Методы некоммутативной компьютерной алгебры при исследовании некоторых моделей теоретической физики
Диссертация
Впервые построены высшие когомологии для ряда супералгебр Ли векторных полей со скобкой Пуассона и её нечётного аналога — скобки Бютен (антискобки или нечетной скобки Пуассона). С помощью прямых компьютерных вычислений обнаружено (а затем и доказано), что наличие центра в алгебре или супералгебре Ли, в случае тривиального модуля, позволяет строить новые когомологические классы исходя… Читать ещё >
Содержание
- 1. Реализация математических объектов: структуры данных и алгоритмы
- 1. 1. Структуры данных и программирование
- 1. 1. 1. Связные списки с узлами переменной структуры
- 1. 1. 2. Таблицы
- 1. 1. 3. Об организации программ
- 1. 2. Модули, линейные пространства и алгебры
- 1. 2. 1. Алгебры и супералгебры Ли
- 1. 2. 2. Алгебры Грассмана и грассмановы мономы
- 1. 2. 3. Пространства и алгебры коцепей
- 1. 2. 4. Векторные поля
- 1. 2. 5. Тензорные суммы и тензорные мономы
- 1. 3. Кольца и поля скаляров
- 1. 3. 1. Кольцо целых чисел Ж, поле рациональных чисел и его алгебраические расширения
- 1. 3. 2. Конечные поля
- 1. 3. 3. Функции скалярных параметров
- 1. 1. Структуры данных и программирование
- 2. 1. Конечно представленные алгебры и супералгебры Ли
- 2. 2. Описание алгоритма
- 2. 3. Описание программы
- 2. 3. 1. Работа с программой
- 2. 3. 2. Пример инициирующего файла
- 2. 4. Примеры использования программы
- 2. 4. 1. Супералгебра Ли с параметрами
- 2. 4. 2. Бесконечномерная алгебра Ли
- 2. 4. 3. Ряды Гильберта для бесконечномерных алгебр
- 2. 4. 4. Алгебра инвариантных зарядов в теории Намбу-Гото замкнутых бозонных струн
- 2. 4. 5. Соотношения Серра для простых алгебр Ли
- 3. 1. Основные определения и свойства когомологий
- 3. 2. Супералгебры Ли векторных полей
- 3. 3. Алгоритм вычисления когомологий
- 3. 3. 1. Описание программы
- 3. 3. 2. Пример вывода программы
- 3. 4. Результаты вычислений
- 3. 4. 1. Алгебры векторных полей со скобкой Пуассона
- 3. 4. 2. Алгебры векторных полей с антискобкой
- 4. 1. Операторы на многообразиях и разложение ядра оператора теплопроводности
- 4. 2. Алгоритм вычисления коэффициентов ДВСГ
- 4. 3. Реализация алгоритма
- 4. 4. Новые результаты
Список литературы
- А. Барут, Р. Рончка. Теория представлений групп и ее приложения: в 2-х т. М.: Мир, 1980. — Т.1. — 455 е., Т.2. — 395 с.
- Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Т.1. М.: Наука, 1973.
- Э.Р. Берлекэмп. Алгебраическая теория кодирования. М.: Мир, 1971.
- JI.A. Бокуть, Г. П. Кукин. Алгоритмически неразрешимые проблемы для полугрупп, групп и колец // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 25. М.: ВИНИТИ, 1987. — С. 3−66.
- Н. Weyl. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenschwingungen eines beliebig gestalteten elastischen Korpers //Rend. Circ. Mat. Palermo. 1915. — B. 39. — S. 1−50- русский перевод в кн.: Г. Вейль. Избранные труды. — М.: Наука, 1984.
- И.М. Гельфанд, Д. И. Калинин, Д. Б. Фукс. О когомологиях алгебры Ли Гамильтоновых формальных векторных полей // Функц. анализ и приложения. 1972. Т. 6. — С. 25−29.
- В.П. Гердт, В. В. Корняк. Программа для построения полной системы соотношений, базисных элементов и таблицы их коммутаторов конечно представленных алгебр и супералгебр Ли // Программирование. 1997. — Т. 3. — С. 58−71.
- В.П. Гердт, В. Н. Робук, В. М. Северьянов. О построении конечно представленных алгебр Ли // ЖВМ и МФ. 1996. — Т. 36, No 11. — С. 20−34.
- Н.М. Глазунов, Ф. Г. Карпинский, В. В. Корняк. Решение некоторых задач алгебры, анализа и математической физики с помощью систем аналитических вычислений на ЭВМ // Кибернетика.- 1991. No 2. — С. 23−29.
- В.П. Гусынин. Асимптотики ядра оператора теплопроводности для неминимальных дифференциальных операторов // Украинский Мат. Журн. 1991. — Т. 43. — С. 1154−1551.
- В.П. Гусынин, В. В. Корняк. Полное вычисление коэффициента ДеВитта-Сили-Гилки Е4 для неминимального оператора на искривленных многообразиях. Препринт ОИЯИ Р2−97−88, 1997. -22 с.
- В.П. Гусынин, В. В. Корняк. Коэффициенты ДеВитта-Сили-Гилки для неминимальных операторов в искривленном пространстве // Фундаментальная и прикладная математика. 1999.- Т. 5, No. 3. С. 649−674.
- В. DeWitt. Dynamical Theory of Groups and Fields. New York: Gordon and Breach, 1965- русский перевод: B.C. ДеВитт. Динамическая теория групп и полей. — М.: Наука, 1987.
- N. Jacobson. Lie Algebras. New York: Interscience Publ., 1962- русский перевод: H. Джекобсон. Алгебры Ли. — M.: Мир, 1964. Serre
- Б.А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия: Методы и приложения.
- Т.1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей.- М.: Эдиториал УРСС, 1998. 336 с. Т.2. Геометрия и топология многообразий.- М.: Эдиториал УРСС, 1998. 280 с.
- A.A. Кириллов. Метод орбит и конечные группы. М.: МЦН-МО, МК НМУ, 1998. — 52 с.
- Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. Т.1. Основные алгоритмы. М.: Мир, 1976. — 736 с.
- Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. Т.2. Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1977. — 725 с.
- Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. Т. З. Сортировка и поиск. М.: Мир, 1978. — 846 с.
- Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии: в 2-х т. М.: Наука, 1981. — Т.1. — 344 е., Т.2. — 416 с.
- В.В. Корняк. Программа для вычисления когомологий супералгебр Ли векторных полей //Записки научных семинаров ПОМИ. С.-Петербург. 1999. — Т. 258. — С. 148−160.
- В.В. Корняк. Вычисление когомологий супералгебр Ли: алгоритм и реализация // Программирование. 2001. — Т. 3. — С. 46−50.
- А. Лезнов, М. Савельев. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. М.: Наука, 1985. — 280 с.
- Д.А. Лейтес. Супералгебры Ли // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 25. М.: ВИНИТИ, 1984. — С. 3−50.
- A.A. Михалёв. Лемма о слиянии и проблема равенства для цветных супералгебр Ли // Вест. МГУ, Сер. I. Мат. Мех. 1989. — Т. 5. — С. 88−91.
- A.A. Михалёв. Техника композиции А. И. Ширшова в супералгебрах Ли (некоммутативные базисы Грёбнера) // Труды семинара им. И. Г. Петровского. Вып. 18. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. -С. 277−289.
- A.A. Михалёв. Математическое обоснование алгоритмов комбинаторной теории супералгебр Ли. Дисс. д. ф.-м. н. М. — 1996. -320 с.
- A.B. Михалёв, Е. В. Панкратьев. Компьютерная алгебра. Вычисления в дифференциальной и разностной алгебре. М.: Изд-во МГУ, 1989.
- П.И. Пронин, К. В. Степаньянц. Однопетлевое эффективное действие для произвольной теории // ТМФ. 1996. — Т. 109. — С. 215−231.
- А.П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986.
- А. Пуанкаре. Избранные труды, Т. 2, Analysis situs, с.457−548. -М.: Наука, 1972.
- Г. А. Сарданашвили. Современные методы теории поля.
- Т.1: Геометрия и классические поля. М.: УРСС, 1996. — 224 с. Т.2: Геометрия и классическая механика. — М.: УРСС, 1998. — 168 с.
- Т.З: Алгебраическая квантовая теория. М.: УРСС, 1999. — 216 с.
- Т.4: Геометрия и квантовые поля. М.: УРСС, 2000. — 160 с.
- J.-P. Serre. Lie Algebras and Lie Groups. New York: Benjamin, 1964- русский перевод: Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли. -М.: Мир, 1969. — 375 с.
- В.А. Уфнаровский. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 57. -М.: ВИНИТИ, 1990. С. 5−177.
- В.Т. Филиппов, n-арные алгебры Ли // Сибирский мат. журн. -1985. Т. 24. — С. 126−140.
- Д.Б. Фукс. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984. — 272 с.
- А.И. Ширшов. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб. мат. ж. 1962. — Т. 3. — С. 292−296.
- P. Amsterdamski, A.L. Berkin, D.J. O’Connor, bg 'Hamidew' coefficient for a scalar field // Class. Quant. Grav. 1989. — V. 6. — P. 1981−1991.
- M.A. Atiyah, R. Bott, V.K. Patodi. On the Heat Equation and the Index Theorem // Invent. Math. 1973. — V. 19. — P. 279−330.
- I.G. Avramidi. A covariant technique for the calculation of the one-loop effective action // Nucl. Phys. 1991. — V. B355. — P. 712−154.
- I.G. Avramidi. Covariant techniques for computation of the heat kernel. // arXiv: hep-th/9 704 166, 1997.
- I.G. Avramidi, R. Schimming. A new explicit expressions for the Korteweg-de Vries hierarchy, solv-int/9 710 009, 1997. P. 1−17.
- Yu.A. Bahturin, A.A. Mikhalev, V.M. Petrogradsky, M.V. Zaicev. Infinite dimensional Lie superalgebras. Berlin-New York: Walterde Gruyter, 1992.
- D. Bar-Natan. On the Vassiliev knot invariants // Topology. 1995. — V. 34. — P. 423−472.
- N.H. Barth, S.M. Christensen. Quantizing fourth order gravity theories: The functional integral // Phys. Rev. D. 1983. — V. 28. -P. 1876−1893.
- A.O. Barvinsky, G.A. Vilkovisky. The generalized Schwinger-DeWitt technique in gauge theories and quantum gravity // Phys. Repts. 1985. — V. 119. — P. 1−74.
- A.O. Barvinsky, G.A. Vilkovisky. Beyond the Schwinger-DeWitt technique: Converting loops into trees and in-in currents // Nucl. Phys. B. 1987. — V. 282. — P. 163−188.
- I.A. Batalin, G.A. Vilkovisky. Gauge Algebra and Quantization // Phys. Lett. 1981. V. 102B. — P. 27−31.
- T. Becker, V. Weispfenning, H. Kredel. Grobner Bases. A Computational Approach to Commutative Algebra. // Graduate Texts in Mathematics. V. 141. — New York: Springer-Verlag, 1993.
- M. Belger, R. Schimming, V. Wunsch. A Survey on Huygens' Principle // Journal for Analysis and its Applications. V. 16, No 1. P. 5−32.
- A.A. Bel’kov, A.V. Lanyov, A. Schaale. Calculation of heat-kernel coefficients and usage of computer algebra // Comput. Phys. Commun. 1996. — V. 95. — P. 123−130.
- M.P. Berger. Geometry of the spectrum // Proc. Symp. Pure Math.- 1975. V. 27. — P. 129−152.
- M.P. Berger, P. Gauduchon, E. Mazet. Le spectre d’une variete rie-mannienne // Lecture Notes in Math. 1971. — V. 194.
- N.D. Birrell, P.C.W. Davies. Quantum Fields in Curved Space. -Cambridge: Cambridge University Press, 1982.
- M.J. Booth. HeatK: A Mathematica Program for Computing Heat Kernel Coefficients. // arXiv: hep-th/9 803 113 v3. P. 1−9.
- R.E. Borcherds. Generalized Kac-Moody algebras // J. Alg. 1988.- V. 115. P. 501−512.
- T.P. Branson, P.B. Gilkey, A. Pierzchalski. Heat equation asympto-tics of elliptic differential operators with non-scalar leading symbol // Math. Nachr. 1994. — B. 166. — S. 207−215.
- L. Brink, M. Henneaux. Principles of String Theory. New York, London: Plenum Press, 1988.
- L.S. Brown. Stress-Tensor Trace Anomaly in a Gravitational Metric: Scalar Fields //Phys. Rev. 1977. — V. D15. — P.1469−1483.
- B. Buchberger. Grdbner bases: an algorithmic method in polynomial ideal theory // Recent Trends in Multidimensional System Theory, ed. N.K.Bose, (D.Reidel). 1985. — P. 184−232.
- C. Buttin. // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A-B. 1969. — V.269. -A87.
- E. Cartan. Sur une generalisation de la notion de courbure de Riemann et les espaces a torsion // Comptes Rendus Acad. Sci.- 1922. V.174. — P.593.
- E. Cartan. Sur les varietes a connection affine et la theory de la relativistee generalisee I, II. // Ann. Ec. Norm. Sup. 1923. — V.40.p.325- 1924. — V.41. — p. l- - 1925. — V.42. — p.17.
- V. Chari, A. Pressley. A Guide to Quantum Groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994.
- H.T.Cho and R.Kantowski. Gauge independent conformai anomaly for gravitons //Phys. Rev. D. 1995. — V. 52. — P. 4600−4608.
- S.M. Christensen. The Computational Challenge of Heat-Kernel Calculations // Discourses in Mathematics and its Applications. V. 4 / ed. S.A.Fulling. Texas A&M University, College Station, 1995. -P. 47−64.
- S.M. Christensen, M.J. Duff. New gravitational index theorems and supertheorems // Nucl. Phys. 1979. — V. B154. — P. 301−342.
- E.B. Davies. Heat Kernel and Spectral Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.
- M. Dehn. Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen // Math. Ann. 1911. — B. 71. — S. 73−77.
- E. D’Hoker. Invariant actions, cohomology of homogeneous spaces and anomalies // Nucl. Phys. 1998. — V. B451. — P. 725−748.
- J.S. Dowker. Another Discussion of the Axial Vector Anomaly and the Index Theorem //J. Phys. 1978. — V. All. — P. 347−360-
- L. Drager. On the Intrinsic Symbol Calculus for Pseudodifferential Operators on Manifolds. Dissertation, 1978.
- E. Elizalde. Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions. -Berlin: Springer-Ferlag, 1995.
- R. Endo. Gauge dependence of the gravitational conformai anomaly for the electromagnetic field // Progr.Theor.Phys. 1984. — V. 71. — P. 1366−1384.
- D. Epstein, S. Levy. Experimentation and Proof in Mathematics // Notices of the AMS. 1995. — V. 42, No 6. — P. 670−674.
- B. V. Fedosov. A simple geometrical construction of deformation quantization //J. Diff. Geom. 1994. — V. 40. — P. 213−238.
- E.S. Fradkin, A. Tseytlin. Renormalizable Asymptotically Free Quantum Theory of Gravity // Nucl. Phys. B. 1982. — V. 201. — P. 469−491.
- D. Fuchs, D. Leites. Cohomology of Lie Superalgebras // C.r. Acad. Bulg. Sci. 1984. — V. 37, No 12. — P. 1595−1596.
- S.A. Fulling. Aspects of Quantum Field Theory in Curved SpaceTime. Cambrige: Cambrige University Press, 1991.
- S.A. Fulling. Kernel asymptotics of exotic second-order operators // Proceedings of Third International Colloquium on Differential Equations / eds. D. Bainov, V. Covachev. VSP Intern. Science Publ., 1993. — P. 63−76.
- S.A. Fulling ed. Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity. // Discourses in Math, and its Appl. V. 4. Texas A&M Univ., College Station, 1995.
- S.A. Fulling, R.C. King, B.G. Wybourne, C.J. Cummins. Normal forms for tensor polynomials: 1. The Riemann tensor. // Class. Quant. Grav. 1992. — V. 9. — P. 1151−1197.
- J. von zur Gathen, J. Gerhard. Modern Computer Algebra. -Cambrige university press, 1999. 754 p.
- R.W. Gebert. Beyond Affine Kac-Moody Algebras in String Theory // Preprint DESY 94−209, Hamburg. 1994.
- K.O. Geddes, S.R. Czapor, G. Labahn. Algorithms for Computer Algebra. Boston/Dordrecht/London: Kluwer, 1992. — 586 p.
- V.P. Gerdt, Yu.A. Blinkov. Involutive Bases of Polynomial Ideals // Preprint-Nr.01 /1996, Naturwissenschaftlich-Theoretisches Zentrum, Universitat Leipzig, 1996.
- V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. Construction of Finitely Presented Lie Algebras and Superalgebras // Preprint JINR E5−95−353. 1995. -Dubna. — P. 12.
- V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. An Efficient Algorithm for Analysis of Finitely Presented Lie Algebras and Superalgebras // New Computer Technologies in Control Systems. 1995. — Pereslavl-Zalessky. — p. 22.
- V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. Lie Algebras and Superalgebras Defined by a Finite Number of Relations: Computer Analysis // Journ. Nonlinear Math. Phys. 1995. — V. 2. P. 367−373.
- V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. Construction of Finitely Presented Lie Algebras and Superalgebras // Proceedings of 5th Rhine Workshop on Computer Algebra. 1−3.04.1996, Saint-Louis, France, eds A. Carriere and L.R. Oudin. P. 18.1−18.11.
- V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. Computer Analysis of Finitely Presented Lie Superalgebras // New Computing Techniques in Physics Research IV, eds B. Denby and D. Perret-Gallix. 1996. — Singapore: World Scientific. — P. 289−294.
- V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. Construction of Finitely Presented Lie Algebras and Superalgebras // Journal of Symbolic Computation. -1996. V. 21, No 3. — P. 337−349.
- V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. A Program for Constructing the Complete Set of Relations, Basis Elements and their Commutator Table for Finitely Presented Lie Algebras and Superalgebras // Preprint JINR Ell-96−103. 1996. — Dubna. — P. 26.
- V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. An Implementation in C of an Algorithm for Construction of Finitely Presented Lie Superalgebras // Computer Sci. Journ. of Moldova. 1996. — V. 4, No 3(12). — P. 399−427.
- V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. An algorithm for analysis of the structure of finitely presented Lie algebras // Discrete Math, and Theor. Computer Sci. 1997. — V. 1. — 217−228.
- V.P. Gerdt, V.V. Kornyak. A program for constructing finitely presented Lie algebras and superalgebras // Nucl. Instr. h Meth. in Phys. Res. A. 1997. — V. 389. — P. 370−373.
- V.P. Gerdt, V.V. Kornyak, M. Berth, G. Czichowski. Construction of involutive monomial sets for different involutive divisions // Computer Algebra in Scientific Computing. Springer, 1999. — P. 147−157.
- P.B. Gilkey. The index theorem and the heat equation. Boston: Publish or Perish Press, 1974.
- P.B. Gilkey. The spectral geometry of a Riemannian manifold //J. Diff. Geom. 1975. — V.10. — P.601−618.
- P.B. Gilkey. Invariance theory, the heat equation and the Atiyah-Singer index theorem. Math, lectures series 11. Boston, Ma.: Publish or Perish Inc., 1984.
- P.B. Gilkey. Heat equation asymptotics // Proc. Symp. Pure Math. 1993. — V. 54. — P. 317−326.
- P.B. Gilkey, T.P. Branson, S.A. Fulling. Heat equation asymptotics of «nonminimal» operators on differential forms //J. Math. Phys. -1991. V. 32. — P. 2089−2091.
- N.M. Glazunov, V.V. Kornyak, E. Cheremnykh, F. Diaba. Algebra, Interval Analysis and Some Nonlinear Differential Equations // Proc. IMACS 14 World Congress, Atlanta, USA. 1995. — V. 1. -P. 89−92.
- W.H. Goldthorpe. Spectral Geometry and SO (4) Gravity in a Riemann-Cartan Space-Time // Nucl. Phys. 1980. -V. B170 FS1], — P. 307−328.
- J. Gomis, J. Paris, S. Samuel. Antibracket, Antifields and Gauge-Thery Quantization // Phys. Rept. 1995. — V. 259. — P. 1−145. // arXiv: hep-th/9 412 228.
- P.K.H. Gragert. Lie Algebra Computations // Acta Applicandae Mathematicae. 1989. — V. 16. — P. 231−242.
- M. Green, J. Schwarz, E. Witten. Superstring Theory, Vols. I, II. -Cambridge University Press, 1987.
- P. Greiner. An asymptotic expansion for the heat equation // Arch. Rat. Mech. Anal. 1971. — V. 41. — P. 163−218.
- P. Grozman, D. Leites. Defining relations for classical Lie superal-gebras with Cartan matrix // arXiv: hep-th 9 702 073.
- P. Grozman, D. Leites. Mathematica-aided study of Lie algebras and their cohomology. From supergravity to ballbearings and magnetic hydrodynamics // The second International Mathematica symposium / ed. V. Keranen. Rovaniemi, 1997.- P.185−192.
- C. Gruson. Finitude de l’homologie de certains modules de dimension finie sur une superalgebre de Lie // Ann. Inst. Fourier. 1997. — V. 47, No.2. — P. 531−553.
- P. Giinther. Huygens' Principle and Hyperbolic Equations. San Diego: Academic Press, 1988.
- V.M. Guillemin, S.D. Shnider. Some stable results on the cohomology of classical infinite dimensional Lie algebras // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. — 179. — P. 275−280.
- V.P. Gusynin. New algorithm for computing the coefficients in the heat kernel expansion // Phys. Lett. 1989. — V. B225. — P. 233−239.
- V.P. Gusynin. Seeley-Gilkey coefficients for the fourth-order operators on a Riemannian manifold // Nucl. Phys. 1990. — V. B333. -P. 296−316.
- V.P. Gusynin. Heat Kernel Technique for Nonminimal Operators // Discourses in Mathematics and its Applications. V. 4 / ed by S.A.Fulling. Texas A&M University, College Station, 1995. — P. 65−86.
- V.P. Gusynin, E.V. Gorbar. Local heat kernel asymptotics for nonminimal differential operators // Phys. Lett. 1991. — V. B270. — P. 29−36.
- V.P. Gusynin, E.V. Gorbar, V.V. Romankov. Heat kernel expansion for nonminimal differential operators and manifolds with torsion // Nucl. Phys. 1991. — V. B362. — P. 449−471.
- V.P. Gusynin, V.V. Kornyak. Symbolic Computation of the Heat Kernel Expansion on Curved Manifolds // Preprint ITP-93−59E, Bogolyubov Inst, of Theor. Phys. 1993. — Kiev. — P. 8.
- V.P. Gusynin, V.V. Kornyak. Symbolic Computation of DeWitt-Seeley-Gilkey Coefficients on Curved Manifolds // Journ. Symb. Computation. 1994. — V. 17, No. 3. — P. 283−294.
- V.P. Gusynin, V.V. Kornyak. Symbolic Computation of the Heat Kernel Expansion on Curved Manifolds // New Computing Techniques in Physics Research III, eds K.-H. Beck and D. Perret-Gallix. -1994. Singapore: World Scientific. — P. 615−621.
- V.P. Gusynin, V.V. Kornyak. Heat Kernel Coefficient E4 for Nonminimal Operator in Curved Space // Preprint JINR E2−96−448. -1996. Dubna. — P. 9.
- V.P. Gusynin, V.V. Kornyak. Computation of the DeWitt-Seeley-Gilkey Coefficient E4 for Nonminimal Operator in Curved Space // New Computer Technologies in Control Systems. 1996. — Pereslavl-Zalessky. — p. 26.
- V.P. Gusynin, V.V. Kornyak. Heat Kernel Coefficient E4 for Nonminimal Operator in Curved Space // Nuclear Instr. and Methods in Phys. Res. 1997. — V. A389. — P. 365−369.
- F.W. Hehl, P. von der Heyde, G.D. Kerlick, J.M. Nester. General Relativity with Spin and Torsion: Foundations and Prospects // Rev. Mod. Phys. 1976. — V.48. — p.393.
- F.W. Hehl. Four Lectures on Poincare Gauge Field Theory // Proceedings of the 6th Course of the School of Cosmology and Gravitation on Spin, Torsion, Rotation and Supergravity /eds. P. Bergman, V. de Sabbata. Plenum, New York, 1980.
- V.A. Ilyin, A.P. Kryukov. ATENSOR-REDUCE program for tensor simplification // Comput. Phys. Commun. 1996. — V. 96. — P. 3652.
- E. Jurisich. Generalized Kac-Moody Lie algebras, free Lie algebras and the structure of the Monster Lie algebra //J. Pure Appl. Algebra. 1998. — V. 126, No 1−3. — P. 233−266.
- M. Kac. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. 1966. — V. 73, No. 4, Part II. — P. 1−23.
- V.G. Kac. Infinite dimensional Lie algebras. Cambridge: Cambridge University Press, third edition, 1990.
- E. Kamerich. A Guide to Maple. Springer Verlag, 1999, 335 p.
- O.M. Khudaverdian. Geometry of Superspace with Even and Odd Brackets //J. Math. Phys. 1991. — V. 32. — P. 1934−1937.
- O.M. Khudaverdian. Odd Invariant Semidensity and Divergencelike Operators in an Odd Symplectic Superspace // Commun. Math. Phys. 1998. — V. 198. — P. 591−606.
- O.M. Khudaverdian. A-Operator on Semidensities and Integral Invariants in the Batalin-Vilkovisky Geometry //math.DG/9 909 117.
- O.M. Khudaverdian, A.P. Nersesian. On the Geometry of the Batalin-Vilkovisky Formalism // Mod. Phys. Lett. 1993. — V. A8, No.25. — P. 2377−2385.
- O.M. Khudaverdian, A.P. Nersesian. Batalin-Vilkovisky Formalism and Integration Theory on Manifolds //J- Math. Phys. 1996. — V. 37. — P. 3713−3724.
- E. Kiritsis. Introduction to Superstring Theory // arXiv: hep-th/9 709 062.
- M. Kontsevich. Feynman diagramms and low-dimensional topology // First European Congress of Mathematics 1992, Paris, Volume II, Progress in Mathematics. Birkhauser, 1994. — V. 120. — P. 97−121.
- M. Kontsevich. Rozansky-Witten invariants via formal geometry // arXiv: dg-ga/9 704 009.
- M. Kontsevich. Deformation Quantization of Poisson Manifolds I // arXiv: q-alg/9 709 040.
- M. Kontsevich, Yu. Manin. Gromov-Witten classes, quantum coho-mology, and enumerative geometry // arXiv: hep-th/9 402 147.
- V.V. Kornyak. A program for computing cohomology of Lie superal-gebras of vector fields // Preprint JINR E5−98−380. 1998. — Dubna. -8 p.
- V.V. Kornyak. Computation of cohomology of Lie superalgebras of Hamiltonian vector fields // Preprint JINR E5−99−95. 1999. -Dubna. — 11 p.
- V.V. Kornyak. Cohomology of Lie Superalgebras of Hamiltonian Vector Fields: Computer Analysis // Computer Algebra in Scientific Computing. Springer, 1999. — P. 241−249- arXiv: math. SC/9 906 046.
- V.V. Kornyak. Computation of Cohomology of Lie Superalgebras of Vector Fields // International Journal of Modern Physics C. 2000.- V. 11, No. 2. P. 397−414- arXiv: math. SC/2 210.
- V.V. Kornyak. Heat Invariant for Nonminimal Operator on Manifolds with Torsion // Computer Algebra in Scientific Computing. Springer, 2000. — P. 273−284- arXiv: math. SC/4 085.
- Le Thang. An invariant of integral homology 3-spheres which is universal for all finite type invariants // arXiv: q-alg/9 601 002.
- D. Leites, G. Post. Cohomology to compute //Computers and Mathematics / eds. E. Kaltofen, S.M. Watt NY ea: Springer Verlag, 1989. — P. 73−81.
- Yu. I. Manin, A. O. Radul. A supersymmetric extension of the Kadomtsev-Petviashvili hierarchy // Commun. Math. Phys. 1985.- V. 98. P. 65−77.
- M.P. McKean, I.M. Singer. Curvature and eigenvalues of the Laplacian //J. Diff. Geom. 1967. — V. 1. — P. 43−69.
- M. Mignotte, C. Mignotte. Mathematics for Computer Algebra. -NY ea: Springer Verlag, 1991.
- M. Mignotte, D. Stefanescu. Polynomials: An Algorithmic Approach (Springer Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science). NY ea: Springer Verlag, 1999. — 320 p.
- A.A. Mikhalev, A.A. Zolotykh. Combinatorial Aspects of Lie Super-algebras. Boca Raton, New York: CRC Press, 1995.
- J. Milnor. Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1964. — V. 51. — p. 542.
- S. Minakshisundaram, A. Pleijel. Some properties of the eigenvalues of the Laplace operator on Riemannian manifolds // Can. J. Math.- 1949. V. 1. — P. 242−256.
- C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler. Gravitation. W.H. Freeman and Company, 1973.
- U. Miiller. Basis Invariants in Non-Abelian Gauge Theories. Preprint DESY-96−154, // arXiv: hep-th/9 701 124.
- S. P. Novikov. 1. Classical and Modern Topology. 2. Topological Phenomena in Real World Physics // arXiv: math-ph/4 012. -2000. P.1−20.
- Yu.N. Obukhov. Spectral Geometry of the Riemann-Cartan SpaceTime // Nucl. Phys. 1983. — V. B212. — P. 237−253.
- J. Perchik. Cohomology of Hamiltonian and related formal vector fields Lie algebras // Topology. 1976. — V. 15, No 4. — P. 395−404.
- K. Pohlmeyer. The Nambu-Goto Theory of Closed Bosonic Strings Moving in 1+3-Dimensional Minkowski Space: The Quantum Algebra of Observables // Annalen Phys. 1999. — V. 8. — P. 19−50.
- I. Polterovich. From Agmon-Kannai expansion to Korteweg-de Vries hierarchy, sov-int/9 905 001,1999. P. 1−7.
- J.-F. Pommaret. Partial Differential Equations and Group Theory.- Dordrecht: Kluwer, 1994.
- G. Post, N. von Hijligenberg. Calculation of Lie algebra cohomology by computer. Memo# 833, Faculty of Appl. Math. Univ. Twente, 1989. — id. ibid. #928, 1991.
- P.I. Pronin, K.V. Stepanyantz. One loop counterms for theories with arbitrary nonminimal operator in the curved space // Nucl. Phys. -1997. V. 485. — P. 517−544.
- G.H.M. Roelofs. The LIESUPER Package for REDUCE // Memorandum 943, Univ. of Twente, Netherlands., 1991.
- G.H.M. Roelofs. Prolongation structures of supersymmetric systems.- Ph.D. Thesis, Univ. of Twente, Enschede, Netherlands, 1993.
- G.H.M. Roelofs, N.W. Van der Hijligenberg. Prolongation Structures for Supersymmetric Equations //J- Phys. A: Math. Gen. 1990. -V. 23. P.5117.
- J.-E. Roos. A computer-aided study of the graded Lie algebra of a local commutative noetherian ring //J. Pure Appl. Algebra. 1994.- V. 91. P. 255−315.
- H.S. Ruse, A.G. Walker, T.J. Willmore. Harmonic Spaces. Roma: Edizioni Cremonese, 1961.
- T. Sakai. On eigenvalues of Laplacian and curvature of Riemannian manifold // Tohoku Math. J. 1971. — V. 23. — P. 589−603.
- R. Schimming. Calculation of the Heat Kernel Coefficients // Analysis, Geometry and Groups: A Riemann Legacy Volume / ed. H.M.Srivastava, Th.M.Rassias. Palm Harbor: Hadronic Press, 1993. P. 627.
- R. Schimming. An explicit expression for the Korteweg-de Vries hierarchy // Acta Appl. Math. 1995. — V. 39. — P. 489−505.
- R. Schimming, W. Strampp. Differential polynomial expressions related to the KP and KdV hierarchies // Journal of Mathematical Physics. 1999. — V.40. — P. 2429−2444.
- D. Schuth. Continuous families of isospectral metrics on simply connected manifolds // Annals of Mathematics. 1999. — V. 149. — P. 287−308. // arXiv: dg-ga/9 711 010 v 2.
- R.T. Seeley. Complex powers of an elliptic operator //Singular Integrals (Proc. Symp. Pure Math.), Amer. Math. Soc. Providence, 1967. — V. 10. P. 288−307.
- R. Solomon. On Finite Simple Groups and Their Classification // Notices of the AMS. 1995. — V. 42, No 2. — P. 231−239.
- L. Takhtajan. On foundations of the generalized Nambu mechanics // Commun. Math. Phys. 1994. — V. 160. — P. 295−315.
- A.E.M. van de Ven. Explicit counteraction algorithms in higher dimensions // Nucl. Phys. 1985. — V. B250. — P. 593−617.
- H.D. Wahlquist, F.B. Estabrook. Prolongation Structures of Nonlinear Evolution Equations //J. Math. Phys. 1975. — V. 16. — P. 1−7- - 1976. V. 17. — P. 1293−1297.
- H. Widom. A complete symbolic calculus for pseudodifferential operators // Bull. Sci. Math. 1980. — V. 104. — P. 19−63.
- D. Xu. Calculation of the аз coefficient of the scalar field by the point separation method // Phys. Lett. 1985. — V. 110A. — P. 293−294.