Исследование свойств интегральных представлений голоморфных функций в Cn и решение многомерных краевых задач линейного сопряжения

Начиная с середины XX века сильно возрос интерес к теории функций многих комплексных переменных. Эта теория, не имевшая до того времени приложений в естествознании, в работах научных школ академиков Н. Н. Боголюбова, В. С. Владимирова, Ю. В. Линника нашла серьезные применения в квантовой теории поля [1] и математической статистике [3] .

Теория интегральных представлений голоморфных функций, представляющая собой совокупность методов и результатов, возникших при обобщении классической интегральной формулы Коши на многомерный случай ([1],[5]), в настоящее время, благодаря эффективным приложениям, в частности, в теории краевых задач ([2], [19], [23]), является важной и быстро развивающейся ветвью многомерного комплексного анализа. Актуальность же развития теории многомерных краевых задач в значительной мере объясняется тем, что в последние годы описан широкий класс задач квантовой механики, теории вероятностей, математической физики, которые соответствующим преобразованием Фурье приводятся к многомерным краевым задачам линейного сопряжения (пространственной задаче Римана).

Одним из первых в нашей стране исследования по теории интегральных представлений начал А.А.Темляков* в своей докторской диссертации [51]. Он установил ([52],[53], [54]) два интегральных представления для функций двух комплексных переменных, голоморф — Темляков Алексей Александрович (1903;1968) — советский математик, доктор физико-математических наук, профессор, крупный специалист в области теории функций многих комплейсных переменных. В 1949;1968 г. г. возглавлял кафедру математического анализа МОПИ (ныне — Московский педагогический университет). Основатель известной научной школы по многомерному комплексному анализу. ных в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей. Эти формулы известны в математической литературе (см., напр., [5],[6]) как интегральные представления Темлякова I и II родов.

Интегральные представления Темлякова и их обобщения на случай комплексных переменных, установленные З. Опиалем, Й. Сичаком [59], И. И. Бавриным (см., напр., [9], [10], [11]), И. И. Бав риным, Г. Н. Бакуниным ([12], [13]) и другими математиками, обладают рядом замечательных свойств, которые отличают их от всех известных интегральных представлений, и, одновременно, тесно связаны с формулой Коши одного комплексного переменного. Последнее обстоятельство позволяет усилить методы исследований, специфические для теории функций многих комплексных переменных, хорошо разработанным аппаратом интеграла типа Коши и выходящими из него ветвями теории функций одного комплексного переменного. На этом пути отечественные и зарубежные исследователи получили серию результатов по различным проблемам голоморфных функций в кратнокруговых областях. Отметим, что успех применений интегральных представлений Темлякова во многом был предопределен тем обстоятельством, что А. А. Темляковым с самого начала были указаны дифференциальные соотношения, связывающие параметризующие его двоякокруговые области функции tiM и — i-t >

У.ЛЛ.

В настоящей диссертации устанавливаются, во-первых, многомерные аналоги указанных соотношений для широкого класса кратно-круговых областей 2) типа, введенного в рассмотрение.

И.И.Бавриным и Г. Н. Бакуниным [13]. Найденные соотношения открывают перспективы для исследования и применения интегральных представлений функций, голоморфных в указанных областях.

Основы теории интегралов типа Темлякова были заложены в работах представителей созданной А. А. Темляковым научной школы по многомерному комплексному анализу: Л. А. Айзенберга — первым введшего понятие таких интегралов ([7],[8]) и изучавшего их поведение в пространстве С1- Г. Л. Луканкша — поломившего начало «сследова-ниям [26] по применению математического аппарата интегралов типа Темлякова к постановке и решению многомерных краевых задачВ.й.Боганова — включившегося ([14], [15]) в разработку совместно с Г. Л. Луканкиным теории задач линейного сопряжения функций двух комплексных переменных.

На пути распространения интегральных представлений Темлякова на случай Y.>X комплексных переменных И. И. Бавриным (см., напр., [9], [10], [11]), с помощью созданного им метода ин-тегро-дифференциальных операторов голоморфных функций, был установлен ряд интегральных представлений общей операторной природы, известных ныне как интегральные представления Темлякова-Баврина и Коши-Баврина.

Существенным вкладом в развитие теории интегралов типа Темлякова явилось установленное А. Т. Хвостовым ([55], [56]) с помощью предложенного им в пространстве С метода линейных однородных дифференциальных операторов первого порядка явление квазианалитичности интегралов типа Темлякова вне области голоморфности.

Оказавшийся эффективным, указанный метод применялся в дальнейшем А. В. Гуляевым, В. А. Гусаковым, В. Т. Уляшевым, А. В. Латышевым, В.А.Лит-винюком, А. В. Нелаевым, С. Ю. Колягиным, В. В. Гагиевым и другими математиками — при исследовании различных модификаций интегралов типа Темлякова, а также интегралов типа Темлякова-Баврина и типа Коши-Баврина. В ряде работ А. В. Нелаева (см., напр., [33],[35], [36], [38J, [40], [41J, [46], [47]) сам этот метод становится объектом детального исследования и получает дальнейшее развитие — дополняется рядом принципиально важных положений, уточняется и распространяется на общий случай ft- (itl^I) комплексных переменных. Существенно развитый, ныне метод известен (см., напр., [46]), как метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами. Разрабатываемая с помощью этого метода А. В. Нелаевым и его учениками теория квазианалитических функций находит применения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и при постановке и решении пространственных краевых задач.

Вторым направлением исследований в данной диссертации явилось изучение квазианалитических свойств вводимого в рассмотрение на основе одного из установленных И. И. Бавриным [11] для поликруга интегральных представлений голоморфных функций обобщенного интеграла типа Коши-Баврина. В числе установленных свойств — аналоги известных свойств голоморфных функций: обобщенная производная рассматриваемого интеграла, его разложение в обобщенный степенной ряд и, при известных дополнительных условиях на вид плотности, обобщенное уравнение Коши-Римана.

Третье направление диссертационного исследования — постановка и решение краевых задач линейного сопряжения (однородной и неоднородной) в пространствах (С* и С (п. >, 0.).

В работах А. В. Нелаева ([33], [37]) был впервые введен в рассмотрение в пространстве (L и исследован интеграл типа Темлякова-Баврина I рода Lго порядка (ILc/У). На основе развиваемого математического аппарата этого интеграла с определяющей областью типа Я производится постановка указанных задач и находится их решение в определенном классе функций двух комплексных переменных. Существенным шагом в развитии интегралов типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина явилось проведенное А. В. Нелаевым [35] исследование таких интегралов в случае Ylкруговых (in.^2,) областей класса (Т). В диссертации продолжена разработка математического аппарата интеграла типа Темлякова-Баврина I рода первого порядка с определяющей областью типа Л, затем с его помощью осуществлены постановка и решение однородной и неоднородной задач линейного сопряжения в пространстве С*" (п>Я.).

Перейдем к изложению содержания диссертации по главам.

Первая глава посвящена исследованию широкого класса кратнокруговых областей голоморфности из пространства С типа.

§ 1 носит вводный характер и содержит сводку результатов, необходимых для чтения диссертации. Здесь же приводится определение введенного И. И. Бавриным и Г. Н. Бакуниным [13] класса (m+n.-l)-круговых (, п>Л) областей Z) типа (TTt) и указываются некоторые их свойства.

В § 2 выводятся дифференциальные соотношения для (предполагаемых непрерывно дифференцируемыми) функций, параметризующих области типа (ТТ^. Они представляют собой систему im+n.-iL равенств и ma+ri-l неравенств.

В § 3 для случая, n-SL, найденные в § 2 соотношения приводятся к более удобному для применений виду. В этом же параграфе проиллюстрирована их выполнимость на примере нескольких конкретных областей из пространства (С3 .

В § 4 показано, что найденные в § 2 дифференциальные соотношения помогают решать задачу перехода от явного задания области к ее параметрическому заданию. Здесь же на конкретных примерах области 2).: { (<*|ioi|V.+ Ail^i}, где — положительные числа, и области где — положительные числа, разобрано решение названной задачи, а затем, на примере JD©, и решение обратной задачи.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию поведения вне поликруга (с упором на вскрытие квазианалитических свойств) класса функций Yl (Yi>SL) комплексных переменных, определяемых интегралом 1 t 1 j W Г TlT^Tl^T ' фИ. / о где I — остов поликруга, Ц*^ (l-t, K=i,., in.

В § 5 вводится со всеми необходимыми пояснениями интегV рал Ffe) и его частный случай — интеграл F^fe) (соответствующий ситуации, когда все^, кроме ^ «равны нулю, } - фиксировано), устанавливаются теоремы 5.1 и 5.2 об областях голоморфности этих интегралов. Здесь же приводится сводка основных положений развиваемого А. В. Нелаевым метода линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами, а также дан вывод формулы перехода от кратного интегрирования к повторному для интеграла ад в области.

В § 6 названным методом устанавливаются обобщенная произ-—водная интеграла Pvfe) в области — найден конкретный дифференциальный оператор, действие которым на РД^) в Е^ равносильно дифференцированию по его ядра.

§ 7 посвящен решению вопроса о разложении интеграла в обобщенный степенной ряд. При этом применяется другой предложенный А. В. Нелаевым (см., напр., [48]) метод исследования комплексных интегралов — метод мажорирующей плотности.

В § 8 рассмотрен важный частный случай интеграла гу (%) -интеграл типа Коши-Баврина Ul^) «соответствующий ситуации, когда плотность? имеет вид (^^-Л*) ~ ^ * .

Установлена формула (8.2) дифференциальной связи интеграла с соответствующим (т.е. имеющим плотностью) интегралом типа Коши для поликруга. На основе этой формулы заключаем, что в области для f^fa) выполняется обобщенное уравнение Коши-Римана (8.8): 0.

— С.

Третья глава диссертации посвящена, в основном, постановке и решению краевых задач линейного сопряжения в пространстве С* (§§ 9−10) и в пространстве I* (§§ 11−12).

В § 9 продолжена разработка математического аппарата интегралов типа Темлякова-Баврина ft-то <Ы> порядка. В случае, когда определяющая область 2) есть область типа il, рассматривается интеграл.

1 I or I e О о.

Голоморфный в областях 2) и E.4={(2:i, 2"')€C4:Cil21|-ct|'ra| > l}, этот интеграл имеет нарушение непрерывности в точках окружности особенностей &iz fet/Zj)€, по которой области 2) и сопрягаются. Изучен характер поведения предельных значений интеграла в точках 64 и установлен факт обращения в нуль этого интеграла на множестве бесконечно удаленных точек. Введено понятие класса функций (Т*), к которому, в частности, относятся и функции, определяемые интегралом .

В § 10 рассмотрена следующая задача линейного сопряжения: Пусть в пространстве С3″ задана область Х> типа Л. Требуется найти функцию ffci,^ класса (Т*), исчезающую на множестве бесконечно удаленных точек и удовлетворяющую в точках окружности особенностей краевому условию (10.1): где | и | - есть предельные значения функции f на из областей D и Еч, а заданные на функции Gfyi) и ^(fy-) удовлетворяют условию Гельдера, причем. Сначала рассмотрен случай однородной задачи (.

Отметим, что для случая = i аналогичная неоднородная задача была ранее рассмотрена Г. Л. Луканкиным [30], а однороднаяего ученицей И. Н. Виноградовой [18].

В §§ 11 и 12 в качестве области «Э рассматривается область типа в пространстве С^ ()} т. е. область вида.

Один из частных случаев введенных в работе А. В. Нелаева [35] интегралов типа Темлякова-Баврина — интеграл типа ТемляковаБаврина I рода первого порядка имеет в случае этой области вид if if ч.

4 у о о о с где И-СА + с^б1. Ф — непрерывная функция, удовлетворяющая по ^ условию Гельдера, независимому от 0Д,.70К. Интеграл голоморфен [35] в областях 2) и.

Z^heC1-. cifej-слЫ —. -Oj'z.lxL] .

Сопряжение областей X) и Е*. происходит по расположенной в первой координатной плоскости окружности особенностей в которой непрерывность интеграла Fu (^) нарушается. В § 11 продолжена разработка математического аппарата интеграла, на основе которого введен класс функций (Tj, к которому, в частности, относятся и функции, определяемые интегралом, а в § 12 рассмотрена следующая задача линейного сопряжения: Требуется найти функцию ftz) класса (Т±-), голоморфную в областях 2) и Е±-, удовлетворяющую в точках краевому условию где { и | есть предельные значения ^fe) из областей 2) и Ei соответственно, a Gfyi) и J-C^i) — известные функции, заданные и удовлетворяющие условию Гельдера на Ь^, причем GC^) Ф О.

Решение поставленной задачи найдено в классе функций, определяемых интегралом. Отдельно рассмотрены однородный gfyj =0) и неоднородный случаи.

В Заключении указаны интегралы, на которые допускают распространение результаты §§ 9−12.

В конце диссертации приводится список литературы, насчитывающий 77 наименований.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [60] - [77].

По материалам диссертации были сделаны доклады и сообщения на VI и VII Международных конференциях «Математика.Компьютер. Образование» (Пущино, 1999 [65], [66], [72]- Дубна, 2000 [74], [76]), на IV Международной конференции серии «Нелинейный мир» (Суздаль, 1999 [70]), на VII Международной конференции «Математика.Экономика. Экология. Образование» (Новороссийск, 1999 [68]), на VIII Международной конференции «Математика.Образование.Экология.Тендерные проблемы» (Воронеж, 2000 [77]). Результаты диссертации неоднократно обсуждались на научных конференциях преподавателей и аспирантов МПУ (1997 — 2000 г. г.), а также на научно-исследовательском семинаре по теории функций при кафедре математического анализа МПУ (руководитель семинара — заслуженный деятель науки РФ, член-корреспондент РАО, профессор Г. Л.Луканкин).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доценту А. В. Нелаеву за всестороннюю помощь и постоянное внимание к работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Отметим, что результаты §§ 9 и 10 допускают распространение на близкий по структуре интегралу f^fo.,*2*) интеграл, в котором.

Этот интеграл голоморфен в областях и {fe^V С ¦ с*Ы — сЛ^Н!? сопрягающихся по окружности особенностей.

Ь* 4(2^) 6 С1: 2t-0 в точках которой нарушается его непрерывность. На этой окружности и задается краевое условие при постановке однородной и неоднородной задач линейного сопряжения.

Материалы §§ 11 и 12 можно перенести на интеграл Fli (z), S) — фиксированное число из множества — • •, отличающийся от интеграла тем, что в нем.

Этот интеграл голоморфен в определяемых по формулам (11.17 и (11.6) областях 2) и? v, в точках окружности особенностей й ~.

В, = {2 6 СV Г, по которой как раз и происходит сопряжение областей 2) и Б^) На этой окружности и задается краевое условие при постановке однородной (неоднородной) задач линейного сопряжения.