Эффект близости в системе ферромагнитных проводников прямоугольного сечения

На рис. 3.11 изображена ленточная линия, представляющая собой две параллельные шины прямоугольного сечения. Шины изготовлены из ферромагнитного материала, удельная электрическая проводимость которого постоянна и равна у, а ферромагнитные свойства описываются кривой намагничивания по первым гармоникам.

Рис. 3.11.

В направлении оси охшины обтекаются синусоидальным током I круговой частотой со. Электромагнитное поле является одномерным. Вектор электрической напряженности Е имеет только х-составляющую Е_х, вектор магнитной напряженности Н — только у-составляющую Н_у (в дальнейшем для упрощения записи индексы х и у опущены). Электрическая и магнитная напряженности являются функциями координаты z.

Поставим задачу получить аналитические выражения для электрической и магнитной напряженностей и на их основе сформировать каскадную схему замещения для расчета электромагнитного поля и эквивалентных интегральных параметров ленточной линии из ферромагнитного материала.

В силу симметрии электромагнитного поля далее будем рассматривать лишь одну левую шину. При решении задачи используем те же приемы, что и в предыдущих задачах.

Выделим в расчетной области элементарную полосу шириной h = z₂-z₁ (рис. 3.12), в пределах которой магнитная напряженность постоянна и равна ц,.

Рис. 3.12.

Вектор магнитной напряженности в расчетной полосе удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

Уравнение (3.40) следует решить в общем виде, считая заданными значения магнитных напряженностей на границах полосы: H{z{)-H_г и H (z₂) = H₂.

Общее решение дифференциального уравнения (3.40) сформируем в виде двух слагаемых таким образом, чтобы при z-z_x обращалось в нуль одно слагаемое, а при z = z₂ — другое.

В соответствии с законом полного тока магнитная напряженность должна обращаться в нуль при z = 0, а при z-a должна быть равна.

Следовательно, решение уравнения (3.40) должно содержать только гиперболические синусы:

Магнитная и электрическая напряженности связаны между собой первым уравнением Максвелла:

Из (3.43) выражаем Ё:

С помощью (3.44) запишем выражения для электрической напряженности на границах элементарной полосы (при z-z_x и z = z₂):

Преобразовывая (3.45) и (3.46), получим систему уравнений:

Этой системе уравнений может быть поставлена в соответствие система уравнений пассивного четырехполюсника (рис. 3.13).

Рис. 3.13.

При этом здесь, как и в предыдущих задачах,.

Входным напряжениям и токам соответствуют напряженности Ё_а и Н_ь а выходным напряжениям и токам соответствуют напряженности Ё₂нН₂.

Параметры Т-образной схемы замещения четырехполюсника, изображенной на рис. 3.13, определяются выражениями:

После соединения четырехполюсников в каскад получим схему замещения, изображенную на рис. 3.14. На левой границе расчетной области магнитная напряженность равна нулю, поэтому входная ветвь крайнего левого четырехполюсника должна быть обесточена.

Внешняя граница крайней правой расчетной полосы примыкает к боковой поверхности шины (при z = a). На этой поверхности магнитная напряженность определяется выражением (3.41), поэтому на внешние зажимы последнего четырехполюсника необходимо подключить источник Н₀, аналогичный источнику тока:

Рис. 3.14.

Система уравнений Кирхгофа относительно неизвестных магнитных напряженностей в случае трех расчетных полос имеет вид.

После решения системы уравнений (3.51) относительно неизвестных магнитных напряженностей можно определить электрические напряженности на границах расчетных полос:

Вектор Пойнтинга на поверхности шины:

Комплексная мощность, выделяющаяся в шине (на единицу длины в направлении оси ох)

Комплексное внутреннее сопротивление одной шины на единицу длины:

Полное комплексное сопротивление линии на единицу длины: