Исследование устойчивости периодических режимов работы нелинейных электрических цепей переменного тока с помощью функций Матье

На рис. 18.8 изображена электрическая цепь, содержащая источник синусоидальной ЭДС E_msin (wt + ф), нелинейную индуктивность НИ, вебер-амперная характеристика которой описана формулой i = ash (3)/, конденсатор емкостью С и резистор R (схема ранее была рассмотрена в параграфе 15.58; она при определенных соотношениях параметров имеет N-образную ВАХ). В установившемся режиме работы при потокосцеплении |/ = H^sinwt первая гармоника тока в цепи J_msino)t = 2a (-jJ₁0'P4'_m))sintot. Если потокосцепление ц/ получит малое приращение ДЧ*, то ток в цепи станет равным I = ash (рч^тоо! + ДРЧО.

Рис. 18.8.

Но

Учтем, что.

(см. формулу (15.10)). При AfFF «с 1 chAf^F ~ 1, shAfFF = АР¹?. Приращение тока.

Составим уравнение для схемы на рис. 18.8 для получения приращения дрч^.

и уравнение после возникновения возмущения:

Вычтем из второго уравнения первое, получим уравнение для приращения.

подставим в него Ai из (18.31), обозначим cat = т, домножим полученное выражение на —, а подынтегральное выражение еще на — и продиффе- со со

ренцируем все уравнение по т. Получим дифференциальное уравнение второго порядка в безразмерных единицах:

Здесь.

Как и в параграфе 18.6, устраним первую производную в (18.33), воспользовавшись подстановкой (18.27), и придем к уравнению.

1 Я²аВ При ———^J₀(j (№_m)"l уравнение (18.34) является уравне- 2wC 4о) нием Матье, в котором в данном случае.

Далее учтем следующее.

• 1. Энергия на возрастание возмущения в линейной и нелинейной цепях, рассмотренных выше, доставляется в цепь от разных источников. В первом случае от внешнего источника модуляции и от синусоидального источника, во втором — от синусоидального источника питания схемы. Кроме того, в линейном случае уравнение составлено относительно Aq, а в нелинейном — относительно АТ. Это привело к тому, что знаки коэффициента Ъ в уравнении Матье в этих двух случаях различны: в линейном случае Ъ> 0, в нелинейном — Ъ < 0 (так как J₂(/A|3T) < 0.
• 2. В нелинейном случае коэффициент а может принимать значения от 0 до 2,2, а коэффициент Ъ — от 0 до —0,2. В линейном случае при Ъ > 0 в этом диапазоне изменения а и b левая кривая первой области неустойчивости на рис. 18.7, б описывается функцией а_с1 = 1 — 8Ь, а правая кривая — функцией a_sl = 1 + 8b (см. [32, § 3.6]). Изменение знака коэффициента Ъ в нелинейном случае по сравнению с линейным при Ъ > 0 приведет к тому, что в указанном диапазоне изменения а и Ъ левая кривая на рис. 18.7, б будет описываться функцией a_sl, а правая — функцией а_с1, сама же первая область неустойчивости останется неизменной и ею можно пользоваться и при b < О, откладывая по оси ординат модуль Ъ.
• 3. Физически неустойчивость работы на падающем участке ВАХ цепи рис. 18.8 объясняется тем, что флюктуация дрт приводит к появлению постоянных составляющих и второй гармоники в токе и магнитном потоке НИ. Нелинейное взаимодействие первой и второй гармоник потока, зависящее от их амплитуд и фаз (см. параграф 15.18), приведет к росту «постоянной» составляющей потока и возникновению отрицательной дифференциальной индуктивности НИ по «постоянным» составляющим потокосцепления и тока.

Рассмотрим пример.

Пример

Вебер-амперную характеристику НИ схемы рис. 18.9 для мгновенных значений величин опишем формулой i = ash (3р = 0,0067sh62,8|/, угловая частота со = 314 cr¹, R = 10 Ом, С = 73,6 мкФ. ВАХ НИ по амплитудам первых гармоник 0)64'.

U_m =/(1_т), где U_m = ^ ^m = 5(34'_m, а также N-образная ВАХ всей цепи из последовательно соединенных НИ, Я и С показаны на рис. 18.9. В области многозначности ВАХ всей цепи пунктиром проведем горизонтальную прямую Е_т = = 9 В. Она пересечет ВАХ в точках 1, 2, 3. Определим устойчивость в каждой из них с помощью кривых рис. 18.7, б.

Рис. 18.9.

Сначала подсчитаем:

В точке 1 (см. рис. 18.9) Р4'_т = 2, J₀(jp?_m) = 2,28, ^(/pyj = -0,69; а_г = = 0,1322, Ь_{1 =}-0,005.

Точка а_г, Ъ_г на рис. 18.7, б находится в незаштрихованной области — режим устойчив.

В точке 2 (см. рис. 18.9) ^_т = 4,6, J₀(jp?J = 19,01, = -11,71; а_г =

= 1,036, bj = -0,083.

Точка а₂, Ъ₂ на рис. 18.7, б оказалась в заштрихованной области — режим неустойчив.

В точке 3 р?_т = 5,3, J₀(jp?J = 23,65, J₂0'pT_m) = -15,6; а_г = 1,798, Ъ_г = = -0,163.

Точка а₃, |Ь₃| на рис. 18.7, б находится в незаштрихованной области — режим устойчив.