Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. 
Определение реакций

Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси важна с точки зрения многочисленных практических применений.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси 0?₃. Система координат 0^₂4₃ инерциальна, а система Ох, х₂х₃ жестко связана с телом и ось Ох_} совпадает с осью 0?₃ (рис. 42). Угловая скорость ю = фе₃, где ф — угол между осями Ot, и Ох, а е₃ — орт оси Ох_г. Неподвижность оси реализуется ее закреплением в подшипниках в точках О и Р на оси О^у Связи, вынуждающие тело вращаться вокруг оси 0?₃, порождают силовое поле реакций связи, заданное на поверхностях контакта тела с другими телами, входящими в конструкцию подшипников. Для исследования движения твердого тела достаточно знать две характеристики поля реакций связи — главный вектор и главный момент поля реакций связи относительно точки О. Поле реакций связи эквивалентно двум силам Х₂₀, Х_Ъ0),*Мг, Х_2Р, 0), действующим на тело в точках О и Р соответственно, и моменту Л^, е₃, направленному по оси Оху Главный вектор и главный момент реакций связи относительно точки О в проекциях на подвижную систему координат Ох_{х₂х₃ представляются в виде.

В выражениях (9.1) содержится шесть неизвестных величин, определяющих силовое воздействие реакций связи на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси.

Теоремы об изменении момента количеств движения и о движении центра масс тела выражаются равенствами (см. § 5.1 и 5.3).

Рис. 42 Рис. 43.

В уравнениях (9.2) все векторные величины заданы в подвижной системе координат Ох|X₂x₃, жестко связанной с телом. Угловая скорость со = (ое₃, со = ф, а тензор инерции.

Величина М — масса твердого тела, р_с — радиус-вектор его центра масс. Ускорение центра масс вычислено по формуле Ривальса (см. § 2.10). Система уравнений (9.2) состоит из шести уравнений и содержит семь неизвестных величин <�р, Х_]0, Х_го, Х_ъо, Хру Х₂р, N_}. Момент активных сил и главный вектор активных сил F предполагаются заданными функциями времени, угла <�р и угловой скорости ф. Задача окажется корректной, если сделать еще одно предположение о характере связей, а именно определить величину момента N_b характеризующего трение в оси вращения тела. Например, если связь идеальна, то трение отсутствует и 7V, = 0.

Уравнение, определяющее закон вращения твердого тела в случае идеальных связей, получится, если спроектировать первое уравнение системы (9.2) на ось Ох_у Имеем.

а оставшиеся пять уравнений позволяют определить реакции связей в точках О и Р.

С практической точки зрения важно, чтобы величины реакций связей в точках О и Р не зависели от величин угловой скорости и углового ускорения. Если связи идеальны и момент внешних сил относительно оси 0%_г равен нулю, то твердое тело будет вращаться с постоянной угловой скоростью согласно уравнению (9.3). Найдем условия, при которых главный вектор и главный момент реакций связей не зависят от угловой скорости со.

Л.1. Главный вектор реакций связи не зависит от угловой скорости равномерно вращающегося тела, если центр масс тела находится на оси вращения: р_с= /е₃ — статическая балансировка тела.

? Правая часть второго уравнения (9.2) не будет зависеть от левой при постоянной угловой скорости, если (а>, [а>, р_сЦ = 0. Отсюда следует.

где ej, e₂, е₃ — орты осей системы координат Ox, x₂x₃. Тогда ^хс^=х2с⁼ 0 — условия статической балансировки и р_с= /е₃. Т Л.2. Главный момент реакций связи не зависит от величины угловой скорости равномерно вращающегося тела, если ось вращения Ох_ъ есть главная ось инерции тела, т. е. У₂з = «/и = 0 — динамическая балансировка тела.

А Из первого уравнения системы (9.2) следует, что главный момент реакций связей при постоянной угловой скорости не будет зависеть от ее величины, если © х /со = 0. Поскольку © = (c)е₃, то последнее условие принимает вид /₂₃е, — /,₃е₂ = 0. Отсюда следуют условия /,₃ = /,₂ = 0, означающие, что ось вращения тела Ох₃ является главной осью инерции. ?

3. В случае произвольного закона вращения твердого тела условия статической и динамической балансировки тела обеспечивают независимость реакций связи от угловой скорости и углового ускорения вращения тела.

Условия статической и динамической балансировки означают, что ось вращения тела является главной центральной осью инерции тела. Нарушение условий балансировки приводит к возникновению динамических реакций, квадратичным образом зависящих от величины угловой скорости. Эти реакции в современных быстроходных машинах могут быть значительными и привести к вибрациям (гармоническим колебаниям конструкций на частоте вращения тела) и быстрому разрушению элементов конструкции.