Проверка устойчивости одного класса нелинейных систем

Для определенного класса нелинейных систем можно предложить достаточно простой способ проверки устойчивости с помощью второго метода Ляпунова.

Рассмотрим автономные системы (8.4) с однозначной нелинейной характеристикой f (x). Введем новую переменную 2 е М^п в виде 2 = f{x). Дифференцируя ее по времени,.

с учетом системы (8.4) получим уравнение.

Обозначим здесь матрицу частных производных.

и запишем дифференциальное уравнение состояния (8.13) в следующей форме:

Как видим, уравнение (8.14) представляет собой квазилинейное уравнение для переменной z. Для анализа устойчивости такой системы будем формировать функцию Ляпунова в виде квадратичной формы (8.10).

с единичной диагональной матрицей, В = /, т. е.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Определим полную производную функции Ляпунова (8.15) по времени:

В силу системы (8.14).

После несложных преобразований получим окончательно.

Согласно теореме Ляпунова исходная система будет асимптотически устойчива, если производная (8.16) будет отрицательно определенной функцией. Поскольку полная производная функции Ляпунова представляет собой квадратичную форму, то ее знак определяется знаком матрицы (А (х) + А^г(х))_} который и следует проверить для анализа устойчивости системы (8.4).

Пример 8.4. Проверить устойчивость системы, поведение которой описывает уравнение

Решение

Функция /(х) = -5х — х³ однозначная, поэтому введем новую переменную для которой запишем дифференциальное уравнение где А (х) = -5 — Зх².

Выбирая в качестве функции Ляпунова квадратичную форму (8.15), получим ее полную производную в виде (8.16). Оценим знак матрицы:

Эта матрица отрицательная во всем диапазоне изменения х и обращается в нуль только тогда, когда х = 0. Следовательно, система асимптотически устойчива.

Заканчивая обсуждение второго метода Ляпунова, отметим, что он дает достаточные условия устойчивости. При этом «запас» устойчивости может быть очень большим, но оценить его количественно удается лишь для частных классов систем. По этой причине второй метод Ляпунова чаще всего используется при выводе вторичных критериев устойчивости.