Геометрический смысл и применимость полигауссовых случайных явлений к анализу

Геометрический смысл и применимость полигауссовых явлений к анализу рассмотрим на примере смеси конечного числа гауссовских компонент. В данном случае полигауссово случайное явление означает то, что все выборочное пространство А включающее в себя R реализаций и соответствующее исходной плотности распределения hN подпространств А,…, А_п. каждое из которых состоит из R" реализаций, характеризуемых гауссовской плотностью W"(x).

Вероятность компонент q = RJR есть вероятность того, что наблюдаемая реализация принадлежит подпространству А_п. Другими словами, действующая реализация принадлежит или первому подпространству Л, с вероятностью </, или второму подпространству Л, с вероятностью q₂, или «-му подпространству А_п с вероятностью q». Поэтому процесс ^_вх(/) является логической суммой.

где ф — знак логического суммирования.

В отличие от традиционного в радиотехнике понятия смеси в виде суммы (аддитивная смесь сигнала и помехи) в данном случае под смесью явлений будем понимать их логическую сумму (2.27). Поэтому разложение исходной плотности во взвешенную сумму гауссовских плотностей не означает соответствующего разложения п ряд реализаций случайного явления. Это свойство полигауссовой модели превращает её в удобный инструмент решения многих прикладных и теоретических задач статистической радиотехника, в частности, анализа преобразования законов распределения случайных явлений (величин, процессов, полей и т. д.) при их прохождении через элемента радиотехнических систем и устройств.

Например, если входное явление системы, описываемой оператором //, представляет собой смесь явлений, т. е. логическую сумму (2.27), то и выходное явление будет смесью:

или.

Поэтому преобразование функции распределения F (x) и соответствующей ей плотности w (x) входного явления^вх (/) в системе сводится к преобразованию гауссовских законов распределений каждого подпространства ЛA v в отдельности, т.с. покомпонентному анализу и взвешенному суммированию преобразованных в системе законов распределений соответствующих подпространств. Отметим, что сказанное справедливо для всех форм полигауссовых моделей. Следовательно, функций распределения и плотности выходных явление запишутся в дискретной форме.

в непрерывной форме.

или в смешанной дискретно-непрерывной форме.

с прежними сомножителями {qdG, dG_tl.

В случае линейности оператора Н каждая компонента С".ых (0 ^{= //}С"вьД0 выражение (2.28) в силу гауссовости ;"_вых(<) и линейности оператора преобразования Н представляет собой гауссовское явление. Поэтому логическая сумма (2.29) и функции распределения и плотности (2.30) — (2.32) выходных явлений представляет собой смесь гауссовских явлений. Таким образом, полигауссовы модели, как и гауссовские, инвариантны относительно линейных преобразований. Если же оператор Н соответствующего преобразования отличен, от линейного, то каждая компонента Спвпх (0 ⁼ Я^пвых (0 ^{является} уже негауссонекой, поэтому компоненты логической суммы (2.29) негауссовские, следовательно, функции распределения и плотности (2.30) — (2.32) представляют собой смесь нсгауссовских явлений.

Рис. 2.6. Структурная схема полигауссова анализа.

Схематически образование смеси и её преобразование в системе оператором Нпоясняется на рис. 2.6. Коммутатор стохастически с частотой, определяемой вероятностью q_n, подключает к входу системы тот или иной генератор гауссовских случайных процессов (ГГСП_Л, п = 1, N).