Принцип максимума (при закрепленных концах и фиксированном времени)

Для того чтобы допустимая для задачи (9.33) пара (х*(?), и*(?)) была ее решением, необходимо, чтобы существовали такие не обращающиеся одновременно в нуль константа ipQ ^ О и решение ip* = {ip*—ipn)^T сопряженной системы (9.37а) при х = = x*(t) и u = и*(<), что при любом t € [to, tf], кроме точек разрыва и*(?), функция Н (и) = #(x*, u, ip*, t) при u = u*(t) достигает максимума, т.е. выполняется соотношение (9.38).

Используя прием Лагранжа, эту задачу можно свести к следующей простейшей вариационной задаче:

где Дальше, как и в случае задачи с закрепленными концами, последняя задача разбивается на две, и получаются необходимые условия в форме принципа максимума. Допустимая пара (u (t), x.(t)) для задачи (9.39) определяется так же, как и для задачи (9.33).

Принцип максимума (при подвижных концах и нефиксированном времени).

Для того чтобы допустимая для задачи (9.39) пара (х*(?), u*(t)) была ее решением, необходимо:

1) существование таких не обращающихся одновременно в нуль константы iJjq⁰ и решения ф* = (ф{ … ф")^Т сопряженной системы (9.37а) при х = х*(2) и и = и*(<), что при любом t € [to, tf], кроме точек разрыва и*(?), функция Н (и) = #(х*, и, ф* >t) при и = и*(?) достигает максимума, т. е. выполняется соотношение (9.38)

2) выполнение условия трансверсальности (9.32):