Уравнение движения в скользящем режиме

Как отмечалось выше, возникает проблема описания системы с переменной структурой при ее движении в режиме скольжения. Был рассмотрен один из возможных способов описания такого движения. Здесь эту проблему рассмотрим более подробно.

Возможны два подхода к решению проблемы описания идеального скользящего движения: аксиоматический подход и подход, основанный на предельном переходе [56]. Рассмотренный выше способ определения фазовой скорости при скользящем режиме основан на аксиоматическом подходе.

Под идеальным скользящим режимом понимается такое движение, при котором изображающая точка совершает относительно поверхности скольжения колебания с бесконечно большой частотой и бесконечно малой амплитудой. Реальное скользящее движение из-за различного рода запаздываний, гистерезиса и других «неидеальностей» переключающего устройства совершается с конечной частотой и конечной амплитудой. И это движение может быть описано, так как при реальном скользящем движении изображающая точка в основном совершает движение вне поверхности скольжения. Подход, основанный на предельном переходе, состоит в том, что, имея описание реального скользящего движения и совершая предельный переход при устремлении запаздывания или других «неидеальностей» к нулю, получаем описание идеального скользящего движения.

В последнее время наибольшее распространение получило аксиоматическое описание скользящего движения, предложенное А. Ф. Филипповым [56]:

Параметр р определяется из условия, что вектор f° располагается на касательной к поверхности скольжения плоскости. В случае скалярного управления это условие можно записать в виде.

Подставив сюда выражение для f° из (8.7), получим.

Метод эквивалентного управления [56]. Согласно этому методу уравнение скользящего движения определяется следующим образом.

1) Вычисляется производная по времени функции переключения s (x) в силу уравнения (8.4а) и приравнивается к нулю:

• 2) Из уравнения (8.9) определяется управление. Полученное при этом управление называют эквивалентным управлением.
• 3) Подстановкой эквивалентного управления в уравнение (8.4а) находится уравнение скользящего движения.

Отсюда находим.

При подстановке этого выражения в уравнение (8.7) последнее принимает вид.

Пусть в уравнение объекта управление входит линейно:

В этом случае уравнение (8.9) принимает вид.

Отсюда находим эквивалентное управление.

Подставив это выражение для управления в уравнение объекта (8.10), получим.

Это уравнение при условии s (x) = 0 является уравнением скользящего движения. Выразив из уравнения s (x) = 0 переменную х_п и подставив в (8.11), получим уравнение скольжения (п — 1)-го порядка.

Для сравнения получим уравнение скользящего движения для объекта (8.10) методом Филиппова. В этом случае имеем.

Раскрыв скобки, после преобразования получим.

Эти уравнения описывают скользящее движение при условии s (x (0)) = 0.

Если последние уравнения записать в векторной форме, то они принимают вид (8.11). Таким образом, в случае, когда объект описывается уравнением (8.10), уравнения скользящего движения, которые получаются методом эквивалентного управления и методом Филиппова, совпадают.