Скорость сходимости некоторых цепных дробей и их приложения

Работа посвящена исследованию скорости сходимости некоторых цепных дробей для аналитически заданных функций одной переменной, вопросу выяснения общего вида подходящих дробей и приложениям цепных дробей к решению различных задач, связанных с дифференциальными уравнениями и теорией интерполирования функций.

Методы вычисления элементарных функций, а также относящиеся к ним различные формулы играют важную роль в численных методах решения задач, поскольку большой труд составляет вычисление значений элементарных функций и их различных комбинаций.

В работе получена оценка скорости сходимости цепных дробей достаточно общего вида, из которой можно получить, в частности, оценки скорости сходимости цепных дробей для важнейших элементарных функцийпри этом в качестве источника цепных дробей могут выступать как дифференциальные уравнения, так и формула Тиле с обратными производными или дроби Паде. Даны оценки скорости сходимости многих разных представлений в виде цепных дробей элементарных функций и связанной с ними гипергеометрической функции.

Важной и вместе с тем сложной является задача выяснения общего вида подходящей дроби, исходя из данного разложения в цепную дробь. Наиболее общий подход к этому вопросу достигается при помощи формулы Обрешкова, которая в свою очередь является одним из обобщений формулы Тейлора. В работе дано новое доказательство формулы Обрешкова, которое можно распространить на функции многих переменных и на случай функций, заданных разложением в ряд Фурье. Получены также оценки остатка формулы Обрешкова для некоторых конкретных функций.

С помощью интерполяционных цепных дробей в работе решены две задачи: задача о точной оценке наилучшей скорости сходимости интерполяционных рациональных дробей к функции х на отрезке [-1−1] среди всех монотонных по модулю последовательностей узлов интерполяции и задача о точной скорости равномерной сходимости рациональных функций, интерполирующих функцию |х| на отрезке [-1- 1] в равноотстоящих узлах.

Приведем кратко некоторые предварительные сведения о цепных дробях и источниках их получения. Выражение.

1) ьх + ьг + + ь&bdquo- + называется бесконечной цепной (непрерывной) дробью. Элементы цепной дроби «» (л- = 1,2,.) — могут быть числами (вещественными или комплексными), функциями (одной или большего числа переменных). Конечная цепная дробь.

Ьо+Л. = И (2) Ь1+ Ь2 + +Ь&bdquoо&bdquoназывается подходящей дробью порядка п (// = 1,2,.) для цепной дроби (1).

Если существует конечный предел (обозначим его через Т) р

Кт-=- = Т, а л то цепная дробь (1) называется сходящейся и Т называется значением цепной дроби (1). Если же написанный предел не существует (или существует, но равен бесконечности), то цепная дробь (1) называется существенно расходящейся (несущественно расходящейся). Важным является вопрос: в случае сходимости цепной дроби (1) к числу Т оценить скорость стремления к нулю разности К.

Т п о. при и->ю в зависимости от п.

Отметим некоторые свойства цепных дробей (1), которыми будем пользоваться. Некоторые из них доказаны в [1]-[5], другие легко можно из них вывести.

1) Числители Рп и знаменатели Оп подходящих дробей цепной дроби (1) удовлетворяют рекуррентным соотношениям.

Рп=ЪпРпЛ+апРпг, 0"=ЬпО",+апОп, // = 1,2,., (3).

Р.1= 1, Р0=Ь 0, (?-,= о, 00=1.

Отсюда следует, что для цепных дробей с положительными элементами (для положительных цепных дробей) положительными будут все числители Рп и все знаменатели 0″ подходящих дробей.

2) Для сходящихся цепных дробей имеет место равенство (считая о=0).

Л-1 '-'Ок.

СЛ-.СЛ аа2 к-О (2п+2к (2п+2к>2.

3) Если а&bdquo- > 0, 6″ > 0- // = 1,2,., то.

•р Р" йп.

О П к 0 1п*2кСп+2к.2.

В этом случае для оценки.

О. важно оценить знаменатель (?" снизу.

4) Цепная дробь (1) эквивалентна (т. е. имеют одинаковые значения) обыкновенной цепной дроби.

1 1 1 а0 + а, + а2 + +ап + где т. е. обе цепные дроби сходятся к одному и тому же значению или обе они расходятся).

При этом для сходящейся к Т обыкновенной цепной дроби имеют место равенства.

Т = а0 + —в" -1 =а0 +Х а2' ¦

5) Сходимость положительной обыкновенной цепной дроби.

1 1 1 а0± -.-. а, + а, + +ап + равносильна расходимости ряда ос.

Для формального степенного ряда (см., напр., [4]) при любых целых неотрицательных // и т существуют такие многочлены п т у=0 у-О что.

А, г". у-пит 1.

Рациональная дробь из этих многочленов определяемая однозначно функцией /(г) и числами п и т (п, т = 0,1,2,.), называется дробью Паде поля [п, т] для функции /(:). Если и а, г", у-п*т* то (при п = т) рациональная дробь п называется дробью Паде поля [п, п для функции /(г). .4) Знаменатели ?>т (г) дробей Паде тесно связаны с ортогональными многочленами.

Приведём теперь некоторые известные результаты (см., напр., [3]) о дифференциальных уравнениях как источнике дробей Паде и цепных дробей.

1) Если функция удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Ьу' + Му + Ы = О, где полиномы иЬ * 0, то для дроби Паде поля т, к для функции х) имеем: знаменатель Ок (х) удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению второго порядка хье д-+[(?'-м)хв-х1.в'-(т+к- 1) ьв]о[. + нок = о с многочленными коэффициентами.

Аналогичное утверждение имеет место и для числителя Рт (х) этой цепной дроби Паде. Поэтому Рт (х) и Ок (х) можно выразить через гипергеометрическую функцию Гаусса 1:{а, р, ух).

В качестве примеров можно взять функции ех,(-х)а,(-х)а ogi-x) и др. М.

2) Бесконечная цепная дробь (1), где а&bdquo- = а0 + а1п +. + арпр ^(а^ Ьп = Ро + Рп + ••• + РчпЧ {рч * расходится для р >2(1 + 2.

Она сходится в трёх случаях: а) если р> 2</;

Ра + 4<*Р / 1 о) если р = и ——-— <г (- ;

Рч с) если /г = 2</ + 1, р = 2с! + 2 и одновременно — <�г (-оо, о). аР.

3) Решение уравнения ау = -ху' + у" связано с цепной дробью (1), в которой а&bdquo- = // + а, Ьп=Ь. Решение дифференциального уравнения ару = у-(+а + р) х]у' + (х-х2)у" приводит к цепным дробям вида (1), где ап = а0(х) + а1(х)г/ + а:(х,)н, Ъп = Ро (х)+Р (х)"> причем а0(х), аХх), сс2(х), р0(х1РХх) «некоторые многочлены не выше второй степени. Уравнение Риккати.

1 + т]'хк + (/? + р’хк)у + уу• = &-ск имеет решение (обращающееся в нуль при х = 0), которое разлагается в цепную дробь ([2]).

5хк у8 + (1 + Р) Ь' + Р')У (уд + п' + Рп'-Р'У 1 + Р + 2 + р + 3 + р + у8+{п + р)(пг]'+р')]хк (у8+п2ц' + прг1'-пР'У + 2 п + р + 2п + + р +.

Следующие четыре вопроса: 1) развитие теории цепных дробей за последние четыре века;

2) связь цепных дробей с ортогональными многочленами, дифференциальными уравнениями, дробями Паде, рациональными приближениями;

3) приложение цепных дробей в вычислительной математике, прикладной математике, теории управления, биологии, физике твёрдого тела, статистической механике и т. д.;

4) роль выдающихся математиков последних четырёх веков в развитии теории цепных дробей подробно рассмотрены в работах [1]-[6], [9]-[12], [15]-[16]. Изложим краткое содержание работы.

В § 1 главы 1 даем новое доказательство следующей формулы Обрешкова: у, к{к-).,{к-у +) {х-х"У т + к)(т + к-).'(т + к-у + 1) у! 7 К/.

— у т{т-).-(т-у+) (х-ха)", (г. г г о{т + к).,(т + к-у +1) у! 3 1хо)+"т.*и, х.*о). где.

Vм + К) х0 которая широко применяется для выяснения общего вида подходящих дробей в теории цепных дробей.

Наш способ доказательства отличается от имеющихся в литературе (ср., напр., с [7], [2]) своей краткостью, а также тем, что его можно приложить к получению аналогов формулы Обрешкова в случае функций многих переменных или в случае, когда рассматриваемая функция /(х) задана не степенным рядом, а разложением в ряд Фурье по ортонормированным многочленам Эрмита (как, напр., в работе [14]).

В § 2 главы 1 рассматриваем, кроме примеров функций ех, х", 1пл- ([2]), ещё и функцию агс^х и получаем рациональные приближения агс1 $х через некоторые многочлены Ру,(*•), для которых получено рекуррентное соотношение.

Кроме того, представляют интерес выражения для ех, х", 1п х, агс#х через гипергеометрическую функцию.

В § 2 главы 1 даём также оценки при т + к -" х для КкКт к (/" - х, 1), (1п /-х,), Я,, (агсц/- дг, 0), а именно к+т){к+пг +) ах" хк т.

Г (1 -а) X (ш, к < т t <| к +т) хкктт.

И -1'.

0 < г < 1,0 <а < 1- 0<х<1- к+тУ™.

Первая из этих четырёх оценок, когда х не только вещественное число, известна (см., например, [13]) — но в нашей. ситуации оценка получается достаточно просто. Три других оценки мы в литературе не встречали. В конце § 2 главы 1 получена также оценка 1 ы ч т * к ч 1.

В (* + 1, т + 1) при г = х +¡-у, для которых (1-х)2 + у- < ру, т. е. (г-1)" + Н-^ что представляет собой множество точек г из объединения двух кругов с центрами в точках и и РаДиУсами ^ здесь р< 1.

Глава 2 посвящена выяснению скорости сходимости аналитических (элементы ап и Ь&bdquoзависят от переменной) цепных дробей.

В § 1 главы 2 рассматривается связь дробей Паде с цепными дробями. Пусть /(г) аналитична в окрестности точки г = 0, т. е.

— н.

00= Е/^1', /0*о. у=0 г$.

Тогда, как сказано выше, существуют многочлены Рп ^о:*', у=0 т.

•в"такие, что у=0 ят (х)-/(г)-Ря (г)=.

Если при этом пО — * > Аи1 ~ /и «.

7 •••/"-«/+1 /п+т-1 ••••/"г то.

Н)Я и/я.

Уи+1 —/п-т+Х.

1. Г&tradeу=0.

Здесь ^ = 0 при V > т, /у = 0 при V = -1,-2,.

Если /(г) аналитична в окрестности точки г = х>, т. е. 0 то, как известно, дробь Паде поля [/?,//] для /(г) определяется равенством у=0 у=0 где.

Ч&bdquo- 00=.

— 1)" .

А" /2л г". 1 А"=А;

Очевидно, <70(г)=1, /?0(г) = /0, />,(г) = /0г + /, -.

Установлено, что степенному ряду можно сопоставить.

1'=0 цепную дробь.

А, А2 А&bdquoо+" г — В, + г — В2 + + г — В/7 +. где а-/- и — ^ д — п А"с" «ъ 1.

А-, 1.

С&bdquo- = Нт г г->оо.

7+1.

Г ЫЬаЦц^ - РтА)+,(,&bdquo-/ - Рп)|.

Верно и обратное утверждение: каждой цепной дроби написанного вида.

00 можно сопоставить степенной ряд •> где Л выражается через.

А Я Г «¦п > «п > •.

В § 2 главы 2 для цепных дробей (связанных с формулой Тиле) где о/ЙЬ/Й). = г^) = гп, 2/^)-пггпхт, доказано следующее утверждение о сходимости: если существует? и числа /?, =1,, ^ >0, А = 2,3,., такие, что.

1) V /-(/7~0 Для * и 5 из [а, Ь], оо.

2) <�°°" у=2 то цепная дробь (4) сходится к /(х) равномерно на [а, ь. Далее, в этом параграфе для цепных дробей вида …, (5) а{(г)+ а2(г)+ + а&bdquo-(г) + где 2, ак (г) — комплексные числа, доказано следующее утверждение: если и (г) — знаменатель пой подходящей дроби цепной дроби (5), то.

Яе (*&(*)) = ?кеауИ (г)КШГ.

6) г* О.

Отсюда получаем (ср. с [17]): если цепная дробь (5) сходится на некотором множестве Е к функции и при геЕ и любом к а2к-х (?)> О, Кеа2к (г)>0,то.

2к+.

00 о2кМ.

И2> 2к"(*). «Е, ц-=о г)}» 1. геЕ.

7).

Как приложение неравенств (7) даём оценку для скорости сходимости обобщений цепной дроби Эйлера.

Ь2*)у (2.3-хУ (/-(-/ +)хУ.

1+ 1+ «'. + 1 + «' ^ при х>0 и Осу <1.

В частности, если Р"(х)^Оп (х) — подходящая дробь порядка п (л = 1,2,.) для цепной дроби (8) и /(х) — значение цепной дроби (8) для у = 1 и 0 < л- < 1, то.

— л*) Ме.М.

С X.

1п (/1 + 1)' где с — некоторая абсолютная константа. В § 3 главы 2 рассматриваем цепные дроби.

А л. а.

0 ' Ь1+" + Ь.+'" ' для которых *"(*) = («п2 + Р» + /)/(*), Ьп = В/- + С, где а,/?, у, В, Свещественные числа, /(х)>0- функция, заданная на некотором множестве Ее:(-да, оо), на котором а"(х)>0 и, кроме того, Ьп >0. Следующую функцию.

1 + / (1 + 2/) определённую для -1 <2/ <0, где ц{х) > 0 при х е К (и эта функция ц (х) подлежит нахождению), назовем соответствующей цепной дроби (9). Имеет место.

ТЕОРЕМА 1. Если положительная на множестве Ес (-х,-ко) функция д (х) такова, что для знаменателей Оп (х) подходящих дробей цепной дроби (9) неравенство в.(ФМ*)У (Ю) имеет место для хеЕ, п = к-2 и п-к- 1 при некотором к>2, а функция Рх (/), соответствующая цепной дроби (9), при каждом хеЕ убывает для е 1.

0, то неравенство (10) имеет место и для всех п>к при хеЕ. к).

Более того, в качестве д (х) можно взять.

-—-•.

К цепным дробям для многих специальных функций, приведенных в приложении, можно применить сформулированную теорему 1.

В первых двух параграфах третьей главы рассмотрены два примера цепных дробей, являющихся разложениями гипергеометрической функции и решением уравнения Риккати.

В § 1 главы 3 рассматриваем функцию у-агс^хрешение дифференциального уравнения х2+1)/-1 = 0, у (0) = 0, которая выражается через гипергеометрическую функцию равенством.

15 с (1, 3 ^.

Известно, что.

2 12 22 (//-IVГ2 г.. г.. агар 2 =- -.——., 2 .

6 1+ 3+ +2/7−1+ 1 ' 1 7.

Доказано, что если 0&bdquo-(х) — знаменатель подходящей дроби цепной дроби для я/г/^х, то по меньшей мере при — <х< выполняется неравенство.

1 + л1 + хг V /1 = 1,2.

Из этой оценки и из свойств цепных дробей (см. свойство 3)) следует, что I I: л+1 агы% х ¦ р. Ь) е, М с.

1 + л/1 где С — абсолютная константа.

В § 2 главы 3 показано, что для цепной дроби, являющейся решением дифференциального уравнения Риккати.

1 + Г1к)^+(р + р’хк)у + уу- =5хк, у (0) = О, условия теоремы из § 3 главы 2 будут выполнены для х из некоторой окрестности нуля, определяемой параметрами к, р, у, 8, р', и можно взять.

1 +¹ + 4 т]'хк д (х) =.

2е.

Поэтому знаменатели 0&bdquo-(х) подходящих дробей соответствующей цепной дроби можно оценить неравенством е. М*.

Те п «= 1,2,., для х из некоторой окрестности нуля.

В § 3 главы 3 с помощью интерполяционных цепных дробей исследуются аппроксимационные свойства рациональных интерполяций для линейных монотонных таблиц узлов, когда узлы интерполяции заданы в виде некоторой числовой последовательности х0, х-,., х",. и рациональная функция п — ой степени (/7 = 0,1,2,.) интерполирует данную функцию в первых 2// + 1 точках дг0, лг,., л-2/1 этой последовательности.

Для четной функции |х|, хе[-1−1], естественно рассматривать таблицы узлов вида.

Пусть Я2п (х, а) — четная рациональная функция относительно х степени не выше 2п («= 0,1,2,.), интерполирующая функцию |г| на множестве узлов = {±Х0,±Х, ,.,+*,"}.

Известно ([18]), что где инфимум берется по всем монотонным (убывающим и возрастающим) положительным последовательностям х0, х,., хд.,.- тем самым получена оценка снизу наилучшей относительно монотонных по модулю последовательностей узлов скорости сходимости интерполяционных рациональных дробей к функции |х| на отрезке [-1- l].

С использованием интерполяционных цепных дробей решена экстремальная задача о точном порядке скорости сходимости интерполяционных рациональных функций для функции |х| на отрезке.

— l-l] на классе всех монотонных по модулю последовательностей узлов, точнее, доказана следующая.

ТЕОРЕМА 2. Имеет место следующее точное равенство inf. .limfew + l)2 maxlW-Л. (х-а)| = 1, {о<*44(Т)}я-*"Л ' «[-l.ij1 1 2"V ' /| где инфимум берется по всем монотонным положительным последовательностям х0, йг = {±х0,±х-1,.,±х2"} .

Как показал С. Н. Бернштейн, если Р"(х) — интерполяционный многочлен, интерполирующий функцию х на отрезке [-l-l] в м равноотстоящих узлах, то последовательность многочленов {/'"(*•)} не сходится к |xj ни в одной точке отрезка [- l-l], кроме точек -1,0,1.

В § 4 главы 3 исследуется сходимость последовательности рациональных функций, интерполирующих функцию |х| в равноотстоящих узлах отрезка [-l-l]- получены точные оценки скорости равномерной сходимости последовательности интерполяционных рациональных функций к функции |х| на всем отрезке [-l-l] и, отдельно, точные по порядку оценки на каждом подотрезке отрезка [-l-l], определяемом парой соседних равноотстоящих узлов, что позволило получить шкалу скоростей сходимости этих интерполяционных рациональных функций в зависимости от приближения подотрезка к концам данного отрезка'[-1−1]. Доказана следующая.

ТЕОРЕМА 3. Пусть рациональная функция R2"(xb) степени не выше 2п (п =, 2,.) интерполирует функцию |х| на отрезке [-l-l] в к равноотстоящих узлах b0=0,±-bk=±-—(к = 1,2,., 2м) — / - положительное.

2/7 решение уравнение e'(t-1) = 1. Тогда для величины выполняются следующие соотношения:

Р" £(2&bdquo- + 1)|"(2″ + 1) = lim (рп • 2мIn (2м + !)) = /-! .

Также доказано, что в случае узлов Ь0 =0, ±-Ьк =±— (к = 1,2,., 2м) при.

2/7 jи всех м = 1,2,. выполняется неравенство.

11 1 2яЧ Л 2е//1п (2// + 1) ' апри хе[-Ьп-ЬтЛ]и[Ьт^, Ьт («/ = 2,3,., 2л/) и всех // = 1,2,.-неравенство т т.

2{т-1) Г, ч 2(т-1П.

1-е.

-(«¦1)1 т п 2п +) I ^2/7 + 1 у I.

Вполне аналогичные оценки имеют место и в случае узлов.

Ьк=±— (к = 0,1,., 2//) при /7 = 1,2. Однако в этом случае задача.

4/7 + 1 оценки уклонения рп на всем отрезке [-1−1] решается значительно прощекак показывают оценки на подотрезках, максимальное уклонение для всего отрезка [-1 -1] достигается на [-?0 -Л0 ] в точке х = 0, причем.

1 1 2 Р" «?± ~ (4/, +< <4″ + О»" (2п +1) • к=о Ьк к=о 2к +.

Что касается оценки величины рп снизу, фактически доказано следующее: при всех //, начиная с некоторого //0, выполняется неравенство.

1 ^ 1.

Ри ~ ехр (/)+1 2//1п (2/7 +1) 2{е + 1)//1п (2/7 +1) * где / - положительное решение уравнения .

Вполне аналогично рассматриваются случаи узлов.

Ь0 = 0, ±-Ьк =±-~{к =, 2,., 2п-) и узлов ±-Ьк.

2/7 4/7 + 1 (к = 0,1,2,., 2/7−1) — /7 = 1,2.

Объединив полученные оценки, сформулируем результат в терминах числа узлов интерполяции.

Рациональную функцию /фс) назовем интерполяционной для |х| с равноотстоящими узлами на отрезке [-1−1], если при заданном /?(// = 0,1,.) ее степень <2/7, а число узлов равно одному из чисел 4/7−1,4/7,4/7+1,4/7+2.

Тогда для последовательности интерполяционных рациональных функций гп (х) для |х| с и равноотстоящими узлами на отрезке [-1−1] выполняются равенства lim п • In // max IЫ — г (х)| = 2, л-юо «[-l.lj1 1 «V lim //-Inn тах]Ы-А-(х-)| = 2(/-l), где t — положительное решение уравнения e' {t -1)= l.

Отметим также, что ранее Н. Г. Гашаровым [19] получено неравенство.

Рп '2и1п (2и + 1)< 1 (я>я0), о которое перекрывает аналогичный результат X. Вернера [20]- из наших же точных оценок следует неравенство.

0,278 < рп • 2wln (2/i +1) < - (// > п0) е.

— для случая, когда Ь0= 0, и неравенство.

0,278 < р&bdquo- • 2wln (2w + l)< 1 («>//0).

— для обоих случаев одновременно, 1 причем нижняя оценка улучшается до / -1 = —т-т— = —т^, где t — корень ехр (/)+1 ехр (/) уравнения е' • (t -1) = 1.

Основные результаты работы опубликованы в [21] - [26].

1. Хинчин А. Я. Цепные дроби, М.- Л., Гостехиздат, 1949.

2. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений квопросам приближённого анализа, М., ГИТТЛ, 1956.

3. Perron О. Die Lehre von den Kettenbruchen, Stuttgart, Teubner, Band 1(1954), 11(1957). ^ 4. Бейкер Дж., ГрейвсМоррис. Аппроксимации Паде, М., Мир, 1986.

4. Джоунс У., Трон У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения, М., Мир, 1985.

5. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации, М" Мир, 1980.

6. Obreschkoff N. Neue Quadraturformeln, Abhandlungen preu? Akad. Wiss.Math., Naturwiss. Klasse, № 4,5 (1940), 1−20. v 8. Norlund N. E. Vorlesungen uber Differenzenrechnung, Berlin, Springer, 1924.

7. Wall H. S. Analytic theory of continued fractions, New York, Van Nostrand, 1948.

8. Стилтьес Т. Исследования о непрерывных дробях, ХарьковКиев, ДНТВУ, 1936.

9. Марков А. А. Избранные труды, М.- Л., ГИТТЛ, 1948.

10. Чебышев П. Л. Полное собрание сочинений, т. Ill, М.- Л., Издательст-^ во АН СССР, 1948.

11. Дзядык В. К., Филозоф Л. И. О скорости сходимости аппроксимацийПаде для некоторых элементарных функций, MC, т. 107, № 3, 1978.

12. Суетин С. П. О теореме Монтессу де Болора для рациональных аппроксимаций ортогональных разложений, MC, т. 114, 1981. О Tj.

13. Риман Б. О разложении отношения двух гипергеометрических рядов вбесконечную непрерывную дробь, Сочинения, Гостехиздат, 1948.

14. Никишин Е. М. Избранные вопросы математического анализа, МоскваТула, 1990.

15. Рамазанов А.- Р. К. Об одной оценке скорости сходимости непрерывных дробей и её применение.Сб. «Функциональный анализ, теория функций и.