Одноинвариантные линейные группы

Определение 1. Пусть У линейное пространство над полем К и (3 < СЬ (У), будем говорить, что С действует на линейном пространстве V без неподвиэ/сных точек, если для любых д? (2, д ф 1, уо = {у е у |д{у) = V} = 0.

Если К = Е или К — С, а группа О—конечна, то классификация таких групп это классический результат Цассеихауза-Винсента. Такая классификация, как известно, решает проблему классификации полных связных римановых многообразий постоянной кривизны, то есть проблему Клиффорда-Клейна о сферических пространственных формах (см. [?]). Для произвольного ноля характеристики ноль, задача классификации конечных групп, сводится, но крайней мере теоретически, к случаю К = С. Также можно описывать и конечные линейные группы, действующие без неподвижных точек и для произвольных полей, характеристика, которых не делит порядок группы, «поднимая представления в характеристику ноль» .

Интерес к конечным линейным группам, действующим без неподвижных точек, вызван еще и следующим методом, используемым в теории инвариантов. Рассмотрим алгебру многочленов К[У] пространства V. Главная задача теории инвариантов описать алгебру инвариантов К[У]С. Однако описание алгебры в виде базисных инвариантных многочленов и соотношений между ними — довольно трудоемкая задача. Кроме того, даже явный вид образующих и соотношений не всегда сразу дает ответ на некоторые качественные вопросы о строении алгебры инвариантов. В последние 20−25 лет прошлого века, развилась теория, позволяющая дать оценки сложности" алгебры инвариантов без непосредственного вычисления образующих и соотношений (под «сложностыо» здесь мы понимаем набор численных параметров алгебры инвариантов, таких как, коразмерность, гомологическая размерность, числа Бети, дефект, глубина и так далее). Суть этого подхода, так называемого «слайс-метода», состоит в замене алгебры инвариантов всей группы на алгебру инвариантов некоторых подгрупп, у которых такие алгебры устроены не «хуже», чем вся алгебра инвариантов. Для маленьких подгрупп удается вычислить параметры алгебр инвариантов и, таким образом, оценить сложность изначальной алгебры [см. ВП]. В случае конечных групп метод состоит в следующем. Пусть = {д Е С? |д (у) = у], < С? — стабилизатор вектора у. Оказывается, что сложность алгебры инвариантов К[У]Сь не меньше сложности алгебры инвариантов К[У]а. Теперь посмотрим, что таким образом мы можем действовать (упрощать задачу) до тех пор, пока не окажется, что для всех у ф 0 € V имеем = е, это и есть группа действующая без неподвижных точек. Однако, такая схема не всегда работает, если характеристика поля делит порядок группы.

Пусть теперь поле К конечной характеристики р и нас интересуют конечные группы действующие без неподвижных точек на множестве У/{0}. Если порядок группы не делится на р, то этот случай сводится к случаю нулевой характеристики и может быть получен из результатов Цассенхауза-Винсента .

Однако, если порядок группы С делится па р, то группа (2 не может действовать без неподвижных точек. Поскольку 15 группе в можно рассмотреть р—подгруппу, она триангулизируется над нолем характеристики р и при этом собственные значения элементов равны 1, так как в иоле К характеристики р нет корней степени р из 1.

Один из способов обобщения действия без неподвижных точек в этом случае рассматривается в работах Л. Сига1шск, Л. Viegaiid, [СУ] и Р. РкчйсЬтапп, У. Ьешркеп, Р.Н. ТЛср [ИЛ!]. А именно,.

Определение 2. Группа С? называется полурегулярной, если для всех полупростых элементов д, V9 = О.

В этой работе мы ввели другое обобщение.

Определение 3. Будем называть группу (7 < СЬ (У) одиоипвариаптной, если V9 = Vе, для всех д Е (7, д Ф 1.

Одпоипвариантность является естественным аналогом действия без неподвижных точек. Действительно, пусть С < ОЬ (у) одноинвариантна, тогда определенная выше подгруппа Су тривиальна (либо совпадает с С, либо с 1). То есть тоже является последним шагом в «упрощении» группы С для указанных выше целей теории инвариантов.

Заметим, что если (3 одноинвариантна, то естественный образ (3 в СЬ (У/У°) является полурегулярной группой. Конечные полурегулярные группы классифицированы в выше перечисленных работах. Некоторые свойства одноинвариаитпых групп могут быть выведены из свойств полурегулярных, но мы доказывали их независимо.

В первой главе работы рассмотрены общие свойства одноинвариаитпых групп. Для конечных групп получены следующие результаты.

Теорема 1. Пусть конечная группа С < СЬ (У), V линейное пространство над полем К характеристики р, и порядок С? делится па р, тогда (7 = IIИ полупрямое произведение, где.

1. и — нормальная элементарная абелева р— подгр) ппа,.

2. И действует на II сопря’жением без неподвижных точек.

3. И циклическая группа (порядка д).

4−1/ ~ Ь+ ф. 0 а В < Ь*, где Ь — некоторое поле Ь = Рр (е), е = </1.

Основные свойства конечных одноинвариантных групп обобщаются и для бесконечных групп с некоторыми дополнительными условиями.

Например, для групп содержащих унипотеитный элемент имеем.

Пусть С? < СЬ{у) однот ¿-вариантная группа, где V конечномерное векторное пространство над полем К. И пусть и < (7 максимальная унипотентная подгруппа С, тогда.

1. 11—коммутативная группа.

2. Пусть II ф 1 и М < (7 максимальная абелева нормальная подгруппа. Предполоэюим, М ф 1. Тогда М = II.

Так же рассмотрен случай связных алгебраических групп над полем пулевой характеристики. Получен следующий результат.

Пусть С < ОЬТ1 связная линейная алгебраическая группа, определённая над полем К характеристики ноль и пусть С = 0{К) < СЬп (К)-одноинваршитиая линейная группа. Тогда.

1. С = II • И, где В = О (К) для некоторой связной редуктивной К-группы Б и и = 11и (С)(К);

2. и = Кт;

3. группа Б действует (сопряэюением) на и без неподвижных точек.

В данной работе, однако, мы делаем акцент на описании конечных одноинвариантных групп, порядок которых делится на char /Г = р ф 0. Разумеется трудно предположить, что возможна полная классификация таких групп. Поэтому, мы рассматриваем здесь лишь Пмалеиькие" группы. Как показывает опыт теории линейных групп, у, сложных" линейиых групп, скажем у неприводимых, как правило встречаются именно маленькие группы в качестве наименьших стабилизаторов точек (см. А. Залесский). Поэтому такая стратегия представляется оправданной, скажем, с точки зрения теории инвариантов.

Будем рассматривать лишь неразложимые G-модул и. Напомним, что G-модуль V называется разложимым если V = V ф V2, при этом V, V2 ~ это G-модули.

Простейшим случаем, очевидно, является случай: |С?| = р. В этом случае G=U= циклическая группа порядка р, при этом и — жорданов блок размера < р..

Во второй главе работы классифицированы одноипвариантные группы порядка pq, где (q, p) = 1. Это следующий шаг после жордановых блоков. Получен следующий результат..

Теорема 2. Пусть К алгебраически замкнутое поле характеристики р, V — линейное пространство над полем К, dimV = п, G < GL (V) одиоипваршитная неразлоэюимая группа, тогда.

1. п < min (p, (/), где q' наименьший простой делитель q.

2. (7 = 11 Б, где и =< и >, Б =< 8 > при этом в некотором базисе и = ехр.

1 0. 0.

О 0 1. О.

О 0 0. 1 у 0 0 0. о/ 5 = к" -1 0. О.

О кп~2 0. О О.

О 0. к О 0 0 0. 1/ где к некоторый первообразный корень из единицы степени д..

В третьей главе работы дана классификация одноинвариантных групп порядка р2, то есть 0=11, при дополнительном условии Ю—длина 1. Здесь и далее нам понадобится понятие Ю—длины группы..

Определение 4. Пусть V — й модуль. Пусть также.

У0 < VI <. < Ут = V, где Уо = Vе, У{+ = {у Е V | д (у) = г-(тосЩ) для любого д Е С?}. Далее обозначим т = 1/с (К) и назовемдлиной группы (? число т..

Заметим, что если О действует одноинвариантпо на V, то и на У тоже. Поэтому сначала естественно поставить задачу классифицировать группы /с длины 1..

Вопрос классификации неразложимых представлений групп типа (р, р) над нолем характеристики р (без условий одноинвариантности и длины один) исследован в работах В. А. Башева [Б] и С. А. Кругляка [К]. В работе [Б] дана полная классификация представлений групп типа (2,2) над нолем характеристики 2. При условии одноинвариантности группы мы получаем в случае характеристики 2 ту же классификацию. В этой работе мы решили вопрос классификации представлений групп типа (р, р) над полем характеристики р при дополнительных условиях одноинвариантпости и /<?—длины один, а также показали (глава 3), что случае длины больше 1 характеристики поля больше 2, пет конечной классификации таких групп..

Теорема 3. Пусть К— поле характеристики р. Пусть группа (7 = (сг, г),, где ар = тр = 1, от = та. Далее, пусть V — иеразлоэ/симый одпоипвариаитпый С—модуль Ю—длины 1. Пусть такэюе коразмерность Vе равна к. Тогда размерность V либо 2к + 1, либо 2к. Более того, для любого т = 2к + 1 существует единственный такой С—модуль. Для любого т = 2к существует такой С—модуль, при этом, если К бесконечное поле, то число исизоморфпых неразлоэ1симых К[0—модулей бесконечно..

Идея доказательства этой теоремы, а также общий метод решения дальнейших вопросов заключается в следующем..

Пусть сейчас С = С/ < (71/(У) и однойнвариантпа. Тогда в некотором базисе все элементы группы д Е С имеют вид: где т = dim V, т — k = diml^. Более того если обозначить А (д) Е Mkx. m-k{K) матрицу в верхнем правом углу, то rank Л (7) = к для всех 1 0 0 ••• 0 aik+i ••• aim О 1 0 ••• 0 а2к+1 ••• а2т д= 0 0 0 ••• 1 акш •• О 0 0 ••• 0 1 •• к т О О О О ••• 0 0 ••• 1/.

A (gl92) = A{gi) + А (д2) для любых 01, д2? С?. Таким образом, задача сводится к классификации матриц стоящих в верхнем правом углу. Заметим также, что если то A (SgS~l) = ?А (7)С-1. То есть мы можем проделывать элементарные операции с матрицей Л (д). Таким образом, задача классификаци групп одиоиивариантиых линейных групп порядка р2 сводиться к задаче классификации орбит пар матриц (Ai,^), удовлетворяющих некоторому дополнительному условию..

Следует отметить, что единственный G— модуль, который получается в случае m = 2к + 1 в точности совпадает с примером ХеллераРайнера неразложимого G-модуля для группы типа |KR]. У.

Следующий случай, когда |(т| = р3, рассматривается в четвёртой главе работы. Мы опять предполагаем, что 1д—длина группы G равна 1. Здесь получены следующие результаты..

Теорема 5. Пусть К — поле характеристики р. Пусть группа G = (.

1. при 0 < m < к число неизоморфных неразлоэ/симых K[G]— модулей бесконечно..

2. при m > у + к модуль V— разложим..

Случай к < т < у + к остается открытым. По-видимому, он требует очень большой технической работы..

При доказательстве (1) построены следующие примеры неизоморфиых модулей. а. при И1=0 уже в случае р2 построеныб. при 1 < т < к.

А (а1) = (Ек Окхш)} А{а2) = (М1 0кхт), = (0кхт Ек), где, а 1 0 ••• 0 0 а 1 ••• 0.

Мх =.

0 0 • • • а 1 0 0 ••• 0 а ].

Заметим, что в случае т = к аналогичное представление разложимо. Поэтому нужен другой пример, в. при т = к.

А (а,) = (Ек | 0), А (а2) = (0 | Ек), А (а3) = | М2), где.

М =.

0 ••• 0 0 О а2 0 • • • О 0 0 • • • 0 ак) при этом агф а.] для всех г ф ] и аг- ^ Рр при любом г,.

О 1 о •¦¦ о.

0 0 1 ••• о м2 = о О ••• О 1.

У 1 о о—- о о у.

Последняя глава работы посвящена вопросу возможности классификации групп длины больше 2. Построим цепочку.

Ц) = Vе, У2,., Ц как показано выше. Нами доказано, что если порядок силовской подгруппы группы С? хотя бы р2 и при ЭТОМ р Ф 2, то существует бесконечно много неизоморфных представлений группы (7 /д-длины 2, таких, что первые два элемента соответствующих цепочек совпадают. Из этого следует, что в случае групп 1с~длины больше единицы не существует конечной классификации одноинвариантных групп..