Составление системы дифференциальных уравнений на базе уравнений Лагранжа второго рода и квадратичных форм

Практические приемы использования методов аналитической механики (см. подразд. 3.1) проиллюстрируем на примере динамической модели привода машины, приведенной на рис. 2.1, г. Примем, что ср, ф₂, <�р₃, ср_{ — абсолютные угловые координаты соответствующих «дисков» с моментами инерции J_v Jr Jr Jv Кинематический аналог зубчатой передачи П в данном случае соответствует линейному преобразованию координат ф₃ = П (ф₂) = м₂₁ф₂, где м₂₁ — передаточное отношение между валами 1 и 2.

Рассмотрим основные этапы составления системы уравнений.

1. Определение числа степеней свободы и выбор обобщенных координат. В подразд. 2.1 мы уже отмечали, что данная модель имеет три степени свободы (11= 3). Число степеней свободы легко определить по числу закреплений инерционных элементов, превращающих систему в неподвижную. В качестве первой обобщенной координаты примем угол поворота ф, =, а в качестве остальных угловые деформации валов q₂ = ф₂ — ф₁, <7₃ ⁼ Ф₄ — Ф₃.

При этом ф₂ = <7, + Q? Фз⁼ (<7, + <7₂) ^U21 * Ф1^{= +} Я₂) ^и2⁺ Я у Таким образом, трем степеням свободы соответствуют три независимые обобщенные координаты.

Разумеется, приведенный выбор обобщенных координат не является единственным. Так, например, при том же числе степеней свободы принципиально можно было бы выбрать в качестве обобщенных координат углы поворота в абсолютном движении ф_1? ф₂, ф_г (Углы ф₂ и ф₃ одновременно нельзя принимать в качестве обобщенных координат, так как они однозначно связаны между собой передаточным отношением и._п). Однако имея в виду опыт использования ЭВМ и удобство дальнейшего анализа результатов расчета, следует наряду с абсолютными координатами входных звеньев отдать предпочтение обобщенным координатам, соответствующим малым относительным перемещениям. В противном случае малые динамические ошибки будут в дальнейшем выявлены как разность больших величин, что приводит к существенным погрешностям расчета.

2. Представление кинетической энергии в виде квадратичной формы обобщенных скоростей. Запишем выражение для кинетической энергии механизма:

Кинетическая энергия в общем виде может быть представлена как знакоположительная квадратичная форма (3.2).

В нашем случае при Н= 3.

Сопоставляя (3.9) и (3.10), имеем.

Поскольку и._п = const, в рассмотренном примере A._k = a_jk = = const.

3. Представление потенциальной энергии в виде квадратичной формы обобщенных координат. Угловым деформациям валов q₂ = <�р₂ — (р | и q₃ = <�р₄ ;

:i отвечает потенциальная энергия.

Согласно (3.5), при Я = 3.

Сопоставляя (3.11) и (3.12), имеем с₂₂ = с,; с₃₃ = с₂. Остальные коэффициенты обращаются в нуль.

4. Определение неконсервативных обобщенных сил. Помимо движущего момента М_{ и момента технологического сопротив;

ления M_i учтем моменты диссипативных сил R_v R_r возникающие при деформации валов, при этом.

Составим уравнение работ на возможных перемещениях.

Сопоставляя (3.4) с (3.13), имеем.

5. Подстановка коэффициентов и обобщенных сил в систему дифференциальных уравнений (3.7):

В первое уравнение системы (3.14) вошел движущий момент который связан с угловой скоростью ф, =д, определенной зависимостью, называемой характеристикой двигателя. Так, например, для асинхронного электродвигателя упрощенная форма динамической характеристики двигателя для установившихся режимов имеет вид (см. параграфы 5.10,10.6.).

где cf_x — угловая скорость идеального холостого хода; v ₍ — крутизна статической характеристики; Г — электромагнитная постоянная времени, зависящая от параметров его электрической цепи. Параметры v _t, Т могут быть определены на основании данных, приведенных в каталоге электродвигателя.

Строго говоря, уравнения вида (3.15) должны рассматриваться совместно с системой (3.14); при этом могут быть определены М,(?), с/,(?), q₂(t), q₃(t). Однако опыт инженерных расчетов свидетельствует о том, что для нахождения Ф,(0 ⁼ <7,(0* достаточную точность дает модель жесткого привода, в которой игнорируется податливость звеньев, или модели, учитывающие наиболее податливые элементы передаточного механизма (см. рис. 2.1, б). При таком подходе при анализе системы (3.14) координату q_x можно считать заданной функцией времени, а во многих случаях даже принять q_x = соТогда применительно к нашему примеру, решая систему, состоящую из уравненийj = 2,3, находим q₂(t), q₃(t), а первое уравнение (/ = 1) используем для определения движущего момента А/,.

Для переходных режимов (разгон, торможение) момент М, обычно известен. Так, например, при разгоне нередко можно принять М, = М_1тах.

Приведенная методика составления систем дифференциальных уравнений может быть применена и в тех случаях, когда функция положения является нелинейной, если первая геометрическая передаточная функция П'* будучи переменной, незначительно колеблется около своего среднего значения. В противном случае удобнее пользоваться особой формой уравнения Лагранжа второго рода с избыточными координатами (см. подразд. 3.1).

В соответствии с этим методом примем помимо обобщенных координат = <�р,; q₂ = (р₂— ср,; q= <�р₄ — <�р₃одну избыточную координату q_A = ср₃. При этом мы располагаем одним дополнительным уравнением связи (п = 1).

которое может быть переписано в форме.

Составим систему дифференциальных уравнений для рассматриваемой модели в форме (3.8).

При определении инерционных, квазиупругих коэффициентов и обобщенных сил с избыточными координатами следует обращаться так же, как с обобщенными. В нашем случае.

Отсюда Я_n М22 Jv³³ J4* ft Л¹² J2'³⁴ */4″.

6*22 ⁼ c,; 6*33 = c₂. Остальные коэффициенты равны нулю. Далее находим

После подстановки в систему (3.8) окончательно получим.

Из последнего уравнения этой системы можно непосредственно выразить множитель Лагранжа Л, и подставить его в предыдущие уравнения. Кроме того.

Определение обобщенных сил при использовании избыточных координат ничем не отличается от общего метода и не нуждается в дополнительных пояснениях.