Топологические отношения между двумерными объектами

В силу актуальности задачи описания взаимного положения неточечных объектов (встречающейся в анализе изображений, ГИС, анализе многомерной информации и т. п.) исследователи уделяли ей значительное внимание.

Наиболее распространенным подходом является использование топологических отношений [Egenhofer, 1996], а также основанных на них систем нечетких предикатов [Zimmerman et al., 1993]. Эта группа методов дает, скорее, логическое описание, чем количественное, хотя для некоторых предикатов введены числовые меры [Winter, 1999].

Дополнительной к ним является группа методов, основанных на использовании проекций некоторых величин на плоскости на двумерные объекты, наиболее развитым из которых является методгистограмм [Sjahputera et al., 2000]. В настоящей работе предложен метод построения отношений взаимного положения гранул с использованием мер на инкапсулирующих декартовых гранулах (1) и отношениях (2). Подобные методы имеют линейную вычислительную сложность благодаря использованию геометрического подхода [Бутенков, 2003], [Бутенков и др., 2003]. В наших работах используется геометрическая информация на декартовых гранулах, в отличие от работ, посвященных использованию статистических методов на декартовых гранулах [Baldwin et al., 1997].

Для введенных в [Бутенков и др., 2003] гранулированных представлений изображения определим меру единичной параметризованной гранулы на декартовой плоскости в духе примитивных элементов Грассманна:

. (4).

Тогда инкапсулирующую гранулу (1) для двух произвольных непересекающихся декартовых гранул можно задать как:

(5).

где параметры инкапсулирующей гранулы определяются как.

,.

.

.

Перцептуальный подход основывается на известной парадигме [Zimmerman et al., 1993], cогласно которой, меры сходства между объектами должны строиться на основе выделения тех же особенностей, которые выделяет зрительная система человека [Бутенков и др., 2004].

На плоскости чаще всего используются бинарные отношения положения типа («находится на расстоянии от «) и («находится в направлении относительно «), где — ссылочный объект, а — изучаемый объект. Для точечных объектов эти отношения представляются количественно с помощью метрик (например, евклидовой) и с помощью скалярного произведения радиус-векторов. Следующий рисунок изображает геометрию отношений взаимного положения и расстояния на инкапсулирующих гранулах .

a. b.

Рис. 2 Определение отношений положения объекта относительно начала координат (a) и относительно ссылочного объекта (b).

Введем псевдометрику на гранулах и (2), исходя из метрических аксиом раздела 3, учитывающих конечные размеры гранул: и. Тогда можно записать для взаимного положения гранул и с учетом (1) и (2):

(6).

где параметры, отмеченные знаком +, относятся к — инкапсулирующей грануле (5), а — функция интенсификации, представляющая собой непрерывный аналог нечеткого оператора из (2) [Бутенков и др., 2005]. Выражение (4) определяет нечеткое отношение .

Используя введенные ранее меры на гранулах [Бутенков и др., 2003], введем нечеткий аналог косинуса угла между пространственными гранулами в виде:

(7).

где — функция, вводимая из тех же соображений, что и в предыдущем случае. Для придания (5) смысла угла в функции может использоваться суперпозиция с арктангенсом. Выражение (5) определяет нечеткое отношение .

Следующий рисунок визуализирует отношения (6) (a и b) и (7) (c) для случая единичных гранул (пикселов). В этом случае они приобретают свойства, близкие к свойствам евклидовой метрики.

a. b. c.

Рис. 4 Наглядное изображение графиков отношений между единичными гранулами.

Введенные отношения (6) и (7) позволяют решать широкий круг задач анализа гранулированных изображений, подобно тому, как евклидово расстояние и угол между векторами позволяют строить аналитическую геометрию.