Решение задач теплопроводности при нестационарном режиме

Для решения нестационарных задач численным методом из дифференциального уравнения теплопроводность (2.64).

следует получить для каждого узла сетки уравнение в конечных разностях. Последнее, как будет показано ниже, представляет собой простое алгебраическое уравнение, из которого легко определить искомую температуру. Первую производную по т из (15.7) можно представить в конечных разностях в следующем виде:

где Т₀ — температура в точке О (рис. 15.2) в момент т; То — температура в этой же точке через промежуток времени Дт.

С учетом полученного соотношения (15.8), а также (15.2), (15.3) и (15.7) уравнение в конечных разностях для точки О имеет вид:

а если Ах = Ay = Az = А, то откуда.

Полученная формула позволяет по известной температуре То в данный момент времени х в точке О, а также Т, Тг, 7з, Г4, Г5, 7б (рис. 15.2) найти неизвестную температуру То в той же точке О, но в момент времени т + Лт. Таким образом определяем температуры во всех точках сетки в момент х + Дх.

Для отыскания температуры в точке О в момент времени х + 2Дх найденную температуру 7'₀^,(т +Дт) принимаем за известную и находим Г₀" (т + 2Дт). Продолжая такую операцию многократно, находим распределение температуры во времени в данной точке О. Таким же образом можно найти распределение температуры и в других точках пространственной сетки. При решении задачи для тел сложной формы число операций оказывается очень большим.

Рассмотрим уравнение теплопроводности для иолуограниченного тела при одномерном температурном поле. Дифференциальное уравнение (14.1) имеет вид.

Температура тела зависит от двух переменных — координаты х и времени х. Разобьем область определения прямоугольной сеткой с помощью прямых х = х, и х = х* (рис. 15.3). По оси х отложим отрезки длиной х = Ах, х = /Дх, а по оси х — промежутки времени х = Дх, х = кАт.

Рис. 15.3. К выводу уравнения (15.11).

Уравнение (14.1) в конечных разностях на основании (15.2) и (15.8) для точки /, к имеет вид:

1 = (к + 1) Дт Если температура Г/,* в точке /, к в момент времени кАт известна, то искомая температура Г,. в той же точке тела, но в момент времени.

Полученная формула (15.11) позволяет найти распределение температуры по оси х в полуограниченном теле в любой момент времени, если заданы начальные и граничные условия. Начальное условие должно содержать распределение температуры по оси х, т. е. значения температур T_t о, Г, о, … на границах слоев х = Ах, …, х = /Ах при т = 0. Граничное условие — на границе тела х = 0 текущее значение температуры Го, *дтИспользуя эти условия (для т = 0), можно найти по формуле (15.10) температуры T_t |,…, Ti_t i в теле по оси х в момент времени т = Ат.

Используя найденное распределение температуры для момента времени т = Ат по формуле (15.11), можно найти температуры T_t2, …" Г, 2 в момент т = 2Дт и т. д.

Исследования показали, что рассмотренная вычислительная схема устойчива, т. е. ошибки неточного задания начальных данных и вычислительные ошибки не возрастают при увеличении т, если выполняется условие:

Особенно простой формула (15.11) становится при? = 2, когда.

аА т она принимает вид:

Из этого уравнения следует, что температура Г<, ы в точке /, к+1 в момент времени т = (к + 1) Дт не зависит от температуры 7¹/, *, а зависит только от температур в двух соседних точках Л-i, * и 7*1,* в момент времени т = к А т.

По аналогии с условием (15.12) для трехмерной задачи, если Ах = Ау — Az — А (уравнение (15.9)), получим условие:

а для двухмерной задачи:

Из условий (15.12)-(15.14) при заданном шаге по координате, А можно найти такой шаг по времени Ат, что вычислительная схема будет устойчивой.

Разностная схема типа (15.10) называется явной, так как температура в момент т = (к + 1) Ат определяется по формуле (15.10) через температуру в момент кАх. Кроме явных разностных схем существуют так называемые неявные разностные схемы. Для уравнения (14.1) неявная разностная схема имеет вид.

Сравнивая уравнение (15.15) с (15.10), можно заметить, что они различаются аппроксимацией д²Т / дх². В явной схеме (15.10) эта производная заменяется конечной разностью в момент х_к = кАт, а в неявной схеме (15.15) — в момент т*₊₁ = (? + 1) Ат. Уравнение типа (15.15) решается труднее, чем (15.10), так как в него входят неизвестные температуры в трех точках (/-1, к+1); (/, к+1) и (/+1, к+1). Поэтому в этом случае нужно решать сразу всю систему разностных уравнений типа (15.15) для всех точек сетки.

Одним из самых распространенных численных методов решения неявных систем типа (15.15) является метод прогонки. Несмотря на то что неявные разностные уравнения типа (15.15) решаются сложнее, чем явные уравнения типа (15.10), они имеют преимущество перед явными уравнениями. В отличие от явных схем, которые являются устойчивыми только при выполнении условий (15.12), неявные схемы являются абсолютно устойчивыми, т. е. вычислительные ошибки в этих схемах не возрастают при любом соотношении шагов по времени и пространству. Это позволяет выбирать шаг Ат большим, чем в явных схемах и соответственно уменьшать общее время счета всей задачи. Более подробно с изложенными вопросами можно ознакомиться в специальной литературе [24].

Метод дробных шагов (методы расщепления). Для численного решения многомерных уравнений нестационарной теплопроводности разработана группа методов, позволяющих использовать преимущества неявных схем, называемых методами дробных шагов или методами расщепления [30].

В этих методах многомерная задача на шаге Ат заменяется последовательностью одномерных задач на временных шагах, которые (кроме последнего) формально можно рассматривать как доли (правильные дроби) от Ат, а последний шаг дает окончательное решение для момента времени т +Ат.