Уравнения движения материальной точки в декартовой и криволинейной системах координат, в проекциях на оси естественного трехгранника

Пусть материальная точка движется относительно инерциальной системы координат. Уравнения движения точки в декартовых координатах Ох^х^х₃ согласно второму закону динамики имеют вид.

где х_ь х₂, х₃ — координаты точки М, Х_ь Х₂, Х_г — проекции вектора силы F на оси Ох₁₍ Ох_ъ Ох₃ соответственно. Система уравнений (2.1), вообще говоря, — нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка.

С траекторией точки М можно связать естественный трехгранник МхпЬ (см. § 2!1). Используя ранее найденные выражения для проекций ускорения на оси естественного трехгранника, получим уравнения движения материальной точки в виде.

Уравнения движения материальной точки в криволинейной системе координат представляются в форме.

Здесь для проекций ускорения на оси криволинейной системы координат использованы выражения (2.2.7) (см. § 2.2). Величины.

3 Qx

Q, = F, Н, = Y, Xk. называются обобщенными силами, а уравнения (2.3) принимают вид уравнений Лагранжа.

Функция Т называется кинетической энергией материальной точки.

П. Напишем уравнения движения материальной точки по плоскости Ох|Х₂ в полярной системе координат под действием силы.

F = -кг — ег .

Декартовы координаты связаны с полярными равенствами X, = rcos.

₂ = rsin.

<�г<�®, ер mod 2л. Коэффициенты Ламе и единичные векторы по осям полярной системы координат равны.

Поскольку = 0 (система координат ортогональна), то г = /Д, + + г ((Д_ф, Т = ½/яг² = ½т (г² +г²ф²). Вычисляя обобщенные силы, найдем выражения.

Уравнения движения примут вид