Профессиональная направленность обучения студентов педагогических вузов в процессе углубленного изучения понятия числа

На современном этапе развития общества в средних учебных заведениях наблюдается изменение содержания, форм и методов учебно-воспитательного процесса. К настоящему времени в среднем образовании появились учебные заведения нового типа (гимназии, лицеи, колледжи, частные школы и др.), а также профильные классы и классы с углубленным изучением предметов в обычной образовательной школешироко внедряются базисные и индивидуальные учебные планы, которые содержат новые для средней школы предметы (специальные курсы и курсы по выбору), расширяющие возможности проведения различных форм внеурочных занятий и способствующие развитию способностей учащихся. Сложившаяся ситуация предъявляет повышенные требования к выпускникам педагогических высших учебных заведений: их профессиональная квалификация во все возрастающей мере должна определяться научной базой подготовки, способностью быстро адаптироваться к изменяющимся условиям, умением постоянно пополнять и творчески использовать свои знания. Это, в свою очередь, требует от высшей педагогической школы создания новых подходов к формированию личности учителя, совершенствованию его профессиональной подготовки.

Под профессиональной подготовкой современного учителя математики традиционно понимается формирование совокупности математических, психолого-педагогических и методических знаний и умений, которые определяют деятельность учителя математики в современных условиях. Проблемы, связанные с формированием основ профессионального мастерства учителя в период его подготовки в педагогическом вузе, нашли свое отражение в трудах известных педагогов и психологов: С. И. Архангельского, Ф. Н. Гоноболина, В. В. Давыдова,.

В. И. Загвязинского, Н. В. Кузьминой, Н. Н. Нечаева, В. А. Сластени-на, П. И. Пидкасистого, Н. Ф. Талызиной, А. И. Щербакова и др.

В связи с возрастающей ролью математических знаний на современном этапе развития общества требует пристального внимания и математическая подготовка будущего учителя математики. Проблемам совершенствования специальной, а также методической, подготовки учителя математики посвящены исследования математиков и методистов: Н. Я. Виленкина, В. А. Гусева, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогорова, Ю. М. Колягина, Г. Л. Луканкина, А. Г. Мордковича, Г. И. Саранцева, А. А. Столяра, Р. С. Черкасова, М. И. Шабунина и др.

Наиболее полное исследование вопросов профессионально-педагогической направленности подготовки будущего учителя математики проведено в докторской диссертации А. Г. Мордковича [89], где сформулирована концепция профессионально-педагогической направленности обучениявыявлены основополагающие принципы этой концепции: принцип фундаментальности, принцип бинарности, принцип ведущей идеи и принцип непрерывности. В результате дальнейших исследований, проводимых Г. Л. Луканкиным и его учениками [25, 43, 77] и Н. И. Батькановой [9], к уже названной совокупности принципов добавились еще два: принцип информатизации обучения и принцип комплексного подхода.

В целом ряде диссертационных исследований (В. В. Андреев, М. Р. Арабова, Н. И. Батьканова, М. В. Бородина, В. А. Гаранин, Л. Н. Евелина, Н. Н. Егармина, М. А. Новик, Н. П. Рыжова, О. А. Саввина, С. А. Севостьянова, Т. К. Юрзанова и др.) рассматриваются вопросы совершенствования профессиональной направленности обучения при изучении студентами педагогических вузов отдельных математических дисциплин.

Среди дисциплин, входящих в каждую из составляющих (общекультурная, психолого-педагогическая, специальная и методичеекая) профессиональной подготовки будущего учителя математики в педвузе, содержатся курсы по выбору, которые направлены, с одной стороны, на повышение общей, в том числе математической и информационной, культуры и, с другой стороны, на обеспечение профессиональной подготовки будущего учителя математики. Использование системы курсов по выбору позволяет педагогическому вузу более гибко реагировать на содержательные изменения, происходящие в средних общеобразовательных учреждениях, повышать качество подготовки специалистов, вводить новые специализации в связи с запросами регионов. Что же касается курсов по выбору математического содержания, то они позволяют познакомить студентов с некоторыми проблемами и задачами современной математики, приобщить их к самостоятельной исследовательской работе. Последнее особенно важно, поскольку преподаватель школы и вуза должен не только передавать своим ученикам уже известные, устоявшиеся в науке знания, но и подготавливать их к несравненно более сложной работе — к творчеству. Но для того чтобы успешно участвовать в творческом процессе, необходимо пройти немалый путь и прежде всего научиться самостоятельно и критически мыслить. Приобретению этих навыков в достаточно большой степени и призваны способствовать специальные курсы и специальные семинары, «которые дают возможность быстро подойти к современному знанию в сравнительно узкой области науки. Как правило, лектор выбирает специальный курс близко к своим научным интересамон делится со слушателями постановками задач, которые его интересуют, знакомит с трудностями, которые он встретил при их решении и, таким образом, вводит учеников в современную проблематику науки». [32].

Известные в научно-методической литературе исследования посвящены, в основном, организации и проведению курсов по выбору по гуманитарным дисциплинам. Однако, в последнее десятилетие появился ряд исследований, связанных с организацией и проведением курсов по выбору по математическим дисциплинам (В. В. Андреев, JT. Н. Еве-лина, Н. П. Рыжова, С. А. Севостьянова, Т. К. Юрзанова).

Число — одно из основных понятий математики вообще и школьной математики в частности, поэтому углубленное изучение этого понятия является важнейшей составной частью математического образования будущего учителя математики. Так, в «Комментариях к началам Евклида» Прокла утверждается: «Геометрия есть часть математики в целом и она занимает второе место вслед за арифметикой, от которой у нее полнота и определенность, потому что все, что рационально описывается и познается в геометрии, определяется числовыми соотношениями.» .

Знакомство с числами начинается в школе, именно там закладываются интуитивные знания о числах и их свойствах, но, чтобы грамотно закладывать эти знания, учитель должен усвоить их научные основы. Для этих целей, то есть для углубленного изучения понятия числа, в программе подготовки учителя математики предусмотрен курс «Числовые системы», основная задача которого — перевести интуитивные знания о числах, полученные студентами еще в школе, на твердую основу доказательств, исходя из системы аксиом. Так, в ходе изучения этого курса, студенты узнают о том, что если представление о числе ограничить определенными рамками, то, кроме последовательно рассматриваемых натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и кватернионов, других чисел нет. Вместе с тем, в процессе изучения этого курса практически остается без внимания тот факт, что действительные числа — это всего лишь модель, достаточно хорошо описывающая окружающую нас действительность и наиболее нам привычная, что возможны и другие модели, которые также достаточно хорошо описывают окружающий нас мир. Так, в последние десятилетия достаточно интенсивно развиваются разделы современной математики, неотъемлемой частью которых являются р-адические числа, получившие в настоящее время широкое применение в физике при изучении процессов, протекающих в микромире, и гипердействительные числа, лежащие в основе нестандартного анализа, приложения которого внутри математики охватывают обширную область от топологии до дифференциальных уравнений, теории мер и вероятностей, теории игр.

Все вышесказанное определило тему исследования и ее актуальность.

Проблема исследования заключается в усилении профессиональной направленности обучения будущих учителей математики в процессе углубленного изучения понятия числа.

Объектом исследования является процесс обучения студентов в педагогическом вузе.

Предметом исследования является содержание и структура спецкурса «Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа», систематизирующего и обобщающего знания о числе, полученные студентами в процессе изучения различных математических дисциплин, и направленного на усиление профессиональной направленности изучения понятия числа.

Целью исследования является разработка специального курса «Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа» .

Гипотеза исследования заключается в том, что если разработать спецкурс «Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа», способствующий расширению представлений студентов о числе, полученных ими в результате изучения математического анализа, теории чисел, числовых систем, а также ориентированный на повышение уровня фундаментальной подготовки и информационной культуры студентов, то он будет способствовать выработке необходимых профессиональных умений и навыков, повышению уровня профессиональной подготовки будущего учителя математики. В данном исследовании мы исходим из того, что предлагаемый спецкурс может стать яркой иллюстрацией того, что в действительности математику следует рассматривать как источник разнообразных моделей, пригодных для отображения разных сторон действительного мира. Так, при не слишком больших и не слишком малых (по сравнению с размером человека) пространственных размерах физическое пространство с достаточной точностью описывается обычной геометрией Евклидапри значительном же уменьшении или увеличении размеров эта точность начинается расшатываться. Например, в силу справедливости неравенства где Ах — погрешность в измерении длины, h — постоянная Планка, с — скорость света, G — гравитационная постоянная), измерение расстояний, меньших 1р, невозможно и, следовательно, использование действительных чисел при изучении процессов, происходящих в микромире, нецелесообразно. В. А. Успенский, относительно существования различных моделей окружающего нас мира, пишет: «По-видимому, разумно принимать принцип множественности моделей и считать, что действительность описывается сразу целой совокупностью математических моделей, частично противоречащих друг другу. Так, скорее всего, разумно считать, что физическое пространство одновременно описывается несколькими моделями, одна из которыхобычная евклидова геометрия .» [127, с. И9].

Высказанные цель и гипотеза потребовали решения следующих исследовательских задач:

1) разработать структуру и содержание специального курса «Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа», который бы систематизировал и расширял знания о числе;

2) разработать заданный фонд, сопровождающий изучение теоретической части данного спецкурса;

3) экспериментально проверить выдвинутую гипотезу.

В соответствии с поставленными задачами в процессе работы над диссертацией были использованы следующие методы педагогического исследования;

1) теоретический анализ, опирающийся на изучение философской, педагогической, математической и учебной литературы и литературы по истории математики, а также трудов крупнейших математиков прошлого;

2) анализ личного опыта преподавания числовых систем и математического анализа;

3) педагогический эксперимент.

Исследование проводилось на базе математического факультета Московского педагогического государственного университета в течение 1993;1999 годов. В ходе первого этапа исследования был проведен анализ состояния профессиональной подготовки будущего учителя математики, изучен и проанализирован опыт преподавания курсов по выбору в педагогических вузах. Основной задачей второго этапа исследования являлось определение оптимального содержания специального курса «Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа», направленного на систематизацию и обобщение знаний студентов о числе. Часть результатов, полученных в ходе проведения первых двух этапов исследования, была представлена в магистерской диссертации «Исследование некоторых проблем, связанных с понятием числа». Во время третьего, завершающего, этапа исследования велось преподавание разработанного специального курса на старших курсах математического факультета МПГУ.

Основные положения, результаты исследования докладывались и обсуждались: и.

1) на защите магистерской диссертации «Исследование некоторых проблем, связанных с понятием числа» (июнь 1996 г);

2) на научно-методической конференции математического факультета МПГУ (март 1997 г);

2) на всероссийской научно-практической конференции «Вариативное образование на селе: актуальные проблемы организации, содержания и технологии обучения» (Арзамас, 1997 г);

3) на научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики МПГУ (март 1999 г).

Научная новизна исследования состоит в том, что.

1) обоснована необходимость спецкурса, который бы систематизировал и обобщал знания студентов о числе, полученные ими в процессе изучения таких дисциплин, как математический анализ, теория чисел, числовые системы, и создавал тем самым целостное представление о числе;

2) разработан спецкурс, содержание и методика которого ориентированы на повышение профессиональной направленности обучения будущих учителей математики.

Практическая значимость работы заключается в том, что материал разработанного спецкурса, содержание и методика которого направлены на усиление профессиональной направленности изучения понятия числа могут быть использованы преподавателями, ведущими занятия по математическому анализу, числовым системам и методике преподавания математикистудентами педагогических вузов в их дальнейшей работе в школе при определении содержания факультативных курсов.

На, защиту выносятся:

1) обоснование необходимости создания специального курса, систематизирующего и обобщающего знания о числе;

2) содержание и структура специального курса «Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа» .

Заключение

.

Проведенное теоретическое и экспериментальное исследование показало, что первоначально выдвинутая гипотеза полностью подтвердилась. Число — одно из основных понятий математики вообще, и школьной математики в частности, поэтому углубленное изучение этого понятия является важнейшей составной частью математического образования будущего учителя математики. Именно в школе закладываются интуитивные знания о числах и их свойствах, которые человек использует на протяжении всей своей дальнейшей жизни. Но для того, чтобы грамотно закладывать эти знания, учитель сам должен обладать фундаментальными знаниями в этой области. Опыт вузовского преподавания специальных курсов показывает, что специальные курсы обладают широким спектром возможностей для совершенствования профессиональной подготовки будущего учителя математики.

Сформулируем основные выводы и полученные результаты исследования.

1) Обоснована необходимость спецкурса, который бы систематизировал и обобщал знания студентов о числе, полученные ими в процессе изучения таких дисциплин, как математический анализ, теория чисел, числовые системы, и создавал тем самым целостное представление о числе.

2) Разработан спецкурс, содержание и методика которого ориентированы на повышение профессиональной направленности обучения будущих учителей математики, а также список задач, сопровождающий изучение теоретической части данного спецкурса.

3) Содержание специального курса «Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа» реализует принципы профессионально-педагогической направленности обучения студентов: принцип фундаментальности и принцип бинарности. Принцип фундаментальности реализуется в рассматриваемом спецкурсе в виде дальнейшего расширения понятия числа, позволяя, тем самым, углубить знания студентов — будущих учителей математики — о таком важном понятии математики вообще, и школьной математики в частности, как о понятии числа. Принцип бинарности реализуется в предлагаемом спецкурсе следующим образом:

— изучая нестандартные модели арифметики натуральных чисел, мы изучаем роль аксиомы индукции в построении теории делимости, теории простых чисел, в справедливости арифметических операцийпри этом мы используем модели, построенные с помощью пар чисел (что доступно пониманию и школьника, например, координаты вектора на плоскости — пары чисел);

— изучая р-адические числа, мы изучаем роль аксиомы Архимеда в теории неравенств, при построении геометриитак, например, в геометрии, описываемой с помощью р-адических чисел, все треугольники равнобедренные, любая внутренняя точка круга является его центром;

— изучение гипердействительных чисел позволяет познакомить будущих учителей математики с другим возможным методическим подходом при изучении основ математического анализа в школев одном из разделов диссертационного исследования мы привели несколько примеров, показывающих насколько становятся более доступными для понимания основные положения и теоремы математического анализа, если при их изучении использовать приемы нестандартного анализа.

4) При изложении теоретической части специального курса «Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа» реализуются межпредметные и внутрипредметные связи различных курсов, читаемых на математических факультетах педагогических вузов, что способствует совершенствованию математической культуры учащихся. Изучение данного спецкурса актуализирует знания студентов, полученные ими при изучении таких дисциплин, как математических анализ, теория чисел, числовые системы.

5) Специальный курс «Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа» расширяет кругозор будущих учителей математики, знакомя их с различными числовыми системами (отличными от системы действительных чисел), которые могут быть использованы для описания процессов, происходящих в окружающей нас действительностиимеет глубокую ориентацию на школу: в нем рассматриваются такие важные вопросы школьной математики, как свойства арифметических операций, роль «хорошего» порядка в математике, роль нормы в построении школьной математики (например, в геометрии), роль контрпримеров при изучении математики.