Вывод уравнений в А-форме

Комплексные коэффициенты А, В, С, D в уравнениях (4.1) и (4.2) зависят от схемы внутренних соединений четырехполюсника, значений сопротивлений схемы и частоты. Для каждого четырехполюсника их можно определить расчетным или опытным путем. Для четырехполюсников, удовлетворяющих условию взаимности, коэффициенты связаны соотношением.

Выведем уравнения (4.1) и (4.2). С этой целью к зажимам тп подключим источник ЭДС Ё = й_тп = й_ъ а к зажимам pq — нагрузку Z₂ (рис. 4.2, а).

Рис. 4.2.

Напряжение на нагрузке й₂ = /2² = U_pq. Согласно теореме компенсации (см. параграф 2.17) заменим нагрузку Z₂ источником ЭДС с ЭДС Ё₂=й₂ и направленной встречно току /₂ (рис. 4.2, б). Запишем выражения для токов Д и i₂, выразив их через ЭДС Ё_ь Ё₂ и входные и взаимные проводимости ветвей у_и, у₁₂, у₂₁, у₂₂:

Если токи Д и i₂ рассматривать как контурные, то ЭДС контуров, совпадающие с направлением контурных токов, войдут в уравнения, подобные уравнению (2.7), со знаком «плюс», а ЭДС, не совпадающие с направлением соответствующих контурных токов, — со знаком «минус».

ЭДС Ё_г направлена согласно с Д поэтому она вошла в уравнения (4.14) и (4.15) со знаком «плюс»; ЭДС Ё₂ направлена встречно /₂, поэтому она вошла в эти уравнения со знаком минус.

Для линейных четырехполюсников, не содержащих нелинейных элементов (для взаимных четырехполюсников), согласно принципу взаимности (см. параграф 2.16),у₁₂ =у₂₁. Из (4.15) найдем.

Подставив (4.16) в (4.14), получим.

Обозначим:

В уравнениях (4.16) и (4.17) заменим Ё₁ на й_г и Ё₂ на й₂ и, воспользовавшись обозначением (4.18), получим уравнения в А-форме.

Проверим выполнение соотношения (4.13) для взаимного четырехполюсника:

Для невзаимного четырехполюсникау₁₂ Фу₂₁ и AD — ВС = у₁₂/у₂₁ * 1*.

Рассмотрим соотношения, которые имеют место между й_г и Д и й₂ и 1₂, если источник ЭДС Ё_г присоединен к зажимам pq, а нагрузка — к зажимам тп (рис. 4.3, а).

Как и в предыдущем выводе, заменим нагрузку Z₂ на источник ЭДС с ЭДС Ё₂, направленный встречно току 1₂, и запишем выражения для токов Д и 1₂

Рис. 4.3.

Из (4.19) найдем Подставим (4.21) в (4.20):

Заменив Ё_г на й_г и Ё₂ на й₂ и воспользовавшись обозначениями (4.18), перепишем две последние строчки следующим образом:

Таким образом, уравнения (4.1) и (4.2) характеризуют работу четырехполюсника при питании со стороны зажимов тп и присоединении нагрузки к зажимам pq, а уравнения (4.22) и (4.23) — при его питании со стороны зажимов pq и присоединении нагрузки к зажимам тп.

Четырехполюсник называют симметричным, если при перемене местами источника питания и нагрузки токи в источнике питания и нагрузке не изменяются. В симметричном четырехполюснике A = D.

Уравнения (4.1) и (4.2) иногда записывают так:

где Ац — А; А₁₂ — В', А₂₁ — С; А₂₂ — D.

Частный случай четырехполюсника, у которого зажимы п и q схемы на рис. 4.3, а имеют одинаковый потенциал (например, когда оба они соединены с заземленной точкой схемы), называют трехполюсником. Изображение трехполюсника показано на рис. 4.3, б.

Если в четырехполюснике отсутствует общая для входа и выхода точка, то такой четырехполюсник также можно рассматривать как трехполюсник, если схема внутренних соединений его окажется симметричной относительно мысленно проведенной посередине четырехполюсника горизонтальной линии (она и будет общим для входа и выхода «зажимом»).