Исследование устойчивости нелинейных волн на заряженной границе раздела несмешивающихся жидкостей. 
Модификация теории пограничного слоя

Актуальность темы

Волновое движение на границе раздела несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей неоднократно становилось предметом внимания ученых, уже хотя бы в связи с исследованием неустойчивостей Кельвина-Гельмгольца и Рэлея-Тейлора, Аналитические расчеты в указанном направлении проводились как в линейной, так и в нелинейной постановках.

Исследование неустойчивости Рэлея-Тейлора, интенсивно проводившееся в середине прошлого века в связи с проблемами разработки ядерного оружия [Book D.L., 1986], в последние годы развивается в связи с проблемами инерционного термоядерного синтеза [Clark D.S., Tabak М., 2005; Kartoon D., Oron D., Arazi L., Shwarts D., 2003; Dimonte G.3 2004; Sapir M., Havazelet D., 1985] и сонолюминисценции [Диденкулов И.Н., Селивановский Д. А., Семенов В. Е., Соколов И. В., 1999; Goncharov V.N., Li D., 2005]. Обсуждаемый тип неустойчивости проявляется и на заряженной поверхности мениска жидкости на торце капиллярной трубки в разнообразных устройствах для электродиспергирования жидкости (см., например, обзоры [Григорьев А.И., Ширяева С. О., 1994; Ширяева С. О., Григорьев А. И., Святченко A.A., 1993] и указанную там литературу).

Исследованию неустойчивости Рэлея-Тейлора посвящено в различных постановках значительное число работ [Азаренков H.A., Михайленко В. В., Михайленко B.C., 2002; Алеханов Ю. В., Левушов А. Е., Логвинов A.A., Ломтев С. А., Мешков Е. Е., 2003; Анучина H.H., Волков В. И., Еськов Н. С., Илютина О. С., Козырев О. М., 2004; Жидков И. Г., Мешков Е. Е, Попов В. В., Рогачев В. Г., Толшмяков А. И., 1977; Зайцев М. В., Шлиомис М. И., 1969; Иванов A.A. мл., Поволоцкая Г. В., Переславцев A.A., 2004; Иногамов H.A., Опарин A.M., 1999; Мешков Е. Е., Невмержицкий Н. В., 2002; Мешков Д. Е., Мешков Е. Е., Сиволгин B.C., 2005; Alon, U., Hecht, J., Ofer, D., Shvarts, D., 1995; Baker G.R., Merion D.I., Orzag S.A., 1980; Rayleigh, 1882- Richtmyer R.D., 1960], однако, аналитические исследования нелинейного периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей не проводились. Частичному устранению этого пробела будет уделено место в настоящем исследовании.

На заряженной границе раздела идеальных несмешивающихся несжимаемых жидкостей кроме неустойчивости Рэлея-Тейлора может иметь место и неустойчивость Тонкса-Френкеля: неустойчивость заряженной поверхности жидкости по отношению к отрицательному давлению электрического поля.

Неустойчивость Тонкса-Френкеля лежит в основе явления эрозии электродов интенсивных дуговых разрядов [Аксенов И.И. и др., 1984; Габович М. Д., Хомич В. А., 1987; Кимблин К. В., 1979; Невровский В. А., 1977; Стаханов И. П., Фикс М. М., Филькин Д. Г., 1981; Ширяева С. О., Григорьев O.A., 1993; Эккер Г. К., 1991], а также в основе теории катодных и анодных пятен [Литвинов Е.А. и др., 1985; Лупехин С. М. и др., 1983; Саночкин Ю. В., 1986; Фурсей Г. Н. Воронцов-Вельяминов П.Н., 1967], появление которых связано с плавлением катода (анода) в области больших плотностей токов и движении эмиссионных выступов, на вершины которых замыкаются линии тока, по поверхности электрода. Тем не менее, до сих пор не проведено исследования нелинейного волнового движения на однородно заряженной поверхности раздела несмешивающихся жидкостей, хотя подобная комбинация физических параметров достаточно широко распространена как в естественных геофизических условиях, так и в различных технических и технологических приложениях [Аксенов И.И. и др., 1984; Габович М. Д., Хомич В. А., 1987; Кимблин К. В., 1979; Невровский В. А., 1977; Стаханов И. П., Фикс М. М., Филькин Д. Г., 1981; Ширяева С. О., Григорьев O.A., 1993; Эккер Г. К., 1991]. В данной работе проведено нелинейное исследование, посвященное данному феномену.

Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца это неустойчивость капиллярных волн на границе раздела идеальных несжимаемых жидкостей при движении верхней жидкости параллельно границе раздела. Неустойчивости Кельвина-Гельмгольца посвящены сотни исследований. Она лежит в основе феномена раскачки волн на невозмущенной водной поверхности. Однако не будем останавливаться на ней подробно, поскольку она не является предметом нижеследующего рассмотрения.

Выполненные в последние годы корректные аналитические асимптотические расчеты нелинейного периодического волнового движения на поверхности вязкой жидкости (на границе раздела вязких сред, у твердого дна) связаны с крайне громоздкими даже при использовании компьютерных пакетов аналитических вычислений расчетами [Белоножко Д.Ф., Григорьев А. И., 2003; Longuet-Higgiins M.S., 1953]. Чрезвычайная сложность подобных расчетов резко тормозит темпы и качество исследований многочисленных нелинейных эффектов. В связи с этим возникла идея построения теории пограничного слоя, связанного с волновым движением на границе раздела сред и в слоях жидкости конечной толщины.

Цель работы состояла в проведении нелинейного анализа устойчивости в поле сил тяжести и электрическом поле заряженной границы раздела идеальных несмешивающихся жидкостей. В построении теории пограничного слоя для заряженной границы раздела двух вязких несжимаемых жидкостей, одна из которых является идеальным проводником, а другая — диэлектриком. В построении теории пограничного слоя для поверхностно заряженного слоя вязкой электропроводной жидкости на твердом дне. Для достижения поставленной цели были решены задачи:

— теоретического асимптотического исследования нелинейного волнового движения на заряженной границе раздела двух идеальных несмешивающихся жидкостейтеоретического асимптотического исследования нелинейных закономерностей реализации неустойчивости Рэлея-Тейлора на заряженной границе раздела сред;

— построения теории пограничного слоя на заряженной границе раздела двух вязких несжимаемых жидкостейпостроения теории пограничного слоя на свободной поверхности заряженного слоя вязкой электропроводной жидкости, лежащей на твердом дне.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

— в теоретическом аналитическом асимптотическом анализе проведено исследование нелинейного периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей в четвертом порядке малости;

— в теоретическом аналитическом асимптотическом анализе проведено исследование нелинейной стадии неустойчивости Рэлея-Тейлора на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей, одна из которых проводящая, а другая диэлектрическая.

— предложена модификация теории пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной границе раздела двух вязких несмешивающихся несжимаемых жидкостей, позволяющая проводить расчеты с заранее заданной погрешностью.

— предложена модификация теории пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной поверхности электропроводной вязкой жидкости конечной глубины на твердом дне, позволяющая проводить расчеты с заранее заданной погрешностью.

Научная и практическая ценность работы состоит в том, что в работе модифицирована теория пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной границе раздела двух вязких несмешивающихся несжимаемых жидкостей, теория пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной поверхности электропроводной вязкой жидкости конечной глубины на твердом дне. Результаты данных исследований могут быть использованы в разнообразных академических, технических и технологических приложениях. Результаты нелинейных расчетов неустойчивости Тонкса-Френкеля и Рэлея-Тейлора представляют большой интерес в связи с многочисленными приложениями, перечисленными выше.

На защиту выносятся: 1. Результаты теоретического асимптотического анализа нелинейного периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей в четвертом порядке малости.

2. Результаты нелинейного исследования критических условий реализации неустойчивости границы раздела по отношению к поверхностному заряду.

3. Результаты теоретического асимптотического анализа нелинейной стадии неустойчивости Рэлея-Тейлора на однородно заряженной границе раздела двух несмешивающихся идеальных несжимаемых жидкостей.

4. Модификация теории пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной границе раздела двух вязких несмешивающихся несжимаемых жидкостей.

5. Модификация теории пограничного слоя для расчета периодического капиллярно-гравитационного волнового движения на заряженной поверхности электропроводной вязкой жидкости конечной глубины на твердом дне.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались на:

— VII международной научной конференции «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей» (Санкт-Петербург, 2006 г.);

— XXII научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2006 г.);

— IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.);

— 5, 6-ой Всероссийской конференции «Математика и математическое образование» (Ярославль, 2006, 2008 г.);

— семинарах кафедры.

Структура работы. Диссертация общим объемом 240 страниц, состоит из введения, четырех глав, выводов, пяти приложений и списка литературы.