Некоторые задачи робототехники

Задачи о положениях манипуляторов

При решении задач проектирования и управления промышленными роботами приходится определять как положения звеньев относительно неподвижной системы координат (абсолютные положения звеньев), так и их относительные положения (например, обобщенные координаты). Эти задачи известны в робототехнике соответственно как прямая и обратная задачи о положениях.

Для исследования движения исполнительного механизма манипулятора в пространстве наибольшее распространение получил метод преобразования координат с матричной формой записи. Он позволяет упорядочить выполняемые действия и сократить математические выкладки. При этом методе выбирают число систем координат, равное числу элементов звеньев, образующих кинематические пары. Неподвижная система координат ^⁰⁾, у⁽⁰ г^<0) обычно связывается со стойкой, а с каждой кинематической парой — подвижная система, одна из осей которой связана с характерным элементом звена, например осевой линией. Для примера па рис. 24.2, а показаны координатные оси 0⁽¹⁾д^Ч1), 0⁽²⁾д^²⁾, 0⁽³⁾ х⁽³⁾, 0⁽⁴⁾^⁴⁾ (или О⁽⁰⁾х<⁰⁾) — четырехзвенной открытой кинематической цепи из звеньев У, 2, 3, 4, моделирующей структуру руки человека (см. рис. 24.2, 6). Ось z*⁰ направляют вдоль оси кинематической пары, а ось у^(Г) дополняет правую систему координат 0⁽ⁱ⁾ ^ y⁽ⁱ⁾ z⁽ⁱ⁾.

Применение метода преобразования координат для решения прямой задачи о положениях проиллюстрируем па примере кинематической схемы промышленного робота (рис. 25.1). Четыре подвижных звена У, 2, 3 и 4 образуют четыре одноподвижные пары, из которых три вращательные и одна поступательная. Число степеней подвижности робота равно четырем:

Рис. 25.1.

Поэтому для решения прямой задачи о положениях должны быть заданы четыре обобщенные координаты: относительные углы поворота звеньев (р₁₀ = #,(?), (р₂₁ = ср₄₃ = <7₄(?) и относительное перемещение вдоль оси звена 3^{32 = =} 9з (0 (см. рис. 25.1).

Требуется определить радиус-вектор р^⁽⁰⁾ точки Е схвата относительно неподвижной системы координат О⁽⁽⁾⁾х⁽⁰⁾г/⁽⁰⁾ 2⁽⁰ связанной со стойкой 5 (или 0). Оси систем координат ориентированы относительно элементов кинематических пар следующим образом:

ось z⁽⁰⁾ неподвижной системы координат стойки направлена вдоль оси вращательной пары А;

со звеном 1 связана система имеющая смещение /₁₀ начала координат 0⁽²⁾ вдоль оси 2^<1). Ось 2⁽¹⁾ совпадает с осью 2⁽⁰⁾, а ось г/⁽¹⁾ направлена по оси вращательной кинематической пары В;

со звеном 2 связана система 0⁽²⁾jtz/^(2>z⁽²⁾, имеющая начало координат 0⁽²⁾, совпадающее с точкой 0^(|). Ось у⁽²⁾ совпадает с осью у° т. е. с осью вращательной кинематической пары В;

начало координат системы 0⁽³⁾х⁽³⁾г/⁽³>г^<3) имеет смещение l._i2 относительно точки 0^<2) вдоль оси 2р⁾. Ось г⁽³⁾ выбрана совпадающей с осью г⁽²⁾;

координата z^<4) точки Е схвата 4 задана в системе 0^<4)д'⁽⁴⁾ г/2^<4), ось г/^<4) которой направлена по оси вращательной кинематической пары D.

Для определения радиуса-вектора р_?⁽⁰⁾ необходимо разрешить матричное уравнение перехода к системе координат О^<0)д5⁰⁾г/⁽⁰⁾2⁽⁰⁾:

Достоинство метода проявляется в случае специального выбора подвижных систем координат. Если координатные оси совмещать с осью вращательной пары или направлением поступательной нары, то матрицы перехода существенно упрощаются.

Координаты точки Е в трехмерном пространстве записываются в виде столбцовых матриц:

Здесь Г_|0⁽³⁾ — матрица перехода от системы 0^(|)х⁽¹⁾г/⁽¹⁾ г^(1> к системе О⁽⁰⁾х^<0,г/2^<0) (элементарная матрица поворота вокруг оси 2 и перемещения вдоль оси г):

Г₂₁" — матрица перехода от системы 0^(3,^^<3)i/⁽³⁾z^<3) к системе 0^<1)л^<1)г/(^|)2^(,) (элементарная матрица поворота относительно оси у):

7'₁₂^<�л'⁾ — матрица перехода от системы 0⁽³⁾х^(:!)г/^<:!)г к системе 0^<2)л7²⁾г/⁽²⁾2^<2) (элементарная матрица перемещения вдоль оси х):

— матрица перехода от системы 0^{i)x^{A)y^{A)z^{i) к системе O⁰⁾x⁰⁾y⁰⁾z^O) (элементарная матрица поворота вокруг оси х):

Подставив эти матрицы в формулу (25.1), получим координаты точки Е в системе ()^(>x⁽⁾y^z<0). Развернутые формулы, определяющие положение точки Е схвата, ввиду громоздкости не приведены. При решении конкретных задач на ЭВМ целесообразно воспользоваться библиотекой стандартных подпрограмм для выполнения элементарных операций с матрицами.

Для определения скорости и ускорения точек звеньев пространственных механизмов манипуляторов при использовании метода преобразования координат имеют в виду, что радиус-вектор р_?^<0), например, точки Е есть векторная функция обобщенных координат:

поэтому скорость v_F точки Е определяется по соотношению.

или.

Абсолютную угловую скорость 7-го звена относительно стойки находят сложением угловых скоростей при относительном движении звеньев:

индекс /(/ - 1) указывает на порядковые номера звеньев, участвующих в относительном движении, например:

Решения обратных задач о положениях манипуляторов в явном виде имеют важное значение как при проектировании, так и при управлении. При проектировании такие решения позволяют оценить влияние конструктивных параметров на процесс движения, при управлении — построить быстродействующие алгоритмы управления.