодействия часть функции Грина.
2. Вычислены реальная и мнимая части эффективного лагранжиана двумерной квантовой электродинамики с аномальным магнитным моментом фермиона во внешнем однородном электрическом поле. Найдена зависимость плотности энергии вакуума от величины аномального магнитного момента и от внешнего поля. Показано, что вероятность рождения пар имеет максимум, положение которого зависит от аномального момента и величины поля. При критическом значении поля, когда эффективная масса фермиона обращается в нуль, у вероятности рождения пар появляется также минимум. При этом значении поля следует ожидать, по аналогии с моделью Швингера, возникновение массы у фотона.
3. В двумерной скалярной электродинамике получено замкнутое аналитическое выражение для энергии взаимодействия двух внешних статических зарядов в однопетлевом приближении. Это выражение является неаналитическим в нуле по константе связи и не может быть получено методами теории возмущений. Показано, что флуктуации вакуума приводят к усилению взаимодействия /конфайнмента/ зарядов на больших расстояниях. При этом установлено, что лидирующие члены в квантовой поправке к эффективному действию имеют один и тот же вид в безмассовом и массивном случаях.
4. Вычислена вероятность рождения пар неоднородным полем двух внешних зарядов в двумерной массивной скалярной квантовой электродинамике. Показано, что существует пороговое расстояние между зарядами с которого начинается рождение пар. В пределе больших расстояний между зарядами установлено соответствие с известной формулой Швингера.
