Уравнение движения системы с одной степенью свободы

Каждое реальное тело можно представить как набор элементов, соединенных между собой последовательно или параллельно. Критерий правильности выбора модели поведения тела — совпадение или близость поведения реального тела и его модели. В нашем случае модель (рис. 14.4) составлена из трех элементов: инерционного элемента (масса т), упругого элемента (пружина) с жесткостью к и демпфера с коэффициентом демпфирования d.

Рис. 14.4. Модель простейшей колебательной системы с одной степенью свободы.

Рассечем модель произвольным сечением и рассмотрим равновесие отсеченной части под действием внешних и внутренних сил. Внешними являются вынуждающая сила F (t) и сила инерции направленная противоположно ускорению движения системы. Внутренними являются упругая сила пружины F _р — ки и сила сопротивления, вызванная внутренним трением между частицами тела Я_глт = d— = 2hm—. Коэффициент демпфирования d в ^{to, p} At At

расчетах обычно заменяют величиной 2Ит, где И — коэффициент затухания колебаний. Такая форма записи более удобна при решении дифференциального уравнения движения тела. Здесь и далее и — перемещение массы по направлению степени свободы тела.

Запишем уравнение равновесия отсеченной части модели:

Подставим аналитические выражения этих сил:

Выражение (14.1) называется уравнением движения системы с одной степенью свободы. Решение этого уравнения рассматривается в курсах физики и теоретической механики, поэтому здесь приведем лишь результаты его решения. Представим уравнение в стандартном виде, разделив все его члены на т:

где со = -yjk/m —собственная частота колебаний тела.

Отметим частные случаи этого уравнения:

уравнение (14.1) описывает вынужденные затухающие колебания системы;

если F (t) = 0, то свободные затухающие колебания;

если F (t) = 0 и И 0, то свободные незатухающие колебания.

Решение уравнения (14.1) складывается из общего решения дифференциального уравнения (без правой части) и частного решения, Т. е. U^общ ^част‘.