Свободные колебания систем с одной степенью свободы

Свободным колебаниям подвержены звенья, совершающие поступательное или вращательное движения, соединенные с другими звеньями упругой связью. Таким колебаниям подвержены толкатели кулачковых механизмов, амортизаторы, успокоители, буферные системы и т. п.

Определим закон движения поступательного звена (рис. 8.2), колеблющегося под действием сил упругости после деформирования упругой связи (пружины) силой тяжести звена.

Для произвольного положения вертикально перемещающегося звена на него действует сила тяжести F_g и сила Р_П, растягивающая пружину.

где С — жесткость пружины; х — перемещение звена от положения равновесия (х — положительно при перемещении звена вниз).

В рассматриваемом случае звено находится в равновесии под дей- _ р (fix

ствием сил Р", F_nи силы инерции Р_И = ——. Тогда закон движения.

g dt²

звена описывается дифференциальным уравнением справедливым для любого положения звена относительно состояния равновесия:

где g — ускорение свободного падения.

Из уравнения (8.2) получим.

обозначив — = сд², найдем ^Fs

Рис. 8.2. Схема колеблющегося звена.

Рис. 8.3. Определение закона колебательного движения.

Как известно из математики, уравнению (8.3) удовлетворяют решения х = Cj • cos w_ct и x = C₂ • sin ш_ct (где C_l и C₂ — постоянные интегрирования). Общее решение получим как сумму этих решений.

Поскольку функции cos a)_ct и sin oo_ct являются периодически повторяющими свои значения после некоторого интервала Т — периода колебаний, так, что (D_c(t + Т) — со_с(0 = 2л, то.

где 5 = F_g / С — статическая деформация пружины под действием силы F_g.

Величина, обратная периоду Т, называется частотой колебаний:

Для определения закона колебательного движения определим постоянные С₁ и С₂. Пусть в момент времени, когда t = О, положение звена характеризуется перемещением х₀. Тогда начальная скорость будет dx₀ / dt, и, следовательно, из уравнения (8.4) следует, что х₀ = С_г. Дифференцируя это же уравнение и подставляя в него t = 0, получим С₂ =(o_c(dx₀ / dt). Тогда закон колебательного движения описывается выражением.

Из выражения (8.7) видно что колебания состоят из двух частей — колебаний, пропорциональных cos w_ct и зависящих от х₀ (рис. 8.3, а),.

и колебаний, пропорциональных sin o)_ct и зависящих от —⁰ ^ ^t

ю с.

(рис. 8.3, б). Поскольку обе кривые смещены друг относительно друга на фазу Т/4 = п/2, то геометрической интерпретацией выражения (8.7).

служат два взаимно перпендикулярных вектора х₀ и —, вращающихся ю_с

с угловой скоростью ш_с вокруг точки 0 (рис. 8.3, в). При этом перемещение х найдем как сумму проекций векторов на ось абсцисс.

График закона (8.7) представлен на рис. 8.3, г. Максимальная ордината этого графика вычисляется и называется максимальной амплитудой колебаний.

Если в системе, показанной на рис. 8.4, а, момент инерции стержня 2 значительно меньше момента инерции диска 3, то им можно пренебречь и систему считать с одной степенью свободы. Исследование ее позволяет определить основную частоту (наименьшую) крутильных колебаний диска действительной системы.

Положение колебательной системы, представленной на рис. 8.4, б, определяется положением звена 1 в рассматриваемом случае недеформируемого допущение правомочное, так как деформация звена 1 значительно меньше деформации пружин), т. е. тремя координатами центра масс и тремя углами поворота. Для изучения колебаний такой системы можно использовать уравнение Лагранжа в обобщенных координатах, понимая под обобщенными координатами величины, которые дают возможность определить положение центра масс и поворот звена относительно координатных осей.

Однако в том случае, когда колебательное движение в одном из направлений является основным (т.е. значительно превосходит другие), при установлении параметров движения можно воспользоваться для приближенного решения уравнениями систем с одной степенью свободы. Так, в частности, поступают при рассмотрении задачи о виброзащите приборов: система из нескольких пружин-амортизаторов заменяется одной эквивалентной, установленной в центре масс, с основным движением в направлении оси этого амортизатора.

Рис. 8.4. Типы колебательных систем.