Осесимметричная задача для радиально неоднородного цилиндра

Так же как и в плоской задаче для радиально неоднородного тела, описанной в гл. 4, осесимметричную задачу расчета радиально неоднородного цилиндра удалось свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае зависимостей механических характеристик материала от радиуса эти уравнения решаются численно.

Разрешающие уравнения. Постановка краевой задачи

Расчетная схема осесимметричной задачи показана на рис. 5.4. Конечный цилиндр высотой II, внутренний и внешний радиусы которого равны соответственно а и Ъ, нагру;

Рис. 5.4. Расчетная схема осесимметричной задачи.

жен произвольными нагрузками — поверхностными р_а(г), p_b(z), q_a(z)> q_b(z) и объемными K (r, z), Z (r, z). Кроме того, в цилиндре возможны вынужденные деформации e_n(r, z). Как показано в параграфе 5.2, такая задача сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (5.30) относительно функции и₀(г) и ряда систем (для каждого п) двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (5.28), (5.29) относительно функций и_п(г) и w"®.

Полные выражения для отличных от нуля перемещений и напряжений согласно выражениям (5.17) и (5.25) имеют вид.

где в соответствии с формулами (5.26).

При этом следует учесть, что w₀ = 0.

Граничные условия в напряжениях рассматриваемой краевой задачи можно разделить на условия для функции и₀(г), а также на условия для пар функций и_п(г) и w_n®.

На основании условий (5.18) с учетом выражений (5.19), (5.25) и (5.26) для и₀(г) получим граничные условия.

Аналогично для функций и «(г) и w"® граничные условия имеют вид.

Таким образом, расчет радиально неоднородного цилиндра сведен к решению двух краевых задач, одну из которых составляет уравнение (5.27) с граничными условиями (5.33), а другую — уравнения (5.28), (5.29) с условиями (5.34).

Одним из способов численного решения второй краевой задачи является сведение уравнений (5.28), (5.29) к одному уравнению четвертого порядка относительно функции и_п(г). Для этого выразим из уравнения (5.28) w'" как функцию от w_n, и_п и ее производных:

где.

Дифференцируя равенство (5.35) но г и подставляя в полученное выражение w'_n из него же, приходим к равенству.

в котором.

Подставляя равенства (5.35) и (5.36) в уравнение (5.29), выражаем w_n через и_п и ее производные:

Коэффициенты этого равенства определяются формулами.

Финальная процедура заключается в дифференцировании выражения (5.37) и исключении w'_n из полученного выражения с помощью равенства (5.35). В итоге получается обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно функции и_п(г):

коэффициенты которого равны.

В заключение стоит еще раз повторить последовательность расчета. Из уравнения (5.27) с граничными условиями (5.33) находится функция и₀(г). Уравнение (5.38) с граничными условиями (5.34) позволяет определить для каждого п функции и_п(г), после чего с помощью равенства (5.37) можно найти функции w_n®. Напряжения вычисляются согласно формулам (5.32).