Конечные линейные группы, порожденные двумерными элементами

Классификация конечных линейных групп, порожденных преобразованиями специального вида, относится к числу традиционных задач теории линейных групп /см. обзорную статью А.Е.Залесско-го [4], §§ II, 12/ .

Назовем элемент эс, принадлежащий общей линейной’группе GLi^F) матриц порядка П. над полем F, кмерным элементом, если ранг матрицы ос. — Eh. равен к, где En. единичная матрица степени п.

Например, одномерными элементами являются отражения, псевдоотражения и, в положительной характеристике, еще и трансвекции. Конечные линейные неприводимые группы, порожденные одномерными элементами, к настоящему времени полностью описаны для любого поля Г. /см. [4], § 12/ .

В работах [28], [29], [33] получена классификация конечных неприводимых линейных групп, порожденных двумерными элементами, в случае поля нулевой характеристики. Разработанные при этом методы существенно используют предположение о том, что характеристика поля Р равна 0.

Естественно возникает задача описания неприводимых линейных групп, порожденных двумерными элементами, над полем положительной характеристики.

Цель настоящей диссертации — классификация конечных неприводимых линейных групп над полем р характеристики > 7, порожденных двумерными элементами, которые не являются инволюциями. Ограничение на характеристику поля вызвано тем, что при малых f> возникает множество различных случаев, требующих отдельного рассмотрения.

Основными результатами диссертации являются теоремы 2, 3, 4,.

В главе I диссертации приведены определения, обозначения, известные результаты. В § 3 доказано несколько предложений, которые неоднократно будут использоваться в дальнейшем.

Введем некоторые соглашения, .связанные с терминологией. Двумерные элементы порядка Z. из группы Sl (n, F) будем называтьэлементами. Группу, порожденную двумерными элементами, будем называть J) -группой. Линейная группа Q с- ?L (V) называется Zмерной, если пространство V размерности п. можно представить в виде прямой суммы неприводимого Gмодуля размерности z и тривиального Смодуля размерности я. -z.

Жорданову клетку размера К, соответствующую собственному значению Я, обозначим через fa. элемент jc из группы SLCh-jP) является трансвекцией, если он имеет следующую жорданову форму: oLiug. Ек-л). Элемент ос из группы SL (kF) называется квадратичным, если степень его минимального полинома равна двум. Ясно, что жорданова форма квадратичного унипотентно-го элемента не содержит жордановых клеток размера к> 2.

Произвольный J) рэлемент / jb = cJLtn. F / является матрицей одного из двух типов: либо его жорданова форма имеет вид либ° «окв&С^з, Ек-з) • В первом случае J)/0 -элемент является квадратичным. элементы с жордановой формой Е*.-з) будем называть обобщенными или двумерными трансвекциями.

1. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. — М.: Мир, 1982.

2. Залесский А. Е. Классификация конечных линейных групп степени 5 над полем характеристики, не равной 0, 2, 3, 5. ДАН БССР, 1976, т.20, № 9, с.773−775.

3. Залесский А. Е. О конечных линейных группах. У республиканская конференция математиков Белоруссии. Тезисы докладов, Гродно, 1980, с.11−12.

4. Залесский А. Е. Линейные группы. УМН, 1981, т.36, вып.5, с.57−107.

5. Залесский А. Е., Серёжкин В. Н. Линейные группы, порожденные трансвекциями. Изв. АН СССР, сер.матем., 1976, т.40, № 1, с.26−49.

6. Залесский А. Е., Серёжкин В. Н. Конечные линейные группы, порожденные отражениями. Изв. АН СССР, сер.матем., 1980, т.44, Р6, с.1279−1307.

7. Залесский А. Е., Серёжкин В. Н. Линейные группы, порожденные псевдоотражениями. Изв. АН БССР, сер.физ.-матем.н., 1977, № 5, с.9−16.

8. Залесский А. Е., Супруненко И. Д. Классификация конечных неприводимых линейных групп степени 4 над полем характеристики f> > 5. Изв. АН БССР, с ер. физ. мат ем. н., 1978, № 6, с.9−15. Исправление: Изв. АН БССР, сер.физ.-матем.н., 1979, РЗ, с. 136.

9. Корлюков А. В. Линейные группы, порожденные двумерными квадратичными элементами. Тезисы докладов II областной конференции молодых ученых, Гродно, 1983, с. 77.

10. Корлюков А. В. Линейные группы, порозденные двумерными тран-свекциями над конечными полями характеристики > 7. ДЕЛ ВИНИТИ 15.II.83, рег.№ 6098−83 ДЕЛ.

11. Корлюков А. В. Линейные группы, порожденные двумерными элементами порядка ^>/5. Вестн.Моск.ун-та.Сер.I.Математика. Механика, 1983, № 5, с.19−22.

12. Корлюков А. В. Конечные неприводимые линейные группы, порожденные двумерными элементами порядка 3 и 4. IX Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов, М., 1984, с.

13. Премет А. А., Супруненко И. Д. Квадратичные модули для групп Шевалле над полями нечетных характеристик. Ин-т матем. АН БССР, препринт, 1981, № 22/123/.

14. Премет А. А., Супруненко И. Д. Модули Вейля и неприводимые представления симплектических групп с фундаментальными старшими весами. Ин-т матем. АН БССР, препринт, 1981, W- 14/115/.

15. Семинар по алгебраическим группам. М.: Мир, 1973.

16. Серёжкин В. Н. Группы отражений над конечными полями характеристики >> 5. ДАН, 1976, т.227, № 3, с.574−575. Исправление: ДАН, 1977, т.237, № 3, с. 504.

17. Серёжкин В. Н. Группы отражений над конечными полями характеристики f>> 5. Ин-т матем. АН БССР, препринт, 1976,№ 3/3/.

18. Супруненко Д. А. Группы матриц. М.: Наука, 1972.21. bhcbfetdU Н.Р. Finite cotiineaiion угоиря, — CPiicatjO: tl^/v. Cfticago Pies$, 22. bfoom. АЛ1. Tfre subgroups of PSLfafr). foz odd^. — Tzoms. Атег.laik.Soc.к 150- 17 S.

19. Gozenziein D. Tfte ctas^if/cont/'on. of finite simple gzoups.Z. SimpleCjZOL/pS ото/ CLnou? cpSf'S. bu Ue tin of A. M. 5v 4. ^ //У p. ЧЪ -199.

20. Huffman. IVC. Lineotг J^oups* conan elements w/ifi an eiyen space ofcocl/'mension two. p.

21. Huffman, W. Cy WaCes, U.B. Linear jzoupsCOfbiai/urLj an. /п /о /W/on. iv/iA гL-v*/oeigenvalues — Aije&ia, /977,p. L/65−5i?.

22. McKay The non-abeiian. sim-p?eqzoups Gj /&/ z /0 есИат. а~с/еъ lal) Jes>. —Comm. in alpef>2a^ /979, ffts), p. ll/07 MVS.31. /1c Laujt^l/rL J. Some suSyz&^/oz of SLh СРЛ). yC? ino/s.y. Matt., /969- -/*>, /о.