Проекционно-итеративные методы решения интегральных и дифференциальных уравнений

Многие задачи естествознания и техники сводятся к решению различных классов дифференциальных, интегральных, интегро-диффе-реяциальных, дифференциально-функциональных уравнений и их систем. В настоящее время существуют разнообразные методы качественного исследования и построения решений таких уравнений. Однако их наличие не исключает возможности создания новых, более эффективных методов и усовершенствования существующих. Среди обширного количества приближенных методов ярко выделяются итерационные, асимптотические и прямые методы. К последним относятся широко используемые в вычислительной практике разностные методы, а также вариационные и проекционные методы.

Основным представителем итерационных методов является обычный метод последовательных приближений, который возник уже давно. Он встречается в исследованиях Ж. Лиувилля [286] по теории дифференциальных уравнений и применялся К. Нейманом [291] к задачам теории потенциала. С точки зрения функционального анализа метод последовательных приближений укладывается в общую схему и приводит к принципу сжатых отображений, который впервые сформулировали С. Банах [280]в 1922 году и Р. Каччиопполи [285]. Идея метода последовательных приближений применительно к уравнению.

Тх, (П где Т — линейный ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве /, заключается в том, что приближения к искомому решению определяются по формуле.

Х^Г+ТХ^, (2).

Вопрос о сходимости метода (2) тесно связан со сходимостью ряда.

I + T+. + 7*-*-., необходимым и достаточным условием сходимости которого является соблюдение неравенства г (Г)= Um Vi7**1' < /. к.

Метод последовательных приближений успешно применяется и к нелинейным уравнениям 7*# t где Т — оператор сжатия. В случае, когда последнее условие не соблюдается, часто применяется принцип К. Шаудера [299]о неподвижной точке. Благодаря работам многих ученых принцип сжатых отображений и принцип неподвижной точки явились мощным средством исследования задач математической физики. Из многочисленных работ, посвященных этому вопросу, отметим глубокие работы В. В. Немыцкого [203], А. Н. Тихонова [300], I. Лере [127], Ю. Шаудера [127], М. А. Красносельского [97,99,100], П. П. Забрейко [100], Л. Коллатца [93], Ф. Бра уде ра [281,284], Г. Минти[288,289], 1.-Л. Лионса [128]и В. В. Петришина [284, 296].

В математической физике, в частности в теории колебаний, широкое применение получил асимптотический метод Крылова-Боголюбо-ва-Митропольского. Этому методу посвящена обширная литература как советских, так и зарубежных ученых. Основы метода заложены в фундаментальных трудах Н. М. Крылова, H.H. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [17,18,188,190,191,192], а дальнейшее развитие метод получил в исследованиях их учеников и последователей, в частности, в работах A.M. Самойленко [18,239,242], О. Б. Лыковой [190], Б.й. Моисеенкова [191], Е. А. Гребеникова и Ю. А. Рябова [49−51], Д. И. Мартынюка [181,182, 189,192] и других авторов. Для построения периодических решений дифференциальных уравнений применяются известные эффективные численно-аналитический метод A.M.Самойленко [235−238,240,241] и метод малого параметра Ю. А. Рябова [220−225].

Разностные методы широко используются в вычислительной практике, отличаются простотой вычислительных схем и удобством их реализации на ЭШ. Им посвящены многочисленные работы, в том числе фундаментальные монографии A.A. Самарского [230], A.A. Самарского и A.B. Гулина [231], A.A. Самарского и Ю. П. Попова [232], A.A.Самарского и В. Б. Андреева [233], A.A. Самарского и Е. С. Николаева [234], Г. И. Марчука [185], Н. С. Бахвалова [14], С. К. Годунова и B.C. Рябенького [47], H.H. Яненко[278], И. И. Ляшко, В. Л. Макарова и A.A. Скоробагатько[171]. Заслуживают внимания исследования по теории разностных схем A.A. Самарского [118,174,175], В. Л. Макарова [118−120,172−177] и других авторов, а также работы А.А.Абра-мова[2,3], С. К. Годунова [46], В. Е. Шаманского [276,277],!.-П.Обэ-на [206]по разработке численных методов решения краевых задач. вариационные и проекционные методы, частными случаями которых являются метод Ритца, метод наименьших квадратов, метод Бубно-ва-Галеркина и метод моментов, возникли и развивались в связи с потребностью нахождения экстремумов функционалов и решения краевых задач. Вариационный метод был предложен В. Ритцем [297,298] (1908). Идеи проекционных методов содержатся в работах И.Г. Буб-нова[19](1913) и Б. Г. Галеркина [45](1915). Существенный вклад в обоснование и развитие вариационных и проекционных методов решения уравнений математической физики [36, 116, 246, 265,266] внесли советские ученые, в том числе Н. М. Крылов [103−105], Н. Н. Боголюбов [15,16], М. Ф. Кравчук [95], М.В. Келдыш[90].

Суть проекционных методов состоит в том, что исходное уравнение. f у? ce X fe у з) заменяется более простым уравнением a * W решение которого принимается в качестве приближения к искомому решению. В уравнениях (3) и (4) К и У — банаховы пространства и — оператор проектирования У ъа Уа, а j (и У^У — подпространства одинаковой размерности.

Теория прямых методов, в том числе вариационных и проекционных, была создана благодаря усилиям многих ученых. В ее создание и развитие ощутимый вклад внесли Л.В. Канторович[82,83], С.Г. Мих-лин[194−198], Н.И. Польский[210−213], М. А. Красносельский [96,97,99], Г. М. Вайникко[22−34,99], В. Петришин[292−296]. Установлению критериев сходимости исследованию быстроты сходимости, получению оценок погрешности, изучению устойчивости вычислительных схем, построению новых алгоритмов, различным обобщениям и приложениям прямых методов посвящены многочисленные исследования. Заслуживают внимания в этом направлении, кроме вышеуказанных, работы М.М. Вайн-берга[20,21], Б. Г. Габдулхаева [39−41], М. К. Гавурина [43], Й. К. Даугаве та [52,53], A.B. Джишкариа ни [54−58], В. К. Дзядыка [59−63], М.В. Жук[67,68], В. В. Иванова [75−77], В. П. Ильина [79, 80], И.А.Лу-ковского [130,131], Г. И. Марчука и В. И. Агошкова [186], Г. И. Мар-чука и В. И. Лебедева [187], В. А. Морозова [200−202], А. И. Перова [208], В. Л. Рвачова [129], И.В. Свирского[245]и других авторов.

Прямые методы имеют широкую область применения. Характерной чертой, например, проекционных методов является степенная скорость сходимости, иногда довольно медленная, и проявление вычислительной неустойчивости. Итерационные методы, которым посвящены, например, работы [83, 93, 99, 100, 125, 126, 171,185, 204,205,207,230,234, 270], обладают достоинствами: простота вычислительных схем, показательная скорость сходимости, устойчивость. Вместе с тем им присда и недостатки, к которым, в частности, можно отнести ограниченность области применения. Прямые и итерационные методы широко используются при доказательстве теорем суще.

— б ствования и единственности решений. При построении решений согласно приближенным методам следует учитывать ряд погрешностей, возникающих в процессе реализации метода. Этому вопросу посвящены работы М. Д. Бабича и В. В. Иванова [12,13], В.К. Задираки[71] и других авторов.

Ограниченная область применения метода последовательных приближений и не всегда удовлетворительная скорость сходимости явились стимулом создания методов, ускоряющих сходимость итерационных процессов и расширяющих область их применения. Идея создания таких методов появилась уже давно. Она встречается в работах А.А.Абра-мова[1], М. К. Гавурина [42], В. В. Воробьева [38]и других.

В последние десятилетия появились методы, сочетающие в себе идеи прямых и итерационных методов. К ним относятся метод осреднения функциональных поправок, предложенный Ю. Д. Соколовым [248−25б]и «ЖРметод, разработанный В. И. Лебедевым [121−124]. Дальнейшее развитие таких методов привело к созданию проекционно-итеративного метода.

Идея метода осреднения функциональных поправок применительно к линейному интегр|льному уравнению ГШ ч- ^ ?) уМШ состоит в том, что приближенные его решения строятся на основе формул ?

6 о. а в силу которых в к-{Г И ми*, = И йхсМ. а, а.

Первое обобщение метод получил в работах Э. А. Чернышенко [273−275], которая предложила более общую схему и применила метод к нелинейным уравнениям в нормированном пространстве, однако вопрос обоснования оставался открытым. Дальнейшему развитию метода посвящены работы автора [132−139], в которых дано обоснование метода осреднения функциональных поправок для линейных уравнений (I) и рассмотрены применения этого метода к линейным интегральным уравнениям и краевым задачам для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Обоснованию метода для нелинейных уравнений посвящен цикл работ Н. С. Курпеля [106−115], Он построил ряд общих итерационных процессов, частным случаем которых является, например, алгоритм х^рт^атос^, Н. С. Курпелем достаточные условия сходимости метода (5), названного им проекционно-итератив-ным, таковы, что при их соблюдении оператор Т является ежимающим. Установлению общих критериев сходимости, существенно расширяющих область применения метода (5), посвящены работы автора [143, 150,160, 161]. Заслуживают внимания исследования В. И. Тивончука [258−263], в которых он предложил и обосновал новые варианты метода осреднения функциональных поправок для интегральных уравнений типа Вольтерра и смешанного типа. Применению метода осреднения функциональных поправок к различным клаесам уравнений математической физики и его обобщениям посвящены многие исследования советских и зарубежных авторов. Отметим, например, работы [70,72−74, 102,140,141,144,145,148,154,159, 162−170,218,219, 267,268,279,290] (более подробная библиография приведена в [157]). К данному направлению также тесно примыкают работы автора [142,146,147,149,151−153], в которых изучаются проекционные методы. .

К методам, сочетающим в себе идеи прямых и итерационных, относится метод расщепления, предложенный Г. Н. Положим и П. Н. Чаленко и получивший дальнейшее развитие в работах А. Ф. Калайды, B.C. Середы, Г. П. Головача, В. Ю. Дидыка и других авторов[48, 64−66].

Диссертационная работа посвящена построению теории проекцион-но-итеративных методов решения линейных и нелинейных уравнений и обоснованию применения этих методов к интегральным и дифференциальным уравнениям и их системам, а также разработке вычислительных алгоритмов и осуществлению их реализации на ЭВМ.

Основным объектом исследования являются интегральные уравнения и краевые задачи для дифференциальных уравнений. Однако автор считал целесообразным основы теории проекционно-итеративного метода изложить в абстрактном виде, при этом особо выделяется случай гильбертового пространство, в силу специфики которого получается ряд новых свойств метода. При применении метода к интегральным и дифференциальным уравнениям автор стремился переформулировать основные положения теории для данного класса уравнений и дополнить новыми фактами, непосредственно не вытекающими из общей теории, а также проиллюстрировать эффективность метода на тестовых примерах;

1. Абрамов A.A. Об одном способе ускорения итерационных процессов. — Докл. АН СССР, 1950, 74, № 6, с. 1.5I-I052.

2. Абрамов A.A. Вариант метода прогонки.- Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1961, I, № 2, с. 349−351.

3. Абрамов A.A. О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Журн. вычисл.матем. и мат. физики, 1961, I, № 3, с. 542−545.

4. Азбелев Н. В. О границах применимости теоремы Чаплыгина о дифференциальных неравенствах. Матем. сборник, 1956, 39, № 2, с. 161—178.

5. Азбелев Н. В., Цалюк З. Б. О методе Чаплыгина. Укр.матем.жур-' нал, 1958, 10, № I, с. 3−12.

6. Азбелев Н. В., Цалюк З. Б. Об интегральных неравенствах. Матем. сборник, 1962, 56, № 3, с. 325−342.

7. Азбелев Н. В., Цалюк З. Б. К вопросу о дифференциальном неравенстве. -Дифференц. уравнения, 1965, I, №-4, с. 431−438.

8. Азбелев Н. В., Бардникова М. П., Рахматулина Л. Ф. Интегральные уравнения с отклоняющимся аргументом. Докл. АН СССР, 1970, 192, !й 3, с. 745−748.

9. Азбелев Н. В., Рахматулина Л. Ф. Задача Коши для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Дифференц. уравнения, 1972,8,9, с. 1542−1552.

10. Азбелев Н. В., Березанский Л. М., Рахматулина Л. Ф. О линейном функционально-дифференциальном уравнении эволюционного типа. Дифференц. уравнения, 1977, 13, № II, с. I9I5-I925.

11. Азбелев Н. В., Рахматулина Л. Ф. Функционально-дифференциальные уравнения. Дифференц. уравнения, 1978, 14, № 5, с. 771−797.

12. Бабич М. Д., Иванов B.B. Оценка полной погрешности .при решении нелинейных операторных уравнений методом простой итерации.- Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1967, 7, № 5,с.988−1000.

13. Бабич М. Д., Иванов В. В. Исследование полной погрешности в задачах минимизации функционалов при наличии ограничений.- Укр.мат.журн., 1969,21I, с. 3−14.

14. Бахвалов Н. С. Численные методы. И.: Наука, 1973. — 632 с.

15. Боголюбов М. М. Hobi методи в вар! ац1йному числешп. Хрк. -К.: Техн! ко-теорет. вид-во, 1932. — ПО с.

16. Боголюбов H.H. Избранные труды: В 3-х т.- Киев: Наук. думка, 1969. Т.1.648 с.

17. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1958. — 408с.

18. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А., Саыойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наук, думка, 1969. — 248 с.

19. Бубнов И. Г. Отзыв о сочинениях проф. Тимошенко, удостовенных премии им. Д. И. Журавского. Сб. Ин-та путей сообщений, I913, вып. 81, с. 1−5.

20. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследований нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. — 344 с.

21. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. — 416 с.

22. Вайникко Г. М. Асимптотические оценки погрешности проекционных методов в проблеме собственных значений. Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1964, 4, I" 3, с. 405−425.

23. Вайникко Г. М. Оценка погрешности метода Бубнова-Галеркинав проблеме собственных значений. Журн. вычисл.матем. и мат. физики, 1965, 5, № 4, с. 587−607.

24. Вайникко Г. М. Необходимые и достаточные условия устойчивости метода Галеркина-Петрова. Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1965,177, с. 141−147.

25. Вайникко Г. М. 0 сходимости и устойчивости метода коллокации. Дифференц. уравнения, 1965, I, № 2, с. 244−254.

26. Вайникко Г. М. 0 сходимости метода коллокации для нелинейных дифференциальных уравнений. Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1966, 6, № I, с. 35−42.

27. Вайникко Г. М. Возмущенный метод Галеркина и общая теория приближенных методов для нелинейных уравнений. Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1967,7, Н, с. 723−751.

28. Вайникко Г. М. 0 быстроте сходимости метода моментов для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сиб. мат.журн., 1968,9, Ш I, с. 21−28.

29. Вайникко Г. М. 0 сходных операторах. Докл. АН СССР, 1968,179, № 5, с. 1029−1031. '.

30. Вайникко Г. М. О связи между методами механических квадратур и конечных разностей. Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1969, 9, № 2, с. 259−270.

31. Вайникко Г. М. О сходимости метода коллокации для многомерных интегральных уравнений. Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1970,253, с. 244−257.

32. Вайникко Г. М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений. Тарту: Изд.-во Тартуск. ун-та, 1970. 192 с.

33. Вайникко Г. М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений. В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ, 1979, 18, с. 5−53.

34. Вайникко Г. M. Анализ дискретизационных методов. Тарту: Изд-во Тартуск. ун-та, 1976. — 161 с.

35. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 1980, 520 с.

36. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Физмат-гиз, 1967. — 436 с.

37. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.- М.: Наука, 1976. 280 с.

38. Воробьев Ю. В. Метод моментов в прикладной математике. М.: Физматгиз, 1958. -188 с.

39. Габдулхаев Б. Г. Прямые методы решений некоторых операторных уравнений, 1−1У. Изв. вузов. Математика, 1971,№ II, с.33−44- 1972, К? 12, с. 28−38 -1972, Ш 4, с. 32−43- 1974,№ 3,с.18−31.

40. Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: йзд-во Казане, ун-та, 1980. — 232 с.

41. Габдулхаев Б. Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Матем. анализ, M., 1980, 18, с. 251−308.

42. Гавурин М. К. Применение полиномов наилучшего приближения к улучшению сходимости итеративных процессов. Успехи матем. наук, 1950, 5, вып. 3, с. 156−160.

43. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971. 248 с.

44. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. — 336 с.

45. Галеркин Б. Г. Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок. Вест, инженеров, 1915, Ш 19, с. 897−908.

46. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Успехи матем. наук, 1961, 16, вып. 3, с. I7I-I74.

47. Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. — 440 с.

48. Головач Г. Н., Калайда О. Ф. Наближен! методи розв" язування опе-раторних piBHHHb. К.: Вища школа, 1974. — 248 с.

49. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, I97I. — 432 с.

50. Гребеников Е. А. «Рябов Ю. А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. М.: Наука, 1978. — 126 с.

51. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. M. s Наука, 1979. — 432 с.

52. Даугавет И. К. О быстроте сходимости метода Галеркина для обыкновенных дифференциальных уравнений. Изв. вузов. Математика, 1958, Ш 5(6), с. 158−165.

53. Даугавет И. К. О методе моментов для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сиб. мат.журн., 1965,6, te I, с.70−85.

54. Джишкариани A.B. О быстроте сходимости приближенного метода Ритца. Журн. вычисл.матем. и мат. физики, 1963, 3, N2 4, с. 654−663.

55. Джишкариани A.B. О быстроте сходимости метода Бубнова-Галерки-на. Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1964,4, Ц° 2, с.343−348.

56. Джишкариани A.B. О методе Бубнова-Галеркина. Журн. вычисл. матем. и мат. физика, 1967, 7, № 6, с. 1398−1402.

57. Джишкариани A.B. О методе наименьших квадратов и Бубнова-Галер-кина. Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1968, 8,№ 5,с. III0-III6.

58. Джишкариани A.B. 0 сходимости метода Бубнова-Галеркина для одного типа нелинейного операторного уравнения. Журн.вычисл. матем. и мат. физики, 1973, 13, № 2, с. 459−464.

59. Дзядик В. К. Про застосування лШйних метод! в до наближення пол1номами функгий, HKi е розв" язками ¡-нтегральних р^внянь Фредгольма другого роду. Укр.мат. журн., 1970,22,№ 4,с.448−467. 5, с. 567−578.

60. Дзядык В. К. О применении линейных методов к приближению полиномами решений обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений Гаммерштейна. Изв. АН СССР. Сер, матем., 1970, 34, с. 827−848.

61. Дзядык В. К. Аппроксимационный метод приближения алгебраическими многочленами решений линейных дифференциальных уравнений. -Изв. АН СССР, Сер.матем., 1974, 38, № 4, с. 937−967.

62. Дзядык В. К. Аппроксимационный метод решения дифференциальных уравнений. В кн.: Теория прибл. функций. — М.: Наука, 1977, с. 149−157.

63. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. — 512 с.

64. Д1дик В. Ю. Про розв" язування однрго класу нелШйних 1нтеграль-них р1внянь. Доп. АН УРСР, сер. А, 1968, № 6, с. 508−511.

65. Дидык В. Ю. О приближенном решении одного класса интегральных уравнений. Укр.матем.журн., 1969, 21, -й 4, с. 530−534.

66. Емельянов К. В., Ильин A.M. О числе арифметических действий, необходимом для приближенного решения интегрального уравненияФредгольма П рода. Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1967, 7, № 4, с. 905−910.

67. Жук М. В. Досл1дження швидкост1 зб1Жност1 методу Канторовича.—В кн. Проектfiho-iTepaTHBHi методи розв" язування диференц1альних та 1нтегральних р1внянь.К.:1н-т математики АН УРСР, 1974, с.37−44.

68. Жук М. В. Исследование быстроты сходимости метода Канторовича для нелинейных дифференциальных уравнений. Укр.мат.журн., 1976,28, № 2, с. 183−193.

69. Забрейко П. П., Кошелев А. И. и др. Интегральные уравнения.-М.: Физматгиз, 1968. 448 с.

70. Забрейко П. П., Зленко П. П. Об обобщении метода Ньготона-Канто-ровича на уравнения с недифференцируемыми операторами. Укр. матем .журн., 1982, 34, № 3, с. 365−369.

71. Задирака В. К. Теория вычисления преобразования Фурье. Киев: Наукова думка, 1983. 215 с.

72. Иваницкий В .Г. Приближенное решение одного класса особых интегральных уравнений со сдвигом методом осреднения функциональных поправок. Укр.матем.журн., 1968, 20, № 5,с. 700−705.

73. Иваницкий В. Г. О приближенном решении нелинейного характеристического сингулярного интегрального уравнения с ядром Гиль ^ берта. Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1969, 9, № 5, с. 1177−1179.

74. Иваницкий В. Г., Лучка А. Ю. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений с замкнутым контуром, В кн.: Труды семинара по дифференциальным и интегральным уравнениям.К.: Ин-т математики АН УССР, 1969, с. 211−218.

75. Иванов В. В. О применении метода моментов и смешанного метода к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений. Докл. АН СССР, 1957,114, № 5, с. 945−948.

76. Иванов В. В. Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. В кн.: Математический анализ, 1963, сер. Итоги науки. М.: 1965, с. 125−177.

77. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. -Киев:Наук, думка, 1968. 288 с.

78. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. — 206 с.

79. Ильин В. П. Оценка погрешности в методе Ритца для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1959,53,с.43−63.

80. Ильин В. П. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследованию сходимости вариационных процессов. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1959,53, с. 64−127.

81. Канторович Л. В. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных. Докл. АН СССР, 1934, 2, № 8−9, с. 532−536.

82. Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика. Успехи матем. наук, 1948, 3, № 6(28), с. 89−185.

83. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. -М.: Физматгиз, 1959. 684 с.

84. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Физматгиз, 1962. — 708 с.

85. Карпиловская Э. Б. О сходимости интерполяционного метода для обыкновенных дифференциальных уравнений. Успехи матем. наук, 1953,8, Ш 3, с. III—I18.

86. Карпиловская Э. Б. О сх9димости метода коллокации. Докл. АН СССР, 1963, 151, № 4, с. 766−769.

87. Каспшицька М. Ф. Про один варiант методу колокацП. Доп. АН УРСР. Сер. А, 1967, ¦№" I, с. II8-I2I.

88. Каспшицкая М. Ф., Лучка А. Ю. О методе коллокации. Журн.вычисл. матем. и мат. физики, 1968, 8, № 5, с. 950−964.

89. Каспшицкая М. Ф., Тукалевская Н. И. К вопросу о сходимости метода коллокации. Укр.матем.журн., 1967,19,№ 4, с. 43−56.

90. Келдыш М. В. О методе Б. Г. Галеркина для решения задач. -Изв. АН СССР, Сер.матем., 1942, 6, № 6, с. 309−330.

91. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во Тби-лиск.ун-та, 1975, — 352 с.

92. Киш 0. О сходимости метода совпадения. -Acta math. akad. scient. Hung., 1966, 17, НЗ-4″ с.433−442.

93. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.- М.: Мир, 1969. 448 с.

94. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976. — 320 с.

95. Кравчук М. Г. Застосування способу моментiв до розв" язання лШйних диференцдальних та штегральних р1внянь. К.: ВУАН, 1932, в. I, 222 е.- 1936, в. 2, 216 с.

96. Красносельский М. А. Сходимость метода Галеркина для нелинейных уравнений. Докл. АН СССР, 1950, 73, № 6, с. I121— 1124.

97. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. -392с.

98. Красносельский М. А., Забрейко П. П. и др. Интегральные oneраторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 500 с.

99. Красносельский М. А.,.Вайникко Г. М. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. — 456 с.

100. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. — 512 с.

101. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховомпространстве. М.: Наука, 1967. — 464 с.

102. Кривошеин JI.E. Приближенные методы решения обыкновенных линейных интегро-дифференциальных уравнений. Фрунзе: Изд-во АН Кирг. ССР, 1962. — 184 с.ЮЗ. Крылов Н. М. Избранные труды: В 3-х т. Киев: Изд-во АН УССР, 1961. — T.I.266 с.

103. Крылов Н. М. Избранные труды: В 3-х т. Киев: Изд-во АН УССР, 1961. — Т.2. 308 с.

104. Крылов Н. М. Избранные труды: В 3-х т. Киев: Изд-во АН УССР, 1961. — Т.З. 352 с.

105. Курпель Н. С. О приближенном решении нелинейных операторных уравнений методом Ю. Д. Соколова. Укр.матем.журн., 1963, 15, Ш 3, с. 309−314.

106. Курпель М. С. 0ц1нки похибки проекц1йного методу та методу Ю. Д. Соколова для нелШйних piBHHHb в координатному простор! Доп. АН УРСР, 1963, № 9, с. II35-II39.

107. Курпель М. С. Про один наближений метод розв" язування лшй-них операторних piBHHHb в г1льбертовому npocTopi. Доп. АН УРСР, 1963, Н2 10, с. 1275−1279.

108. Курпель Н. С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. Киев: Наук, думка, 1968. — 244 с.

109. Курпель Н. С. Об одном нестационарном проекционно-итеративном методе. В кн.: Приближенные и качественные методы теории дифференциальных и интегральных уравнений, йн-т матем. АН УССР, I971, с. 73−84.

110. Курпель H.С., Мигович Ф. М. О некоторых обобщениях метода Ньютона-Канторовича. Укр.матем.журн., 1969,21, № 5,с. 594 609.

111. Курпель Н. С., Курченко Т. С. Двусторонние методы решения систем уравнений. Киев: Наук, думка, 1975. — 184 с.

112. Курпель Н. С., Шувар Б. А. Двусторонние операторные неравенства и их применения. Киев: Наук, думка, 1980. — 268 с.

113. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. В 2-х Т.-М.: Гостехиздат, 1951. T. I 476 е.- Т.2. 544 с.

114. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1982. -288 с.

115. Лазаров Р. Д., Макаров В. Л., Самарский A.A. Применение точных разностных схем для построения и исследования разностных схем на обобщенных решениях. Матем. сборник, 1982, 117(159), !Р. 4, с. 469−480.

116. Лазаров Р. Д., Макаров В. Л. Сходимость метода сеток и метода прямых для многомерных задач математической физики в классах обобщенных решений. Докл. АН СССР, 1982, 259, ffa 2, с. 282−286.

117. Лазаров Р. Д., Макаров В. Л. Разностные схемы второго порядка точности для осесимметричного уравнения Пуассона на обобщенных решениях из. Докл. АН СССР, 1982,262I, с. 22−26.

118. Лебедев В. И. О KP-методе ускорения сходимости итераций при решении кинетического уравнения. В кн.: Численные методы решения задач математической физики. — M., 1966, с. 154−176.

119. Лебедев В. И. Об итерационном KP-методе. Журн.вычисл.матем. и мат. физики, 1967, 7, № 6, с. I250−1269.

120. Лебедев В. И. О сходимости КР-метода для некоторых задач переноса. Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1969,9, й I, с. 226−235.

121. Лебедев В. И. О построении операции Р в ЛР-методе.-Журн, вычисл. матем. и мат. физики, 1969,9,, с. 762−774.

122. Лебедев В. И., Финогенов С. А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе. Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1971,11, № 2,с.425−438.

123. Лебедев В. И., Финогенов С. А. Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевских итерационных методах. Журн.вычисл. матем. и мат. физики, 1973, 13, N° 1, с. 18−33.

124. Лерэ Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения.-Успехи матем. наук, 1946,1,вып.3−4,с. 71−95.

125. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.-588 с.

126. Литвин О. М., Рвачов В. Л. Класична формула Тейлора, II уза-гальнення та застосування. К.: Наук, думка, 1973. — 124с.

127. Луковский И. А. Нелинейные колебания жидкости в сосудах сложной геометрической формы. Киев: Наук, думка, 1975.-136с.

128. Луковский И. А. Вариационные методы в нелинейных задачах теории движения твердого тела с полостью, частично заполненной жидкостью. Киев, 1978. — 34 с. (Препринт) АН УССРйн-т математики: 78.22).

129. Лучка А. Ю. Достаточное условие сходимости метода осреднения функциональных поправок. Докл. АН СССР, 1958,122,№ 2,с.179−182.

130. Лучка А. Ю. Приближенное решение интегральных уравнений Фред-гольма методом осреднения функциональных поправок.-Укр.матем.журн., 1960,12, N2 I, с. 32−45.

131. Лучка А. Ю. Приближенное решение линейных операторных уравнений в пространстве Банаха методом Ю. Д. Соколова. -Укр. матем.журн., 1961, 13, № I, с. 39−52.

132. Лучка А. Ю. Наближене розв" язання безконечних систем алгебра!-чних р1внянь методом Ю. Д. Соколова. Доп. АН УРСР, 1961,№ 2, с. 146−149.

133. Лучка А. Ю. Про наближене розв" язання лШйних операторних ргвнянь в просторI Банаха методом Ю. Д. Соколова. Доп. АН УРСР, 1961, № 4, с. 424−428.

134. Лучка А. Ю. Наближене розв" язання безконечних систем лШйних ¡-нтегральних р1внянь методом Ю. Д. Соколова. Доп. АН УРСР, 1962, № 9, с. 1149−1153.

135. Лучка А. Ю. Наближене розв" язання безконечних систем лШйних диференц! альних р1внянь методом Ю. Д. Соколова. Доп. АН УРСР, 1963, № 5, с. 563−567.

136. Лучка А. Ю. Теория и применение метода осреднения функциональных поправок. Киев: йзд-во АН УССР, 1963. — 128 с.

137. Лучка А. Ю. Про застосування методу Ю. Д. Соколова до розв" я-зання задач! Д1р1хле для р! вняння Пуассона. Доп. АН УРСР, 1965, № 4, с. 426−429.

138. Лучка А. Ю. Про застосування методу Ю. Д. Соколова до розв" язан-ня зовнтньо! задач1 Неймана для р1внянь Пуассона. Доп. АН УРСР, 1965, Ш 5, с. 547−550.

139. Лучка А. Ю. Про оц1нки похибки I швидк1сть зб1жност1 проеший-них метод1 В. Доп. АН УРСР. Сер. А, 1969, Н? 2, с. 121−124.

140. Лучка А. Ю. Об одном достаточном условии сходимости и оценка погрешности метода осреднения функциональных поправок. В кн.: Вопросы точности и эффективности вычислительных алгоритмов, Киев: йн-т математики АН УССР, 1969, с. 127−141.

141. Лучка А. Ю. Про зб1жн1сть методу осереднення фуншцональних поправок.-Доп. АН УРСР. Сер. А, 1969, № 10, с. 878−881.

142. Лучка А. Ю. Ускорение сходимости градиентных методов. В кн.: математическое обеспечение ЭЦШ и эффективность организации вычислительных процессов. Киев: йн-т кибернетики АН УССР, 1969, с. 58−65.

143. Лучка А. Ю. 0 быстроте сходимости некоторых проекционных методов для линейных операторных уравнений. Укр.матем.журн., 1971, 23, № 3, с. 307−317.

144. Лучка А. Ю. Про достатн1 умови зб1жност1 методу Гальорк1наПетрова. Доп. АН УРСР, Сер. А, 1971, № 7, с. 594−598.

145. Лучка А. Ю. 0 сходимости и устойчивости проекционных и проек-ционно-итеративных методов. В кн.: Матем. обеспечение ЭЦВМ. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1972, с. 228−236.

146. Лучка А. Ю. Розв" язування крайово! задач! для лШйних звичайних диференщальних р1внянь другого порядку модифхкованим ск1нченно-р1зницевим методом. Доп. АН УРСР. Сер. А, 1973,1 9, с. 805−810.

147. Лучка А. Ю. Застосування проекц1йно-1теративних методов до нелШйних р1внянь з необмеженими операторами. У кн.: Проек-ц1йно-1теративн1 методи розвпязування диференц1альних та ¡-нтегральних р1внянь. Ки1в: 1н-т математики АН УРСР, 1974, с. 100−1II.

148. Лучка А. Ю. Про CTiiteiCTb проекцШних метод1 В для нелШйних Р1внянъ з необмеженими операторами. Доп. АН УРСР, Сер. А, 1974, № 6, с. 508−511.

149. Лучка А. Ю. Про CTiftKioTb проекц1йних метод1 В для лШйних piвнянь з необмеженими операторами. Доп. АН УРСР, Сер. А, № 8, с. 705−709.

150. Лучка А. Ю. Аппроксимация элементов в гильбертовом пространстве и приближенное решение дифференциальных и интегральных уравнений. В кн.: Оптимизация вычислений. Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1975, с. 53−57.

151. Лучка А. Ю. Аппроксимационно-итеративный метод. В кн.: Приближенные и качественные методы теории дифференциальных и дифференциально-функциональных уравнений. — Киев: йн-т математики АН УССР, 1979, с. 32−41.

152. Лучка А. Ю. Применение проекционно-итеративных методов к уравнениям первого рода. Докл. АН УССР. Сер. А, 1978. 1 7, с. 591−594.

153. Лучка А. Ю. О применении проекционно-итеративных методов к системам линейных алгебраических уравнений. Докл. АН УССР. Сер. А, 1978, № 9, с. 785−789.

154. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Наук. думка, 1980. 264 с.

155. Лучка А. Ю. Быстрота сходимости проекционно-итеративного метода для интегральных уравнений. Укр.матем. журн., 1981, 33, № 2, с. 190−198.

156. Лучка А. Ю. О краевой задаче для линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. В кн.: Дифференциально-функциональные и разностные уравнения. — Киев: йн-т математики АН УССР, 1981, с. 35−36.

157. Лучка А. Ю. Критерии сходимости проекционно-итеративного метода для нелинейных уравнений. Препринт 82.24, ИМ АН УССР, 1982. — 54 с.

158. Лучка А. Ю. Вариационно-итеративный метод. Препринт 83.55, ИМ АН УССР, 1983. — 52 с.

159. Лучка А. Ю., Курпель Н. С. Об одном нестационарном итерационном методе приближенного решения линейных операторных уравнений. Укр.матем.журн., 1964, 16, № 3, с. 389−395.

160. Лучка А. Ю., Рощин В. А. О приближенном решении линейного интегрального уравнения типа свертки. В кн.: Приближенные и качественные методы теории дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Йн-т математики АН УССР, 1971, е.133−141.

161. Лучка А. Ю., Ярмуш Я. И. О решении систем линейных конечно-разностных уравнений проекционно-итеративным методом. Известия вузов. Математика, 1976, № 5, с. 54−64.

162. Лучка А. Ю., Ярмуш Я. И. Решение системы конечно-разностных уравнений с малой нелинейностью проекционно-итеративным методом. Препринт 79.6, ИМ АН УССР, 1979, с. 20−30.

163. Лучка А. Ю., Ярмуш ЯЛ. Розв" язування крайово! задач1 для Л1н1йних звичайних диференщальних р1внянь четвертого порядку модиф1кованим р1зницевим методом. Доп. АН УРСР, Сер. А, 1981,11, с. 24−27.

164. Лучка А. Ю., Тукалевская Н.й. Проекционно-итеративный метод решения интегральных уравнений, основанный на интерполяционных сплайнах. Укр.матем.журн., 1979, 31,® 6, с.683−691.

165. Лучка А. Ю. «Габрель О. М. Приближенные решения задачи Валле-Пуссена для обыкновенных дифференциальных уравнений проек-ционно-итеративным методом. Докл. АН УССР.Сер.А, 1982,8, с. 18−22.

166. Ляшко И, И., Макаров В. Л., Скоробогатько A.A., Методы вычислений. Киев: Наук, думка, 1977. — 408 с.

167. Макаров В. А. Разностные схемы с точными и явными спектрами. I. -Препринт 74−12, ИМ АН УССР, 1974. 12 с.

168. Макаров В. А. Разностные схемы с точными и явными спектрами. П. Препринт 14−13, ИМ АН УССР, 1974. — 10 с.

169. Макаров В. Л., Самарский A.A. Применение точных разностных схем к оценке скорости сходимости метода прямых. -Препринт № ИЗ, ИПМ АН СССР им. Келдыша В. М., 1979. 30 с.

170. Макаров В. Л., Самарский A.A. Применение точных разностных схем к оценке скорости сходимости метода прямых. Журн.вычисл. матем. и мат. физики, 1980,20, 2, с. 371−387.

171. Макаров В. Л., Гаврилюк И. П., Пирназаров С. П. Согласованные оценки скорости сходимости разностных решений к обобценным решениям первой краевой задачи для уравнений четвертого порядка. Известия вузов. Математика, 1983 ,№ 2(492), с.15−22.

172. Макаров В. Л., Слушаенко Н. В. Согласованные оценки скорости сходимости метода сеток для квазилинейных уравнений эллиптического типа с большой константой Липшица Дифференц. уравнения, 1983, 19, Ч? 7, с. 1246−1250.

173. Мартынюк А. Е. Некоторые приближенные методы решения нелинейных уравнений с неограниченными операторами. Известия вузов. Математика, 1966, № 6, с. 85−94.

174. Мартынюк А. Е. Об одном комбинированном приближенном методе. Укр.матем.журн., 1971, № 23, № б, с. 781−788.

175. Мартынюк А. Е. О методе ГалеркинаКрылова и скорости его сходимости. Укр.матем.журн., 1978, 30, № б, с. 757−767.

176. Мартынюк Д. И. Лекции по теории устойчивости решений систем с последействием. Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1971. 177 с.

177. Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. Киев: Наук, думка, 1972. — 246 с.

178. Мартынюк Д. И. Исследование окрестности гладкого инвариантного тороидального многообразия системы разностных уравнений. Дифференц. уравнения, 1975, II, te 8, с. 1474−1484.

179. Мартынюк Д. И., Самойленко A.M. О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием. -Математическая физика, Киев: Наук, думка, 1967, с.128−145.

180. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.:Наука, 1980. — 536 с.

181. Марчук Г. И., Агошков В. И.

Введение

в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. — 416 с.

182. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1971. — 496 с.

183. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике.- Наук, думка, 1971. 440 с.

184. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием. Киев: ИМ АН УССР, 1969.-309с.

185. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973. — 506 с.

186. Митропольский Ю. А., Мосеенков Б. И. Асимптотические решения уравнений в частных производных. -Киев: Вища школа, 1976. 590 с.

187. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. -Киев: Вища школа, 1979. 248 с.

188. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И., Данканич В. А. Метод Галеркина в теории квазипериодических решений нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Укр.матем. журн., 1980, 82, № 4, с. 553−557.

189. Михлин С. Г. 0 сходимости метода наименьших квадратов.-Докл. АН СССР, 1948, 59, № 7, с. 1245−1247.

190. Михлин С. Г. О сходимости метода Галеркина. Докл. АН СССР, 1948, 61, № 2, с. 197−199.

191. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала.41.: Л.: Гостехидат, 1952. 216 с.

192. Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. Наука, 1966. 432 с.

193. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике.- М.: Наука, 1970. 512 с.

194. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, I971. — 424 с.

195. Морозов В. А. О приближенном решении операторных уравнений методом сплайнов. Докл. АН СССР, I97I, 200,№ I, с.35−38.

196. Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи.- Итоги науки и техники. Математический анализ, II.41.: ВИНИТИ, 1973, с. 129−178.

197. Морозов В. А. О принципе оптимальности невязки при приближенном решении уравнений с нелинейными операторами. Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1974,14, № 4, с. 819−827.

198. Немыцкий В. В. Метод неподвижных точек в анализе.- Успехи матем. наук, 1936, I, с. I4I-I74.

199. Николаев Е. С., Самарский A.A. О вычислительной устойчивости двухслойных и трехслойных итерационных схем. -Журн. вычисл. матем. и мат. физики, 1972,12,№ 5, с. 1197−1207.

200. Николаев Е. С. Нелинейное ускорение двухслойных итерационных методов вариационного типа. Журн. вычислит, матем. и мат. физики, 1976, 16, Ш 6, с. I381−1387.

201. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977. 384 с.

202. Ортега Дж., Рейнбольд В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. — 560 с.

203. Перов А. И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний. Воронеж: Изд-во Воронежск. ун-та, 1981. — 196 с. 2091 Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. — 304 с.

204. Польский Н. И. Некоторые обобщения метода Б. Г. Галеркина.- Докл. АН СССР, 1952, 86, № 3, с. 469−472.

205. Польский Н. И. О сходимости некоторых приближенных методов анализа. Укр.матем.журн., 1955, 7, № 1,с. 56−70.

206. Польский Н. И. Об одной общей схеме применения приближенных методов. Докл. АН СССР, 1956, III, 1 6, с. II8I-II84.

207. Польский Н. И. Проекционные методы в прикладной математике.- Докл. АН СССР, 1962, 143, to 4, с. 787−180.

208. Рахматулина Л. Ф. К теории линейных уравнений с функциональным аргументом. Дифференц. уравнения, 1972, 8, № 3,с.523−528.

209. Рахматулина Л. Ф. О канонических формах линейных функционально-дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1975, II, № 12, с. 2143−2153.

210. Рахматулина Л. Ф. Оператор Грина и реализация линейных краевых задач. Дифференц. уравнения, 1979, 15, № 3, с.426−435.

211. Ронто Н.й. Применение метода коллокации для решения краевых задач. Укр. матем. журн., 1971, 23, № 3,с. 415−421.

212. Рощин В. О. Про один метод наближеного розв" язання 1нтеграль-ного р1вняння типу згортки. Доп. АН УРСР. Сер. А, 1969, № 10, с. 905−909.

213. Рощин В. О. Наближене розв" язуванняИнтегрального р! вняння типу згортки методом Ю. Д. Соколова. Доп. АН УРСР. Сер. А, 1⁷⁰, № 2, с. 1079−1083.

214. Рябов Ю. А. Применение метода малого параметра к исследованию систем автоматического регулирования с запаздыванием. -Автоматика и телемеханика, 1960, 21, № 6, с. 729−739.

215. Рябов Ю. А. Применение метода малого параметра Ляпунова-Пуанкаре в теории систем с запаздыванием. Инженерный журн. АН СССР, 1961, I, № 2, с. 3−15.

216. Рябов Ю. А. Применение метода малого параметра для построения решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Докл. АН СССР, 1960, 133,№ 2, с. 288−291.

217. Рябов Ю. А. Об одном способе оценки области применимости метода малого параметра в теории нелинейных колебаний. Инженерный журн. АН СССР, 1961,1,вып.I, с.16−28.

218. Рябов Ю. А. Об оценке области применимости метода малого параметра в теории нелинейных колебаний. Инженерный журн., АН СССР, 1961,1, вып. 3, с. 3−21.

219. Рябов Ю. А. Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздыванием. -Труды семинара по теории дифф. уравн. с откл. аргументом (Ун-т Дружбы народов), 1962, вып. I, с. 103—113.

220. Рябов Ю. А. Анализ нелинейных колебаний систем с малым запаздыванием. В кн.: Второй всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. -М.: Наука, 1964, с. 181—189.

221. Рябов Ю. А. Анализ нелинейных колебаний систем с малым запаздыванием. III Konferenz uber nichtlineare Schwingungen, I. AkademieVerlag, Berlin, 1965, c.94−99.

222. Рябов Ю. А. 0 периодических-решениях и о методе малого параметра для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. -Honlinear Vibration Problems, v.15. Warszawa, 1974, с.67−73.

223. Рябов Ю. А., Толмачев И. Л. Построение условно-периодических решений в задачах теории нелинейных колебаний с помощью ЭВМ.- В кн.: Труды У Между, конф. по нелинейным колебаниям, т.I.- Киев: Наук, думка, 1970, с. 489−493.

224. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

225. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем.- М.: Наука, 1973. 416 с.

226. Самарский A.A., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики.- М.: Наука, 1975. 352 с.

227. Самарский A.A., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. — 352 с.

228. Самарский A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. — 592 с.

229. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. I. Укр.матем.журн., 1965, 17, 4, с. 82−93.

230. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. П. Укр.матем.журн., 1966, 18, № 2,с. 50−59.

231. Самойленко A.M. Численно-аналитический метод исследования счетных систем периодических дифференциальных уравнений. Математическая физика, 1966, с. 115−132.

232. Самойленко A.M. 0 периодических решениях нелинейных уравнений второго порядка. Дифференц. уравнения, 1967, 3,№ II, с. 1903;1912.

233. Самойленко A.M., Мосеенков Б. И. Итерационные методы решения нелинейных уравнений с частными производными, близкихк линейным .-Препринт 80.10, Ин-т мат. АН УССР, I980.-44 с.

234. Самойленко A.M., Ронто В. А. О численно-аналитическом методе решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Укр.матем.журн., 1981, 33, № 4,с. 467−475.

235. Самойленко A.M., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вища школа, 1976. — 184 с.

236. Самойленко A.M., Мартынюк Д. И., Перестгок H.A. Инвариантные торы разностных уравнений. Дифференц. уравнения, 1973, 9, № 10, с. 1904;1910.

237. Самойленко A.M., Парасюк 1.0. Про метод Гальорк1на в теорИ збурень 1нвар1антних торгв. Доп. АН УРСР.Сер.А, 1977,№ 2, с. 112−115.

238. Самойленко A.M., Нуржанов О. Д. Метод Бубнова-Галеркина построения периодических решений интегро-дифференциаль-ных уравнений типа Вольтерра. Дифференц. уравнения, 1979, 15, № 8, с. I503-I5I7.

239. Свирский И. В. Методы Бубнова-Галеркина и последовательных приближений. М.: Наука, 1968. — 199 с.

240. Соболев C.JI. Уравнения математической физики. М.: Гос-техиздат, 1947. — 440 с.

241. Соболев C.JI. Некоторые приложения функционального анализак математической физике. Ленинград: йзд-во Ленингр. ун-та, 1950. — 255 с.

242. Соколов Ю. Д. О методе осреднения функциональных поправок.- Укр.матем.журн., 1957, 9, 1 I, с. 82−100.

243. Соколов Ю. Д. О применении метода осреднения функциональных поправок к нелинейным интегральным уравнениям. -Укр. матем.журн., 1957, 9, № 4, с. 394−411.

244. Соколов Ю. Д. О приближенном решении линейных интегральных уравнений типа Вольтерра. Укр.матем.журн., 1958,10,№ 2, с. 193−208.

245. Соколов Ю. Д. Об одном методе приближенного решения нелинейных интегральных уравнений с переменными пределами.- Укр.матем.журн., 1958, 10, № 4, с. 419−433.

246. Соколов Ю. Д. О применении метода осреднения функциональных поправок к линейным относительно производных дифференциальным уравнениям параболического типа. Укр. матем, журн., I960, 12, № 2, с. I81—I95.

247. Соколов Ю. Д. Об одном методе приближенного решения систем линейных интегральных уравнений. Укр.матем.журн., I961, 13, Н, с. 79−87.

248. Соколов Ю. Д. Об одном методе приближенного решения систем нелинейных интегральных уравнений с постоянными пределами. Укр.матем.журн., 1963, 15, № I, с. 58−70.

249. Соколов Ю. Д. О достаточных признаках сходимости метода осреднения функциональных поправок. Укр.матем.журн., 1965, 17, № 3, с. 91−103.

250. Соколов Ю. Д. Метод осреднения функциональных поправок. -Киев: Наук, думка, 1968. 336 с.

251. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976. — 248 с.

252. Тивончук B.I. Про розв" язування лШйних 1нтегральних р! внянь 3MimaHoro типу за допомогою одного вар! анта методу Ю. Д. Соколова. Доп. АН УРСР, 1964, Щ 12, с. 1559−1563.

253. Тивончук В. И. О решении линейных интегральных уравнений типа Вольтерра при помощи одного варианта метода Ю. Д. Соколова. Укр.матем.журн., 1965, 17, № 1,с.77−88.

254. Тивончук В. И. О решении линейных интегральных уравнений Вольтерра и уравнений смешанного типа в пространстве Lp при помощи одного варианта метода Ю. Д. Соколова. Укр. матем.журн., 1965, 17, № 4, с. 133−139.

255. Тивончук В. И. Об одном варианте методе осреднения функциональных поправок для решения линейных интегральных уравнений смешанного типа. Дифференц. уравнения, 1966, 2,1 9, с. I228−1238.

256. Тивончук В. И. О решении нелинейных интегральных уравнений с переменными пределами методом осреднения функциональных поправок. Укр.матем.журн., 1969, 21, № I, с.133−139.

257. Тивончук В. И. О решении нелинейных интегральных уравнений смешанного типа методом осреднения функциональных поправок.- Дифференц. уравнения f 1969, 5, № 3, с. 568−573.

258. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1976. — 224 с.

259. Тихонов А. Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. — 736 с.

260. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: Иностранная литература, i960. — 300 с.

261. Тукалевська-H.I. Про один метод розв" язування лШйних iH-тегральних р1внянь типу Вольтерра. Доп. АН УРСР, 1965,®- 8, с. 998−1002.

262. Тукалевська H.I. Про один метод наближеного розв" язання Л1 ¦ н1йних 1нтегральних р1внянь вольтерр! вського типу в Knaciфунший. Доп. АН УРСР, 1966, Ш 3, с. 299−302.

263. Урабе М. Метод Галеркина для нелинейных периодических систем. Механика (периодический сборник переводов иностранных статей), 1966, 97, № 3, с. 3−34.

264. Фадеев Д. К., Фадеева-В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. M.-JI.- Физматгиз, 1963. — 736 с.

265. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. -М.: Наука, 1978. 488 с.

266. Фридман В. М. Новые методы решения линейного операторного уравнения. Докл. АН СССР, 1959, 128, Ш 3, с. 482−484.

267. Чернышенко Э. А. Исследование сходимости и установление оценки погрешности метода усреднения в полном нормированном пространстве. Укр.матем.журн., 1954, 6, № 3,с.305−313.

268. Чернышенко Е. А. Про один вар|ант методу осереднення.-Доп. АН УРСР, 1956, № I, с. 10−12.

269. Чернышенко Э. А. Об одном методе приближенного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.- Укр.матем.журн., 1958, 10, № I, с. 89−100.

270. Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМВ 2-х т. Киев: йзд-во АН УССР, 1963. — T.I. — 196 с.

271. Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ: В 2-х т. Киев: Наук, думка, 1966. — Т.2. — 244 с.

272. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. — 196 с.

273. Ярмуш Я. И. О быстроте сходимости проекционно-итеративного метода для линейных интегральных уравнений. В кн.: Математический сборник, 1976, с. 228−231.

274. Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrates.- Fand. Math., 1922, 3, p.133−181.

275. Browder F.E. Fixed point theorems for nonlinear semicon-tractive mappings in Banach spaces.- Arch. Ration. Mech. Analysis, 1966, 21, IT 4, p.259−269.

276. Browder F.E. Nonlinear maximal monotone operators in Banach space.- Math. Ann, 1968, 175, p.85−113.

277. Nonlinear functional analysis and nonlinear integral equations of Hammerstein and Uryschn type. Contributions to nonlinear functional analysis (ed E. Zarantonello), New York, 1971, p.425−500.

278. Browder F.E., Petryschyn W.V. Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert space, J.Math.Anal.Appl., 1967, 20, p.197−228.

279. Caccioppoli R. Sugli elementi uniti delle transformazioni funzionali: un’osservazione sui problem! di valori ai limi-ti. Acc.Naz.Lincei, 1931, 6, N13, p.498−502.

280. Luchka A.Ju. The method of averaging functional corrections: theory and applications. lev/ York and London, Academic Press, 1965. — 136 p.

281. Minty G. J* Monotone (non linear) operators in Hilbert space.- Duke Math. J., 1962, 29, p.341−346.

282. Minty G.J. On monotonicity method for the solution of nonlinear equations in Banach spaces. Proc. Hat. Acad. Sci. USA, 1963, 50, p.1038−1041.

283. Mock M.S. On sufficiently fine mesh for quasilinear elliptic equations. Communie, on pure and appl. mathem., 1974, 27, p.351−360.291. lieumanu C. Untersuchungen uber das logarithmische und Uewtonische Potential. Leipzig, 1877.

284. Petryschyn W.V. Direct and iterative methods for the solution of linear operator equations in Hilbert space.-Trans. Amer. Math. Soc., 1962, 105, p.136−175.

285. Petryshyn W.V. On a class of K-p.d. operators and operators equations. J.Math.Anal.Appl., 1965, 10, p.1−24,.

286. Petryshyn W.V. Projection methods in nonlinear numerical functional analysis. J.Math. Mech., 1967, 17, 1*4,p. 353−372.

287. Ritz W. Uber eine neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik.- J. fur die reine und angew. Math., 1908, 135, H. 1, S. 1−62.

288. Ritz W. ?Theorie der Iransversal-schwingungen einer quadratischen Platte mit freien Rander. Ann. der Physik, 1909, 28, N4, S.737−786.299″ Schauder J. Der Fixpunktzatz in Functionalraumen. Stad. Math., 1930, 2, S, 171−180.

289. Tichonow A.H. Ein Fixpunktsatz. Math. Ann., 1935, 111, S. 767−776.