Примеры расчета оптимального управления для стохастических систем

Приведем пример приближенного синтеза оптимального управления движения твердого тела вокруг центра масс. Считается, что на тело действуют случайный вращающий момент и управляющий момент. Кроме того, будем предполагать, что моменты инерции а₍ твердого тела близки друг к другу, т. е. а, = а + щ. Предположение о близости моментов инерции означает, что твердое тело близко к сферически симметричному.

Движение тела описывается уравнениями Эйлера и имеет вид.

где х_1; х₂, х₃ — проекции кинетического момента твердого тела на главные центральные оси инерции, символ [ ]_х означает проекцию вектора на ось х_а; символ (123) означает, что уравнения для х₂, х₃ получаются циклической перестановкой индексов; матрицы В и, а — заданы. Изучим задачу о приближенном синтезе оптимального управления системой (3.114) с минимизируемым функционалом (3.78), в котором Н, — заданные матрицы размером 3×3.

Уравнение Веллмана для этой задачи имеет вид (3.80), где вектор/ равен.

Управление нулевого приближения и₀ равняется.

где матрица Р размером 3×3 определяется детерминированным дифференциальным уравнением (3.85). Приближения u_;(t, jc) к оптимальному уравнению даются формулой.

Уравнения для функций V'(t, х) в (3.114) имеют вид.

где оператор L дается формулой (3.80). Обозначим фундаментальную матрицу уравнения (3.117) через a (t, x, x, y). Вычисляя, получим.

где вектор шей₃и матрица D размером 3×3 определяются как.

Д — определитель матрицы D, а матрица Z (t, s) определяется соотношениями

Решение задачи Коши (3.117) допускает теперь представление

Здесь при i = 1 последняя сумма полагается равной нулю. Тем самым приближенный синтез, даваемый формулой (3.116), построен.

Приведем пример установления движения твердого тела с малой помехой в управляющем устройстве. Пусть уравнения движения в обозначениях (3.114) имеют вид.

Минимизируемый функционал зададим формулой.

где постоянная >0, скалярные функции l₂(s)>0 и Z₃(s)>0 измеримы и ограничены.

Задача (3.118), (3.119) интересна тем, что хотя уравнения движения не линейны, но синтез управления и функция Веллмана могут быть построены в явном аналитическом виде. Из задачи (3.118), (3.119) вытекает, что

Скалярная функция P (t) определяется уравнением.

Значит, разложение функции Веллмана в ряд по малому параметру соответствует разложению по степеням е функции P (t), т. е.

Подставим это разложение в уравнение (3.120) и приравняем к нулю члены с одинаковыми степенями е. Получим, что P°(t) есть решение задачи (3.120) при е = 0. Функция P^J(t) равняется.

Наконец, формулы для управления v и приближений и₀ (t, х) и u^t, х) имеют вид.

Таким образом, оптимальное управление найдено.

Рассмотрим теперь пример решения задачи гашения колебаний груза при наличии случайных возмущений на точку подвеса. Груз перемещается транспортным портальным роботом.

Учитывая, что на практике период колебаний груза т значительно превышает постоянную времени транспортного робота, на котором находится узел подвеса F, представим робот с грузом в виде перемещающейся маятниковой системы с центром масс груза в точке М. Модель такой системы представлена на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Модель системы.

Текущие координаты центра масс и точки подвеса груза обозначены соответственно (х₀, у₀) и (х, у).

Выражая значения координат центра масс через координаты точки подвеса груза, получим соотношения.

где L — длина подвеса от точки подвеса груза до центра инерции, ф — угол отклонения подвеса от вертикали.

В соотношении (3.122) величина у представляет собой случайное возмущение точки подвеса груза, которое выражается в колебаниях точки подвеса в вертикальной плоскости.

Принимая в качестве обобщенной координаты угол отклонения подвеса от вертикали, запишем уравнение Лагранжа для рассматриваемой системы:

где

С использованием соотношений (ЗЛ21), (ЗЛ22) и (ЗЛ24), (ЗЛ25), а также с учетом малости возможных значений ср и ф, уравнение (ЗЛ23) примет вид.

Так как момент инерции груза относительно точки подвеса равен уравнение (ЗЛ26) можно представить в виде.

где х = и — управление, у = ст?, — помеха с интенсивностью ст. Вводя обозначения

перепишем уравнение (ЗЛ28) в виде Обозначив.

запишем уравнение (ЗЛЗО) как систему Отсюда в векторной форме имеем

где.

|.

Соотношения (3.133) и (3.134) дают математическую модель движения робота при наличии случайных возмущений на точку подвеса груза.

Линейная управляемая система (3.133) описывает движение рассматриваемого робота на отрезке [t₀, Т], причем вектор фазовых координат X (t), управление U (t, х) и скалярный гауссовский белый шум с, являются взаимонезависимыми. Информация о значении фазовых координат известна в каждый момент времени. Управление l/(t, х) требуется выбрать так, чтобы минимизировать квадратичный функционал.

где штрих означает знак транспонирования, а.

Вводя функцию Веллмана V (t, X), составим уравнение Веллмана, которое в данном случае имеет вид.

с граничными условиями V (t, X) = 0.

В задачах стабилизации Г—"со. Из (3.137) вытекает, что оптимальное управление l/₀(t, х) выражается через функцию Веллмана соотношением

Решение задачи ищем в виде.

В выражении (3.139) матрица P (f) подлежит определению. Соотношение (3.138) преобразуется как.

Подставляя в уравнение (3.137) соотношения (3.139) и (3.140), получим в его левой части квадратичную функцию от вектора фазовых координат с коэффициентами, зависящими от времени. Приравнивая к нулю коэффициенты при квадратичных членах, получим

где.

С учетом соотношений (3.134) и (3.136) из матричного уравнения.

(3.141) получим систему уравнений.

Поскольку Р]2 -^21 из-за симметричности матрицы P (t), систему.

(3.142) можно записать в виде.

Таким образом, решение задачи синтеза оптимального управления роботом с компенсацией вызванных случайными возмущениями колебаний и минимизацией энергетических затрат на управление сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

(3.143) и нахождению матрицы Р.

С учетом соотношений (3.131), (3.134), (3.136) и (3.140) оптимальное управление будет иметь вид.

Из полученного выражения видно, что оптимальное управление не зависит от массы груза, но является функцией длины подвеса, следовательно, при изменении длины подвеса в процессе перемещения груза необходимо измерять ее величину наряду с измерением угла отклонения груза от вертикали и уровнем помех. Соответствующий контур, формирующий управление роботом при случайных возмущениях на точку подвеса груза, представлен на рис. 3.2.

Влияние изменений параметров системы на управляющий сигнал можно исследовать с помощью пакета программ Matlab.

Результаты изменения значений P₂i = Р2 ^от длины подвеса и интенсивности случайных возмущений даны на рис. 3.3.

Анализ результатов показывает, что длина подвеса существенно влияет на величину Р₁₂, особенно при высоком уровне помех.

Аналогичная качественная картина получается для значений Р₂₂, как это видно из рис. 3.4.

Рис. 3.2. Контур управления роботом по случайным возмущениям.

Рис. 3.3. Изменение значений Р₂₁ = Р_12.

Рис. 3.4. Изменение значений Р₂₂

Таким образом, полученное оптимальное управление, вырабатываемое с помощью обратной связи, обеспечивает гашение случайных колебаний точки подвеса груза при меняющихся значениях длины подвеса и уровня помех, минимизируя при этом расход энергии на управление.

Контрольные вопросы к главе 3

• 1. Какая система называется стохастической?
• 2. Как записывается система уравнений Ито?
• 3. Как формулируется стохастический аналог задачи оптимального быстродействия?
• 4. Что такое квадратичный функционал?
• 5. Каким образом описывается задача оптимального оценивания?
• 6. Как решается задача фильтрации?
• 7. Где используется матрица Коши?
• 8. Как записываются уравнения фильтра Калмана?
• 9. Как формулируется задача оптимального наблюдения?
• 10. В чем заключается сущность приближенных методов синтеза оптимального управления?