Волновые процессы в длинной линии при гармоническом воздействии

Падающие и отраженные волны. Для рассмотрения волновых процессов воспользуемся решениями телеграфных уравнений однородной длинной линии в обобщенном виде (5.1.7), (5.1.8). Переход от операторной к комплексной форме представления решений осуществляется путем замены s на ja> Используя (5.1.6)—(5.1.9), запишем выражения для комплексных амплитуд напряжения и тока в виде суммы падающей и отраженной волн, а также для коэффициента распространения и волнового сопротивления:

где а — коэффициент ослабления, который, как показано ниже, характеризует уменьшение амплитуды гармонического колебания (или волны) на единицу длины линии в направлении его распространения; (3 — коэффициент фазы;

Используя (5.2.2)—(5.2.4), представим выражения для комплексных амплитуд падающей и отраженной волн напряжения и тока в следующем виде:

Для перехода от комплексного представления напряжения и тока (5.2.1) к временным функциям (мгновенным значениям).

будем использовать следующее соотношение взаимосвязи между мгновенными значениями гармонического колебаний и их комплексной амплитудой:

где А, ф — амплитуда и начальная фаза гармонического колебания с частотой со; А — комплексная амплитуда.

Используя (5.2.5) и (5.2.7), получим следующие выражения для падающих и отраженных волн напряжения и тока в виде гармонических колебаний:

Особенности волновых процессов. Из соотношений.

• (5.2.6), (5.2.8) следует, что:
• • напряжение и ток в длинной линии изменяются по гармоническому закону, поскольку представляют собой сумму двух гармонических колебаний. При этом, но гармоническому закону происходит изменение напряжения и тока во времени с частотой внешнего воздействия со в любом сечении линии (при х = const), а при t = const — по координате х, т. е. вдоль линии;
• • при наличии потерь (R₀ ф О, G₀ Ф 0 или, а > 0) амплитуда падающей волны напряжения и тока экспоненциально уменьшается (е^_аг), а отраженной — увеличивается (e^av) с ростом х, т. е. уменьшается в обратном направлении (х* = = / - х), поскольку е®* = е^а/ е^_са';
• • при отсутствии иотерь (/?₀ = 0, G₀ = 0 или, а = 0) амплитуды падающих и отраженных волн остаются постоянными.

Рис. 5.2.1. Иллюстрация процесса распространения падающей (а) и отраженной (б) волн Процесс распространения падающей и отраженной волн в длинной линии проиллюстрирован на рис. 5.2.1. Он характеризуется фазовой скоростью и длиной волны.

Фазовой скоростью волны называют скорость распространения некоторого постоянного фазового угла (или состояния, например, максимального мгновенного значения, как показано на рис. 5.2.1, а) вдоль линии. Для падающей волны напряжения (5.2.8) условие постоянства фазы имеет вид.

Откуда находим фазовую скорость падающей волны.

Фазовая скорость отраженной волны определяется аналогично и имеет отрицательный знак, т. е. v_OTp = -со/Р, поскольку волна распространяется в обратном направлении (рис. 5.2.1, б).

Под длиной волны X понимают расстояние, на которое распространяется волна за один период входного гармонического колебания Т = 1// = 2л/со. Длина волны X соответствует расстоянию между двумя точками волны, фазы которых различаются на 2к (см. рис. 5.2.1):

откуда.

Между длиной волны и фазовой скоростью существует следующая взаимосвязь:

Входное сопротивление и комплексный коэффициент отражения линии. Процессы в длинной линии зависят не только от ее погонных параметров (5.1.1), определяющих собственные свойства линии, но также от входного сопротивления линии и коэффициентов отражения, которые характеризуют степень согласования линии с источником сигналов и нагрузкой.

Степень (условия) согласования источника сигналов с линией зависит от входного сопротивления линии ZBX. Для его определения воспользуемся выражениями (5.1.13). Сначала с помощью подстановки 5 = jo), 1 = 0 В (5.1.13) выразим комплексные напряжение и ток на входе линии через выходные напряжение и ток:

где U{ = i/(0Jo)), ix = /(OJco), U2 = t/(0jco), /t = /(OJco); у и ZB — комплексные величины.

Используя (5.2.10), определим входное сопротивление как отношение комплексных амплитуд напряжения и тока:

где Z" = (/2//2 — сопротивление нагрузки.

Для выявления степени несогласованности линии с нагрузкой воспользуемся соотношением (5.1.15). После подстановки в него s = усо, х = / получим выражение для комплексных коэффициентов отражения па конце линии:

где Z_H = U₂/i₂ — сопротивление нагрузки.

Изучение процессов сводится к выявлению законов изменения напряжения и тока в каждом сечении линии (х- const) и распределения их амплитуд вдоль линии (х = var), а также входного сопротивления от длины линии. Ниже рассматриваются некоторые характерные режимы работы длинной линии.