Локальные времена и их применение в стохастическом и вещественном анализе

I. Обзор предшеотвуншцх результатов и основных результатов диссертации.

Изучение локальных времен случайных процессов является важной задачей теории вероятностей, поскольку знание свойств локального времени доставляет ценную информацию о поведении траекторий исходного процесса. Понятие локального времени было введено П. Леви при изучении броуновских траекторий. Локальные времена для винеровского и более общих марковских процессов исследовались многими авторами: так, значительная часть монографии йто и Маккина посвящена изучению свойств локальных времен диффузионных процессов. Берман и Орей получили первые результаты о локальных временах для немарковских процессов. В последующих работах Бермана, Давыдова, Гемана, Горовица и многих других авторов были подробно изучены свойства локальных времен, отвечающих различным классам гауссовских (и других) случайных процессов, в частности, их связь с поведением траекторий исходного процесса, а понятие локального времени было распространено на случайные поля. Теория локальных времен в настоящее время имеет приложения не только в стохастическом анализе, но и в теории функций.

Следует отметить, что само определение локального времени как семейства плотностей времен пребывания есть понятие теории функций вещественной переменной. Неудивительно, что методы теории функций являются эффективным средством исследования локальных времен, поскольку для широкого класса случайных процессов, (например, для гауссовских процессов) в настоящее время известно достаточно мало результатов, касающихся, например, распределений локальных временисключением являются устойчивые процессы (см. [43) и процесс броуновского движения. Поэтому, например, значительная часть обзорной работы [413 по теории локальных времен посвящена исследования локальных времен методами теории функций.

При изучении локального времени большое значение имеет размерность параметрического множества, на котором задан исходный процесс. Некоторые результаты, однако, удается перенести на случай полей. Так, в работах Давыдова, Гемана и Горовица и других авторов многие результаты были обобщены на случайные поля.

Современное состояние теории локальных времен достаточно подробно отражено в обзорной работе Гемана и Горовица С413. Обзор результатов, касающихся броуновского локального времени, приведен в работе Бородина [33.

Другое направление исследований данной работы восходит к работам Янга [613 и Фелмера [37 3. Так, в работе Янга [613 были построены интегралы Стильтьеса по определенному классу функций неограниченной вариации. В работе Фелмера [373 было показано, что интеграл Мто может быть построен при определенных предположениях для индивидуальной траектории случайного процесса, если последняя удовлетворяет определенным предположениям, характерным для траекторий винеровского процесса. Выяснилось, что теория локальных времен предоставляет удобный математический аппарат для решении такого типа задач.

Исходной работой, на которую опираются исследования, является обзорная статья Гемана и Хоровица [413.

Основная цель данной работы:

— исследования функций и случайных процессов X (э), обладающих непрерывными по временному параметру локальными временами а^.и). При этом систематически изучаются локальное время а^, и) и локальное время вдоль траекторий Г (э)=а (э, Х (э)) .

— построение потраекторных аналогов стохастического исчисления Стратоновича и йто.

Перечислим основные результаты.

1. Показано, что при справедливости «условия (С)», введенного автором, распределение и монотонная перестройка локального времени также являются локальными временами для локальных времен вдоль траекторий. Исследованы свойства функщй и случайных процессов, обладающих условием ©. Исследованы различные случаи задачи возмущения, заключающейся в том, чтобы выяснить, будет ли «возмущенная» функция обладать локальным временем, если исходная функция его имеет. Так, например, найдено локальное время «отраженного» процесса в случае, когда локальное время исходного процесса существует. Удалось найти простые условия, позволяющие найти размерность Хаусдорфа множеств уровня исходной функции со свойством © .

2. Предложено обобщение классической теоремы Лебега о разложении монотонной непрерывной функции на случай произвольной непрерывной функции. В отличие от классического разложения Лебега, данное разложение основано на том наблюдении, что различные функции имеют различную плотность времени пребывания на своих уровнях. Так, для сингулярной функции плотность времени пребывания на почти всех уровнях равна нулю, в то время как для абсолютно непрерывной функции эта плотность почти на всех уровнях отлична от нуля. Показано, что это разложение соответствует разложению Лебега монотонной перестройки исходной функции. Исследованы свойства разложения, интересные с точки зрения теории локальных времен. Выделен класс «вполне регулярных функций», многие структурные характеристики которых могут быть выражены через локальные времена.

3. В случае процесса броуновского движения найдены распределения локального времени вдоль траекторий и получены обобщенные формулы Танаки, Скорохода и йто, содержащие в себе локальное время вдоль траекторий. Получен вариант формулы Ито, в котором стохастический интеграл Ито представляется в виде потраекторного штеграла Лебега. Показано, что почти все траектории винеровского процесса вполне регулярны.

4. Исследована гладкость и поведение на бесконечности по временному параметру траекторий локальных времен гауссовских процессов. Получено ортогональное разложение для локальных времен и локальных времен вдоль траекторий случайных процессов. Найдено представление производной локального времени по пространственной переменной для двупараметрического броуновского листа в виде суммы, содержащей стохастические интегралы по броуновскому листу.

5. Построены потраекторные симметричные интегралы, которые являются «модификацией» интегралов Хеллингера и потраекторным аналогом стохастических интегралов Стратоновича. Для симметричных интегралов доказана формула Ньютона-Лейбница, которая отсутствует для интегралов Хеллингера. Тем самым найден эффективный способ вычисления определенного класса симметричных интегралов. Получены различные обобщения формулы Ньютона-Лейбница для симметричных интегралов. Найдены соотношения, связывающие несобственные симметричные интегралы и интегралы Хеллингера.

6. Определены обобщенные потраекторные интегралы Ито по определенному классу непрерывных функций с конечной (р-вариацией. Доказаны варианты формулы Ито для таких интегралов. Найдены условия, при которых симметричный и обобщенный итовский интегралы совпадают. Показано, что обобщенные интегралы Ито могут быть построены для достаточно широкого класса гауссовских процессов, в частности, для фрактального броуновского движения. Найдена связь между обобщенными итонскими интегралами и фундаментальным решением одного уравнения в частных производных параболического типа. Показано, что для такого вида интегралов при определенных условиях сохраняются некоторые черты классического интеграла ИтО как мартингала. В случае винеровского процесса при определенных условиях обобщенные интегралы Ито совпадают с классическими интегралами Ито.

Полученные результаты расширяют область применения теории локальных времен в теории случайных процессов и теории функций. Они «огут найти применение, например, при исследовании реализаций случайных процессов, зависящих как от одного, так и от нескольких временных параметров, в стохастическом и потраекторном исчислениях Зтратоновича и Ито, при иследовании не дифференцируемых функций ющественной переменной, в финансовой математике и в других областях жания, используюпщх аппарат теории локальных времен и интегралов 'ипа Стильтьеса по функциям неограниченной вариации.

Мто, при иследовании не дифференцируемых функций вещественной переменной, в финансовой математже и в других областях знания, использующих аппарат теории локальных времен и интегралов типа Стильтьеса по функциям неограниченной вариации.

Основные результаты работы докладывались на семинарах по теории вероятностей и математической статистике в МИАН, ПОМИ (ЛОМИ), МГУ, ИППМ, на международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике (1985, 1989), на международных семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей (1995,1998), на Советско-японском симпозиуме по теории вероятностей (19 91), на Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам (1994;1998), на международных школахколлоквиумах памяти Н. В. Ефимова (1996, 1998), на международной конференции по современным проблемам математики и механики, посвященной 1.75-летию П. Л. Чебышева (19 9 6), на 1У Ферганском коллоквиуме, посвященном 75-летию С. Х. Сираждинова (1995) и на других конференциях и семинарах.

По теме диссертации опубликовано 26 работ, список которых приведен в конце работы.

Диссертационная работа содержит 2 32 страниц машинописного текста и состоит из введения и трех глав. Библиография — 8 8 наименований.

1. Анулова С. В., Веретешшков Ю. А., Крылов Н. В., Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Стохастическое исчисление. Итоги науки и техн.-Совр.пробл. матем. Фунд. напр. -ВИНИТИ. — 1989, в.49, с.5−260.

2. Берман СМ. Времена пребывания и экстремумы гауссовских процессов.-Случайные процессы. Выборочные функции и их пересечения.-М.Мир, 19Т8, с.165−203.

3. Бородин А. Н. Броуновское локальное время.- Успехи матем, наук. 1989, т.44, в.2, с.7−48.

4. Бородин А. Н., Ибрагимов И. А. Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий. Труды матем. ин-та им. В. А. Стеклова РАН. т.12 956 СПб.: Наука, 1994, 285 с.

5. Ватанабе С, Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы.- М.: Наука,.1986. 448 с.

6. Рихман И. И. Двупараметрические мартингалы. Успехи матем. наук, 1982, т. XXXVII, в. 6, с." 3−28.

7. Гихман И. И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев.: Наукова думка. 1982 .

8. Давыдов Ю. А., Розин A.A. О временах пребывания для функций и случайных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1978,^XXIII, в. З, с. 650−654 .

9. Дьячков A.M. О существовании интеграла Стилтьеса. ДАН, 1996, т.350, JE2, C. 15 6−1 61 .

10. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории.-М.: Мир.-1968. 394 с. 11. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. -М.: Наука, 1972 .

11. Липцер Р. Ш., Ш1фяев А. Н. Статистика случайных процессов. -М.: Наука,.1976, 696 с.

12. Мацаев В. Й., Соломяк М. З. Об условиях существования интеграла Стильтьеса. Матем. сборник. 1972, т.88, п. 4, с.522−535.

13. Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир. 1973.

14. Натансон М. П. Теория функий вещественной переменной.- М: Наука, 197 4. 480 с.

15. Розовский Б. Л. Эволюционные стохастические системы.- М.: Наука, 1983, 208 с.

16. Сарманов О. В. О максимальном коэффициенте корреляции (симметричный случай) ДАН СССР, 1958, Т.121, 52−55.

17. Сарманов О. В. йследование стационарных марковских процессов методом разложения по собственным функциям Труды матем. института им. Стеклова, т.60, I96I, 238−261,.

18. Стейн М., Вейс Г.

Введение

в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974, 336 с.

19. Tepe хин А. П. Приближение функций ограниченной р-выриации. йзв. вузов. 1965, т.2 (45), с.171−187.

20. Чжун К., Уильяме Р.

Введение

в стохастическое интегрирование. М.: Мир, 1987. 152 с. 2 2. Эллиот Р. Стохастический анализ и его приложения. М.: Мир, 1986. 351 с.

21. Adler R.J. A Holder conditions for the local times of the Brownlan sheet. Indiana Univ Math J., 1980, v.24, N 5, p. 793−798.

22. Berman S.M. Local times and sample fimctions properties of stationary Gaussian processes. Trans. Amer. Math. Soc, 1969, V.137, p.277−299.

23. Berman S.M. Harmonic analisis of local times and sample functions of Gaussian processes. Trans. Amer. Math. Soc, 1969, V. I43, p.269−281.

24. Berman S.M. Gaussian processes with stationary increments: local times and sample functions properties. Ann. Math. Statist, 1970, Y. 41, p-1260−1272.

25. Berman S.M. Gaussian sample functions: uniform dimension and Holder conditions nowhere. Nagoya Math. J., 1972, v.46, p.63−8 6.

26. Berman S.M. Local nondetermlnlzm and local times of Gaussian processes. Bull. Amer. Math. Soc, 1973, v.79, N2, p.475−477.

27. Berman S.M. High level sojourns for strongly dependent Gaussian processes, — Z.WahPsch.verw.Gebiete, B.50, 1979, s.233−236.

28. Berman S.M. Local times of stochastic processes with positive definite densities.-Stochastic Process andAppl., 1982, v.12,N1, p. 1−26.

29. Berman S.M. Nonlncrease almost everywhere of certain measurable function with applications to stochastic processes. -Proc. Amer. Math. Soc, 1983, v.88, N1, p.141−144.

30. Berman S.M. Joint continuity of the local times of Markov processes.-Z.Warcheinlichkeitzth.eorie verw. Gebiete, 1985, B.29, s.37−4 6.

31. Cairoly R., Walsh J.B. Stochastic integral in the plane. -Acta Math., 1975, v.134, p. 111−183.

32. Davies L., Local Holder conditions for the local times of certain stationary Gaussian processes. Ann. of Prohab., 1976, Y, 4, p.277−298 .

33. Decreusefond L., Ustunel A.S. Appication du calcul des variations stochastiques au mouvement brownien fractionnaire. C. R.Acad. Sci. 1996. Paris, t.321, ser.1, p.1605−1608.

34. Dobrusin R.L., Major P. Non-central limit theorems for non-linear fimctionals of Gaussian fields, Z.Wahrsch. Verw. Gebiete, B.50, 1979, s.27−52.

35. Pollmer H. Calcul d’lto sans probabilities. Lect Notes. Math., 1981, 850, p.143−150.

36. Pollmer H., Protter P., Shiryayev A.N. Quadratic covariation and an extension of Ito*s foraiula. Bernoulli, 1995, v.1,p.149−169.

37. Geman D. A note on the continuity of local times. Proc. Amer. Math. Soc, 1976, v.67, N4, p.321−326.

38. Geman D., Horowitz J. Occupation times for smooth stationary processes.- Ann. Probab., 1973, N.1, p. 131−137.

39. Geman D., Horowitz J. Occupation densities. Ann. Probab., 1980, V. 8, p. 1−67.

40. Geman D., Horowitz J. Smooth perturbation of a function with a smooth local time.- Trans. Amer. Math. Soc., 1981 v.267, N 2, p.517−530.

41. Jeulin T., Yor M. Sur les distribution de certaines fonctionneles du mouvement brownien. Seminaire de Probab. XV, 1979/80. Lect. Notes in Math., 1981. v.850., p.210−226.

42. Karamata J. Sur une mode de croiss ance reguliere. Theoremes fondamentaux. Bull. Soc. math. Prance, 61 (1933), 55−62.

43. Kesten H. An iterated logarithm law for local time. Duke Math. J., 1965, V.3 2, N3, p.447−456.

44. Kondurar V. Sur l’integrale de Stieltjes. Recueil Math., 1937, V.2, p.381−366.

45. Kono N., Holder conditions for the local times of certain Gaussian processes with stationary increments. Proc. Japan Acad., 53-A, 1977, 84−87.

46. Kono N., Tail probabilities for positive random variables satysfying some moment conditions. Proc. Japan Acad., 53-A, 1977, 64−67.

47. Kono N. On self-affine functions. Japan Journal of Applied Mathematics. 1986, v.3, n.2, 259−269.

48. Kono N. On self-affine functions.11.-Japan Journal of Applied Mathematics. 1988, v.5, n.3, 441−454.

49. Imkeller P. Stochastic analysis and local times for (N, d)-Wiener process. Ann. Inst. Henri poincare, v.20, n.1,p.75−101.228.

50. Lancaster H.O. The structure of biyariate distribution, Ann.Math. Statist, y.29, 1958, p.716−736.

51. Marcus M.B., Rosen J. P-yariation of the local times of symmetric stable processes and of Gaussian processes with stationary increments. Ann. Probab., 1992, y.20, p.1685−1713.

52. Meyer P.A. Un course sur les integrales stochastiques. -Sem. de Probabilities X. Lect. Notes in Math., Berlin and New York.: 1976, y. 511.

53. Peano G. Sur une courle, qui remplit toute une aire plane.-Math. Ann. 1890, y.36, 157−160.

54. Qi-Man Shao. P-yariation of Gaussian processes with stationary increments. Studia Sclent. Math. Hungarica, 1996, y.31, p. 237−247.

55. Perkins E. On the iterated logarithm law for local time. -Proc. Amer. Math. Soc, 1981, y.81, N3, p.470−472.

56. Perkins E. Local time is a semi-martingale. Z. Wahrcheinlich-keitstheor. yerw. Geb, 1982, B.60, H. I, s. 79−117 .

57. Taggu M.S. Conyergens of integrated processes of arbitrary Hemute rank, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, B, 50, 1979, s.53−84.

58. Walsh J.B. The local times of the Brownian sheet. -Asterisque, 1978, N 52−54, p. 47−61.

59. Young L.C. An inequality of the Holder type, connected with StJieltdesintegration. Acta Mathem. y. 67, p. 251−282 .Публикации по теме диссертации.

60. Насьфов Ф. С. О локальных временах и временах пребывания гауссовских процессов.- В сб.: Преодоление сложности в задачах организации и управления. Уфа, 1983, с. 151−163.

61. Насыров Ф. С. О законе повторного логарифма для локальных времен для одного класса гауссовских процессов.- Мат. заметки, 1984, т.35, в. 6, с. 905−908.

62. Насыров Ф. С. О траекториях локальных времен для случайных процессов.- Уфа. 1985. Н е Рукопись’представлена Уфим. авиац. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 13 февраля 1985, Ж17 0−85 Деп.

63. Насыров Ф. С. Об ортогональном разложении локальных времен.- Уфа, 1985. 25 сРукопись представлена Уфим. авиац. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 2 3 мая 1985, 3593−85 Деп.

64. Насыров Ф. С. Вычисление производной локального времени броуновского жста по пространственной переменной.- Четвертая международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Тез. докл, 1985, т.2, с. 244−246.

65. Насыров Ф. С. О производной локального времени для броуновского жста по пространственной переменной. Теория вероятн. и ее примен. 1987, т.32, в.4, с.712−721.

66. Насыров Ф. С. Об одном интегральном уравнении для распределения интегральных функционалов от процессов снезависимыми приращениями. IV Уральская региональная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их.