Полуинварианты и пространства модулей представлений колчанов

История вопроса.

Данная диссертация посвящена изучению представлений, полуинвариантов и пространств модулей представлений колчанов методами геометрической теории инвариантов.

Введём необходимые обозначения и напомним основные определения. Колчан ф — это ориентированный граф, определяемый двумя конечными множествами фо (множество «вершин») и (?1 (множество «стрелок») и двумя отображениями /г.,?: —> которые каждой стрелке сопоставляют её начало и конец. Представление ]? колчана (3 — это набор (возможно, бесконечномерных) векторных пространств И^, г 6 о, над некоторым фиксированным полем к, а также линейных отображений ¥-а: —> а? Вектором размерностей, а 6 представления IV называется вектор с компонентами аг = сИт^ И^. Морфизм ф: V/ —> и представлений — это набор линейных отображений фг: И^ —> Щ, ъ € Яо, удовлетворяющих условиям фнаУ^а = Uaфta ДЛЯ ВСвХ, а 6 МорфиЗМ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда все отображения суть изоморфизмы.

При фиксированных пространствах И/- конечных размерностей с^ классы изоморфизма представлений колчана ф с вектором размерностей онаходятся во взаимно однозначном соответствии с орбитами группы.

Ы (а) := П СЬ (Щ гбфо в пространстве представлений 0 Нот (И^а,.

Это действие определяется как (д ¦ Ш) а = днаУ^аЯы > гДе 9 = Ыгед0 € СЬ (а). Отметим, что однопараметрическая подгруппа Д =. ^Е)} действует на Яер ((5, а) тривиально.

Колчаны предоставляют удобную интерпретацию многих классических задач линейной алгебры. Рассмотрим, к примеру, колчан с двумя вершинами, д петлями в первой вершине и к стрелками, ведущими из первой вершины во вторую. Нетрудно видеть, что задача классификации представлений этого колчана с вектором размерностей (га, 1) равносильна задаче о классификации наборов из q линейных операторов и к линейных функций на т-мерном векторном пространстве.

Возникает естественный вопрос: для всех ли колчанов возможна полная классификация представлений? Нетрудно понять, что далеко не для всех. В самом деле, для колчана ?2,0 она была бы равносильна классификации пар линейных операторов. Эта проблема является «дикой». Более того, доказано, что теория представлений колчана ?2,0 является неразрешимойстрогую формулировку и доказательство этого результата можно найти в работах [4] и [11]. Оказывается, что все колчаны, кроме конечного списка, также являются «дикими»: в категорию их представлений можно построить вложение категории представлений колчана ½, оОставшиеся колчаны делятся на два класса. К первому относятся колчаны, у которых с точностью до изоморфизма есть лишь конечное число неразложимых представлений. Они называются колчанами конечного типа и исчерпываются диаграммами Дынкина типов А, И и Е с произвольной ориентацией рёбер. Колчаны, не являющиеся ни конечными, ни дикими, называются ручными. Подлежащий граф такого колчана — это расширенная диаграмма Дынкина одного из типов А, Б и Е. Колчаны конечного типа были впервые описаны П. Габриэлем в работе [20]. Список ручных колчанов был независимо получен П. Донованом и М. Р. Фряйшлихом [18] и JI.A. Назаровой [6].

Поскольку проблема классификации представлений колчана Q с вектором размерностей, а сводится к изучению действия редуктивной группы GL (o-) на аффинном пространстве Rep (Q, а), кажется естественным воспользоваться методами теории инвариантов. Для этого необходимо научиться находить инварианты для действия GL (a): Rep (Q. а). Важные результаты были получены К. Прочези [30] и Ю. П. Размысловым [8], которые описали соответственно порождающие алгебры инвариантов для действия группы GLn на наборах операторов в n-мерном векторном пространстве и соотношения между ними. Для произвольного колчана имеется следующая теорема, которую также принято называть теоремой Прочези-Размыслова. Впервые она была доказана для алгебраически замкнутого поля JI. Jle Брюном и К. Прочези [26, Theorem 3.1]. Её обобщения для произвольных бесконечных полей были получены С. Донки-ным [17] и А. Н. Зубковым [3].

Теорема. Для произвольного колчана Q и вектора размерностей, а алгебра k[Rep (Q, порождена следами ориентированных циклов длины не болъше av)2. При этом все соотношения между образующими являются следствиями теоремы Гамильтона-Кэли.

Точки категорного фактора M (Q, а) : — Rep (Q, a)// GL (a) находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутыми СЦа)-орбитами. Нетрудно показать [5, теорема II.2.3], что это в точности орбиты полупростых представлений колчана Q с вектором размерностей а. Более того, единственной замкнутой орбитой в замыкании орбиты представления колчана является орбита прямой суммы композиционных факторов его фильтрации Жордана-Гёльдера.

Из теоремы Прочези-Размыслова следует, что для колчанов без ориентированных циклов непостоянных инвариантов нет, то есть категорный фактор есть точка. С другой стороны, можно непосредственно убедиться, что у такого колчана имеется лишь одно а-мерное полупростое представление, в котором все отображения вдоль стрелок нулевые. С увеличением числа ориентированных циклов число порождающих алгебры инвариантов и соотношений между ними растёт очень быстро, так что уже для колчанов Z^/c, чрезвычайной сложно использовать категорный фактор как средство классификации.

Это заставляет искать другие, более эффективные способы классификации орбит. Одним из них является переход к открытому подмножеству, на котором алгебра инвариантов будет богаче. Другим — рассмотрение расширенного пространства представлений, когда удаётся добиться большей точности за счёт добавления новой информации. Ярким представителем первого подхода является конструкция Кингавторой же вырос в теорию оснащённых представлений.

Конструкция Кинга является частным случаем конструкции Мамфорда из геометрической теории инвариантов. Её идея состоит в том, чтобы рассмотреть тривиальное линейное расслоение над Rep (Q, a), подкрученное на характер х группы GL (a), а затем ограничиться рассмотрением открытого подмножества в Rep (Q. а), состоящего из х-полустабильных представлений.

Отметим, что характеры группы GL (a) исчерпываются следующими: хе (д) = П det (^ veQo для различных в 6 ZQo. Вектор 9 = (&i)ieQ0 задаёт отображение.

Rep (Q) -" Z, dim Miг.

Это отображение также называют характером, хотя в данном случае речь идёт не о характере группы, а о характере абелевой категории представлений колчана Q. Для удобства читателя напомним определение 0-(полу)-стабильности.

Определение. Представление M е Rep (Q, а) назовём в-полустабильным (соответственно, в-стабильным), если 9{N) ^ 0 (соответственно, 9(N) > 0) для всякого собственного ненулевого подпредставления N С M.

А.Д. Кинг показал [24, Proposition 3.1], что^{-полустабильность} (соответственно, ^-стабильность) точки 2 G Rep (Q, a), отвечающей представлению W колчана Q, равносильна #-полустабильности (соответственно, ^-стабильности) представления W.

Далее, А. Д. Кинг доказал [24, Proposition 5.2], что для множества #-полуста-бильных представлений фактормногообразие Ms0s{Q, a) является грубым многообразием модулей. Кроме того, для неделимого вектора размерностей, а он установил [24, Proposition 5.3], что фактор M#(Q, а) := Rep$(Q, a)// GL (a) является тонким многообразием модулей^{-стабильных} представлений.

Этот подход был обобщён и переформулирован А. Н. Рудаковым в работе [32]. Рассмотрим два характера в. к: Z? ->• Z, причём потребуем, чтобы к (а) ^ 0 для каждого вектора, а с неотрицательными компонентами. Определим наклон M: Rep (Q){0} Q, положив /л (Х) = M (dimX) = ^jfg.

Определение. Представление X назовём? х-полустабильным (соответственно, х-стабильным), если n (Y) ^ {?(X) (соответственно, [?(Y) < [?(X)) для каждого собственного ненулевого подпредставления Y представления X.

Обозначим через Reps^(Q, a) (соответственно, Reps (Q, a)) множество i-полустабильных (соответственно, ¿-¿—стабильных) представлений колчана Q с вектором размерностей а. Оказывается, что для каждого вектора размерностей, а найдётся характер для которого Rep*s (Q, a) = Rep|s (Q, a) и Rep® (Q, а) = Rep|(Q, o-). Нетрудно убедиться, что в качестве? можно взять характер, значение которого на векторе размерностей ?3 равно ц (а)к (0) — 9{0).

Для того, чтобы использовать конструкцию Кинга, необходимо уметь вычислять полуинварианты представлений колчанов весов, кратных данному. Эта задача является частным случаем более общей проблемы, связанной с нахождением алгебры полуинвариантов.

На пространстве Rep (Q, а) действует группа SL (a) = ILeQo 8Ь (?г). Алгебра регулярных функций на Rep (Q, а), инвариантных относительно этого действия, как линейное пространство порождена полуинвариантами, то есть собственными векторами для действия GL{a). Поэтому её обычно называют алгеброй полуинвариантов.

На данный момент для алгебры полуинвариантов нет аналога теоремы Прочези-Размыслова. Имеются лишь описания порождающих алгебры k[Rep (Q, как векторного пространствасм. работы X. Дерксена и.

Дж. Веймана [15], М. Домокоса и А. Н. Зубкова [16], а также М. Ван дер Берга и А. Схофилда [33]. В диссертации мы будем пользоваться результатами работы [16].

Теперь обратимся к теории оснащённых представлений.

Оснащённые представления впервые появились в работе [29] в качестве одного из шагов в построении многообразий Накаджимы. Идея состоит в следующем. Пусть Q — некоторый колчан, а — вектор размерностей. Зафиксируем дополнительный вектор размерностей С и рассмотрим расширенное пространство представлений Rep (Q, o-, C) Rep (Q, a) © ®-ге<20 Нот^к" ', к**1). Элементы Rep (Q. а, С) называются оснащёнными представлениями колчана Q. Если дополнительно зафиксировать набор k-векторных пространств Уг размерностей dim К = Сг, то элементы Rep (Q, сх, С) можно понимать как пары (М, /), где М — представление колчана Q с вектором размерностей а, а / = (/г: Мг —> Vl) ieQa — набор линейных отображений (который также можно рассматривать как отображение (Уо~ГРаДУиРОванных векторных пространств).

На пространстве Rep (Q, а, () следующим образом действует группа GL (a):

9 ¦ (М, (/г)г€<�Зо) = {9-М, {Jгдг 1))гед0.

Особое место занимают стабильные оснащённые представления. Напомним, что пара (М, /) называется стабильной, если не существует ненулевого собственного подпредставления N С М, для которого Иг С кег/г для всех г? фо. Подмножество в Б1ер ((5, а, (), состоящее из стабильных представлений, обозначают через Ыер5((3, а, О.

Оснащённые представления допускают ещё одну интерпретацию, которая позволяет связать только что введённое понятие стабильности с 6-стабильностью в смысле Кинга.

Рассмотрим колчан С^ с множеством вершин (^д = (5ои{оо|, стрелками которого являются стрелки колчана С} и ещё по (г стрелок из каждой вершины г Е ¿-¿-о в оо. Обозначим новые стрелки через /г (?, где г указывает на начало стрелки, а д 6 {1,., ?*}¦ Кроме того, мы расширим вектор размерностей, а до а^ € положив а* = осг, г = 1,., п, и а^ = 1. Можно показать, что пространства Кер (<5,0!, () и могут быть СЬ (а)-эквивариантно отождествлены.

Обозначим через Керв ((5<', а^) подмножество в Ыер¹', ог^), отвечающее при этом отождествлении подмножеству Керв ((5, а, С) С Кер ((У, а, С).

Рассмотрим наклон ¡-л, значение которого на векторе размерностей ?3 6 равно = ^.

М. Райнеке показал [31, Proposition 3.3], что Reps (Q^, = Rep* (Q^, а^). Отсюда следует, что существует геометрический фактор A4S (Q. а,() := Reps (Q, а, C)// GL (a). Более того, если колчан Q не содержит ориентированных циклов, то он является проективным многообразием. Для колчанов без ориентированных циклов М. Райнеке удалось в работе [31] реализовать пространство модулей оснащённых представлений как грассманиан подпредставлений в некотором инъективном представлении.

В работе [19] представлен другой подход к изучению пространств модулей оснащённых представлений колчанов. Напомним, что, будучи фактором Мам-форда, они допускают расслоение тг5: MS{Q, се, С) M (Q, а, С) := Reps (Q, а, ()// GL (a).

Если Q — колчан без ориентированных циклов, то Л4(Q, а, () — {pt}. В противном случае геометрию многообразия MS (Q, a, Q можно изучать, рассматривая отдельные слои отображения 7rs. Й. Энгель и М. Райнеке получили следующий результат.

Теорема. [19, Theorem 4.1] В случае алгебраически замкнутого поля к для каждого у € M.{Q, a, Q найдётся колчан Q и пара векторов размерностей а, С € о> для которых 7Г" 1 (у) = 7т71(0) — где через обозначена естественная проекция MS (Q, а, () —> M (Q, а, С).

Аналоги конструкции Райнеке можно рассматривать и в более общей ситуации. Пусть, А — некоторая конечномерная алгебра, г — её радикал Джекобсо-на, а п — натуральное число. Пространство представлений Яер (Л, п) допускает стратификацию.

Лер (Д n) = [J Rep (>4, n, Т),.

Т — полупростой Л-модуль dim Т^п где.

Rep (A, n, Т) := {М в Rep (v4, п) M/vM ^ Т}. Так как проективная накрывающая Р (М) модуля М совпадает с Р (М/гМ), имеем.

Rep{А, п, Т) = {М е Rep (An) | Р{М) ^ Р (Т)}. Таким образом, вместо Л-модулей размерности п с заданным фактором по радикалу Т можно рассматривать подмодули в Р (Т), содержащиеся в хР. размерности dim Р (Т) — п, то есть ядра соответствующих проективных накрытий. Однако никакого взаимно однозначного соответствия здесь как правило нет, так как проективное накрытие модуля (имеется в виду гомоморфизм) определено не однозначно, а с точностью до автоморфизма проективной накрывающей. Тем не менее, если нас интересуют не сами модули, а их классы изомор физма, то соответствие имеет место. Обозначим через Grn (Р (Т)) грассмани-ан (dim Р (Т) — п)-мерных подмодулей в Р (Т), содержащихся в г Р. К. Бон-гартц и Б. Хьюзген-Циммерман доказали [13, Proposition С], что сопоставление Autа (Р (Т)) ¦ С GLn •M задаёт биекцию.

А^^(Р (Т))-инвариантные I I GL^-инвариантные подмножества в Grn (Р (Т)) j | подмножества в Rep (/1, п, Т) переводящую открытые и замкнутые по Зарисскому подмножества в открытые и замкнутые соответственно, сохраняющую замыкания, связность, неприводимость и типы особенностей.

Пусть для простоты, А — приведённая расщепимая алгебра, то есть, А = kQ/(p) для некоторого колчана Q и набора соотношений р. Пусть, далее, а — некоторый вектор размерностей. По аналогии с тем, что было проделано выше,.

-—А определяются многообразия Rep (A, а, Т) и GrQ (Р (Т)). Можно показать, что имеет место более тонкая биекция.

Аи^(Р (Т))-инвариантные I I GL^-инвариантные I подмножества в GrQ (Р (Т)) | | подмножества в Яер (Д а, Т) (обладающая теми же самыми свойствами.

Пусть Q — колчан без ориентированных циклов, а, а и (— два вектора размерностей. Рассмотрим алгебру путей kQ^ расширенного колчана Q*> и простой kQ^-модуль Sqq. Тогда эквивалентность категорий Rep (kQ9 и Rep (Q9 отождествляет Rep (kQc ,.

Рассматриваемые многообразия можно подвергнуть и дальнейшему разбиению. Подробную информацию об иерархии разбиений пространства представлений и отвечающих им грассманианов можно найти в работе [23]. Страты самого нижнего уровня параметризуются скелетами. Скелеты модулей над конечномерными алгебрами впервые рассматривались в работе К. Бонгартца и Б. Хьюсген-Циммерманн [21], хотя своё название они получили в дальнейших работах Б. Хьюсген-Циммерманн (см. [22], [23]). Кроме того, М. Райнеке, хотя и не употреблял термина «скелет», рассматривал аналогичные объекты для представлений колчанов в работе [19].

Понятие скелета можно определить следующим образом. Пусть М — некоторый Л-модуль, а д: Р -" М — его проективное накрытие. Рассмотрим разложение Р = фг€д0 тгьгРг, где Рг — попарно неизоморфные неразложимые проективные А-модули. Так как каждый из Рг есть прямое слагаемое алгебры путей к<3, в нём есть базис, состоящий из образов путей в колчане ф. Выберем некоторый набор Е представителей классов вычетов элементов этого базиса в алгебре к (3-Нетрудно показать, что базис и набор Е могут быть выбраны таким образом, чтобы для каждого пути т и стрелки, а Е выполнялась импликация ат 6 Е т 6 Е.

Очевидно, что Е — Цє0 Ег, где Ег — базис Рг как прямого слагаемого алгебры А. Нам удобно будет ввести в разложение для Р дополнительные верхние индексы, переписав его в виде Р = 0гедо г Рг. Обозначим, кроме того, через ЕР формальное дизъюнктное объединение ||г€<2о ЦГ=1 ^г^' ОчевиДн°! чт0.

Ер задаёт некоторый базис модуля Р. Можно доказать, что в Ер найдётся подмножество 6, для которого д: span{(c)} —> М является изоморфизмом. Такое подмножество называется скелетом модуля М. Отметим, что у одного модуля может быть несколько скелетов. Вектором размерностей скелета 6 можно назвать вектор размерностей любого модуля с этим скелетом.

Из определения ясно, что все модули с данным скелетом имеют не только один и тот же вектор размерностей, но и одно и то же проективное накрытие (или, что-то же самое, один и тот же фактор по радикалу). Иными словами, каждому скелету отвечает некоторый полупростой Л-модуль Т. Обозначим через Ska (T) множество всех скелетов с вектором размерностей а, которым отвечает Т. Тогда.

Rep (Aa, T)= (J Яер (Л.б),.

SeSka (T) где Rep (v4, 6) = {М? Rep (А) & является скелетом М}. Нетрудно убедиться, что каждое из подмножеств Rep (A, 6) открыто в Rep (A, а, Т).

Б. Хьюсген-Циммерманн в работах [22] и [23] показала, что все Rep (А, 6) являются аффинными многообразиямиболее того, она указала явный способ задания их уравнениями в аффинном пространстве. В свою очередь, М. Рай-неке с помощью этих множеств построил [19, Section 7] клеточное разбиение пространства модулей MS (Q, а, С).

Основные результаты диссертации.

1. Э. Б. Винберг, В. Л. Попов, Теория инвариантов, Итоги науки и техн. Сер. соврем, пробл. мат. Фундам. направл. — Т. 55. — ВИНИТИ, 1989, 137−309.

2. Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко, Конечномерные алгебры, Издательство при Киевском государственном университете издательского объединения «Вища Школа», Киев, 1960, 192 стр

3. А. Н. Зубков, Теорема Размыслова-Прочези для представлений колчанов, Фундам. прикл. матем., 7:2, 2001, 387−421.

4. А. И. Кокорин, В. И. Мартьянов, Универсальные расширенные теории, МНТ сб. Алгебра, Иркутск, 1973, 107−113.

5. X. Крафт, Геометрические методы в теории инвариантов, М. «Мир», 1987.

6. JI. А. Назарова, Представления колчанов бесконечного типа, Изв. АН СССР. Сер. мат., 37, 1973, 752−791.

7. В. Л. Попов, Две орбиты: когда одна лежит в замыкании другой?, Многомерная алгебраическая геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти члена-корреспондента РАН В. А. Исковских, Тр. МИАН, 264, 2009, 152−164.

8. Ю. П. Размыслов, Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль, Изв. АН СССР. Сер. матем., 38:4, 1974, 723−756.

9. I.V. Arzhantsev, J. Hausen Geometrie Invariant Theory via Cox rings, J. Pure Appl. Algebra, 213, 2009, no. l, 154−172.

10. M. Auslander, I. Reiten, S. O. Smal0, Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge Studies in Advanced Math., 36, Cambridge University Press, 1995.

11. W. Baur, Decidability and undecidability of theories of abelian groups with predicates for subgroups, Compositio Math. 31, 1975, 23−30.

12. K. Bongartz, A geometric version of the Morita equivalence, J. Algebra, 139, 1991, 159−171.

13. K. Bongartz, B. Huisgen-Zimmermann, Varieties of uniserial representations IV. Kinship to geometric quotients, Trans. Amer. Math. Soc. 353, 2001, 20 912 113.

14. P. Caldero, M. Reineke, On the quiver Grassmannian in the acyclic case, J. Pure Appl. Algebra, 212, 2008, no. 1, pp 2369−2380.

15. H. Derksen, J. Weyman Semi-invariants of quivers and saturation for Littlewood-Richardson coefficients, J. Amer. Math. Soc., 13, 2000, no. 3, 467−479.

16. M. Domokos, A.N. Zubkov, Semi-invariants of quivers as determinants, Transformation Groups, 6, 2001, no. 1, 9−24.

17. S. Donkin, Polynomial invariants of representations of quivers, Comment. Math. Helv., 69, 1994, no. l, 137−141.

18. P. Donovan, M. R. Freislich, The representation theory of finite graphs and associated algebras, Carleton Lecture Notes, 5, Ottawa, 1973.

19. J. Engel, M. Reineke, Smooth models of quiver modui, Math. Z., 262, 2009, 817−848.

20. P. Gabriel, Unzerlegbare Darstellungen I, Manuscr. Math., 6, 1972, 71−103.

21. B. Huisgen-Zimmermann, Classifying representations by way of Grassmannians, Trans. Amer. Math. Soc., 359, 2007, 2687−2719.

22. B. Huisgen-Zimmermann, A hierarchy of parametrizing varieties for representations, Contemporary Mathematics, 480, 2009, 207−239.

23. A. D. King, Moduli of representations of finite-dimensional algebras, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 45(180), 1994, 515−530.

24. A. A. Lopatin, Minimal generating set for semi-invariants of quivers of dimension two, Linear Algebra Appl, 434:8, 2011, 1920;1944.

25. L. Le Bruyn, C. Procesi, Semisimple representations of quivers, Trans. Amer. Math. Soc., 317, 1990, no. 2, 585−598.

26. D. Luna, Slices etales, Sur les groupes algebriques, Bull. Soc. Math. France, Memoire 33, 1973, 81IJ105.

27. D. Mumford, J. Fogarty, F. Kirwan, Geometric Invariant Theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2). Springer, Berlin, 1994.

28. H. Nakajima, Varieties associated with quivers, in: Representation Theory of Algebras and Related Topics, Mexico City, 1994, in: CMS Conf. Proc., vol. 19, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996, 139−157.

29. C. Procesi, The invariant theory ofnxn matrices, Adv. Math., 19, 1976, 306−381.

30. M. Reineke, Framed quiver moduli, cohomology, and quantum groups, J. Algebra, 320, 2008, no. 1, 94−115.

31. A. Rudakov, Stability for an abelian category, J. Algebra, 197, 1997, no. 1, 231 245.