Оптимальное управление непрерывными процессами измельчения с рециклом в барабанных мельницах

Постановка задачи оптимального управления. Непрерывные процессы измельчения с рециклами представляют класс сложных динамических систем, обладающих двойственной детерминированпо-стохастической природой. Вследствие того, что современные автоматизированные системы управления (АСУ) процессами измельчения из-за отсутствия необходимого алгоритмического обеспечения не могут реализовать достаточно эффективное управление данными процессами, ухудшается качество продуктов измельчения, растет расход электроэнергии и качественной стали на измельчепие, снижается производительность измельчающих агрегатов. Отсюда следует очевидная значимость построения оптимальных (квазиоптимальных) алгоритмов управления рассматриваемым классом объектов.

Гранулометрический состав является определяющей характеристикой продуктов измельчения. Недоизмельчение всегда ухудшает их качество, а перензмельчение, если непосредственно не отражается на качестве продуктов измельчения, то всегда приводит к сверхнормативным затратам. Поэтому гранулометрическая характеристика продуктов измельчения (плотность распределения относительной массы измельченных частиц по размерам) или готового продукта на выходе барабанной мельницы в любом случае ограничена сверху (на недоизмельчение), а в ряде случаев также снизу (на переизмельчение) [661. Указанный диапазон крупности в дальнейшем будем называть оптимальным классом крупности.

Сформулируем задачу оптимального управления одностадиальным замкнутым циклом измельчения марганцевой руды в промышленной барабанной мельнице (см. рис. 2.43): построить алгоритм оптимального управления, обеспечивающий максимизацию производительности объекта по оптимальному классу крупности. Для того_у чтобы решить поставленную задачу, необходимо: а) построить динамическую математическую модель непрерывного процесса измельчения марганцевой руды в барабанной мельнице с рециклом; б) построить в явном виде функционал качества данной задачи оптимального управления; в) определить ограничения на переменные.

Динамическая модель рассматриваемого объекта была построена в § 2.9 и 3.10 в виде (2.242), (2.243).

Построение функционала качества. Запишем функционал качества рассматриваемой задачи в неявном виде для конечного отрезка времени.

где х — вектор переменных состояний системы; и — вектор управлений (управляющих воздействий); / — вектор возмущении (возмущающих воздействий); t_L — t₀ = Т — конечный отрезок времени; у. — вектор конструктивных характеристик, который для рассматриваемой задачи является постоянным.

Определим состав векторов х, и и / для рассматриваемой динамической системы: вектор переменных состояний х = {xj (0* (0Ь.

x_Y = Му, х₂ = М₂ вектор управляющих воздействий и = {u, (t), и₂ (0), и_х = G, о, и₂ = С₂₀; вектор возмущающих воздействий / = = {А (0. /2 №Ь /1 =²⁰ (?, t), /₂ = v (t) (обозначения совпадают с принятыми в § 2.9).

Таким образом переменными состояний непрерывного процесса измельчения с рециклом являются массы воды и руды в мельнице, управляющими воздействиями — расходы воды и руды на входе в мельницу (см. рис. 2.43), а возмущающими воздействиями — изменения гранулометрического состава и измельчаемости (твердости/ исходного сырья на входе в мельницу.

Кроме этого введем входные и выходные переменные рассматриваемой динамической системы: вектор входных переменных ъ = ⁼ i^zi (0″² (0}> ^zi ⁼ и* J/ip ⁼ «Ь ^ip» z₂ = и₂ Ч* ½Р.

= G₂₀ 4- G₂р, где у_1р = G, p, у₂р = G_2V; вектор выходных переменных у = {у₄ (/), у₂ (/)}, уу = G_x, у₂ = G₂.

Согласно постановке задачи оптимального управления непрерывным процессом измельчения с рециклом максимизируемым является количество готового продукта оптимальной крупности, которое можно определить, но выражению вида [67] (см. рис. 2.43 и модель (2.242)).

где G_r (/) = G₂мл (0 — массовый расход готового продукта оптимальной крупности (0, ?*] (переизмельченне не учитываем, поэтому нижний предел равен нулю); т_2КЛ = 0.,.

Причем в (5.17) конечный отрезок времени I, — /₀ = Т^>т₂ 4- + т_2Кл ~~ транспортное запаздывание между входом и выходом системы.

Выражение (5.17) является наиболее общей характеристикой результирующего показателя процесса и здесь рассматривается в качестве максимизирующего функционала. Однако такая постановка функционала не является единственно возможной. Одним из наиболее распространенных критериев качества функционирования данного класса объектов является требование максимизации производительности процессов измельчения по исходному питанию [68], что легко выражается как.

Достаточно распространен также выбор энергетического критерия (см. п. 5.2.3), соответствующего минимизации расхода электрознергии на тонну перерабатываемого сырья. Кроме того, имеет смысл отыскание неподвижной точки х* в пространстве переменных состояний, характеризующей режим оптимальной стабилизации процессов, и постановка задачи его поддержания. Практически все общие критерии приводят к режимам, достаточно близким друг к другу.

Ограничении на переменные состояния и управляющие воздействия. На протекание процесса измельчения в барабанных мельницах накладываются ограничения по переменным состояний, нарушение которых приводит к потере устойчивости и аварийному режиму. Это связано с превышением объема внутрнмельничной загрузки (количества воды, руды н мелющих тел). Поэтому условие обеспечения устойчивости режима работы мельницы представляет собой ограничение на переменные состояний для задачи оптимального управления процессами измельчения в барабанных мельницах. Для рассматриваемого случая оно записывается в виде.

где значение 1,179 м³ представляет предельное значение объема пульпы в мельнице (см. результаты экспериментальных исследований в § 3.10) Vj" = ФзУро — V_m = 0,5×4,2 — 0,921 = 1,179 м* (V_po — рабочий объем промышленной барабанной мельницы 1,5 X X 3 м); значение первого члена в (5.18) определяет объем руды в мельнице V₂ = MJpj = Л/₂/2,91 = 0,344 х₂ а значение второго члена — объем воды (pj = 1 т/м³).

При наименьшей плотности руды (по данным длительных испытаний [67]) pj¹¹¹ = 2,48 т/м³ ограничение (5.18) обеспечивает необходимый запас устойчивости работы мельницы.

Для управляющих воздействий запишем ограничения вида [67]".

Ограничение (5.19) также связано с обеспечением необходимого запаса устойчивости, но исходит непосредственно из характера разработанной динамической модели (2.242): модель построена для области устойчивого режима и задача оптимального управления без учета ограничения (5.19) может привести к заведомо ложным решениям [671. Ограничение (5.20) — это естественное физическое ограничение на управление. Оно обусловлено конкретными техническими, характеристиками рассматриваемой системы.

Формализация задачи оптимального управления непрерывным процессом измельчения с рециклом. В ходе предыдущего исследования получена динамическая модель объекта (2.242), найдено выражение функционала качества (5.17) и выяснены ограничения, наложенные на управлением переменные состояний (фазовые координаты) (5.18) — (5.20). Теперь сформулируем задачу оптимального управления рассматриваемой динамической системой [67]: найти оптимальные управления ы, (/), и₂ (/) и переменные состояний Ху (I), х₂ (*)? на скользящем временном интервале t (Е [*₀, /J, t — t₀ >> ^т2 + + т₂кл т, 4- т._кл, обеспечивающие максимум функционалу.

тде коэффициенты b₄, d_u.. d₄, k_l% к₂, с_х%.. ., с₈ определены в § 3.10, а коэффициент к* определяется из технологических соображений.

Задача оптимального управления (5.21) — (5.40) записана для случая, когда измельчаемость исходного сырья v (/) является возмущающим воздействием, т. е. в реальных условиях функционирования •объекта v (/) должны быть измерены на входе в заданные моменты времени. Поэтому здесь неприемлема формула (3.170).

Для построения алгоритма (5.21) — (5.40) современная теория оптимального управления располагает различными методами: принцип максимума Л. С. Нонтрягина [69, 70, 72, 731, методы построения алгоритмов оптимального управления системами как с сосредоточенными [761, так и с распределенными параметрами [78—791, метод динамического программирования Р. Веллмана [761 и ДРДля численного решения задач оптимального управления в настоящее время существуют непрямые и прямые методы: 1) непрямые методы состоят в решении краевой задачи для уравнений, образующих принцип максимума [711; 2) прямые методы, которые непосредственно не используют необходимые или достаточные условия экстремальности; к ним относятся метод вариации в фазовом пространстве [75) в различных модификациях (метод локальных вариаций, алгоритм «бегущей волны» и др.); методы нелинейного программирования; метод штрафных функций [741.

Алгоритмы решений задачи оптимального управления (5.21) — (5.40) непрерывным процессом измельчения с рециклом могут быть ориентированы только на реализацию на УВМ в реальном масштабе времени. Условия эксплуатации алгоритмов выдвигают естественные требования к занимаемому объему оперативной памяти УВМ, быстродействию, а также простоте и надежности. Указанные требования, со своей стороны, накладывают определенные ограничения на выбор пути построения алгоритмов данного класса. Исходя из этого становится необходимым получение дополнительной информации относительно рассматриваемой задачи (5.21) — (5.40) с тем, чтобы в дальнейшем использовать ее при построении соответствующих алгоритмов. С этой целью исследуем режимы оптимальной стабилизации, куда, по существу, и должно привести управляемый объект применение последовательности оптимальных программ на скользящем временном интервале при определенном уровне стохастической составляющей процесса [071. Ниже везде предполагаем, что начальное значение вектора возмущений (5.36) /° = / (/₀) = = {^20 (?" *)" ^v (h)} фиксировано (измерено) и сохраняется постоянным на рассматриваемом отрезке времени t ?: U₀" *ilВ [67) установлено, что для рассматриваемой динамической системы режимы оптимальной стабилизации существуют и задача их нахождения сводится к решению задачи нелинейного программирования. Учитывая это, схема построения алгоритма оптимального управления будет следующая: 1) решается задача оптимальной стабилизации по заданному /° = / (/<,) и находятся стабилизированные значения {х*, и*} (выделяется сравниваемая траектория); 2) далее отыскивается оптимальная программа {х (/), и (/)} на отрезке t СЕ [*о" из условия минимума квадратичного функционала, к которому сводится функционал (5.21).

Задача оптимальной стабилизации. В режиме оптимальной стабилизации справедливы следующие соотношения [67):

С учетом (5.41), (5.42) сформулируем задачу оптимальной стабилизации: найти оптимальные значения управляющих воздействий и = и* = {и*, и*} и переменных состояний х — х* = {х*, х*}, доставляющие максимум функционалу.

Для решения полученной задачи оптимальной стабилизации (5.43)—(5.55), являющейся задачей нелинейного программирования, необходимо задание /?₂₀ (?*) и v. В реальных условиях функционирования объекта /?₂₀ (5*) — /?2о (?*) ^и v = v^r, где R%₀ (?_#) и v^r текущие значения, которые должны быть измерены на входе объекта в заданные моменты времени и введены в УВМ автоматически. Очевидно, можно принять некоторые значения /?₂₀ (?*) ^{11 v и} промоделировать решение задачи (5.43)—(5.55). Однако, используя результаты [67), можно упростить ее решение. В частности, поскольку значение х — х* сохраняется при всех v, то преобразуем оптимизационную задачу (5.43) — (5.55) следующим образом: найти оптимальное значение вектора z = (г_1э z₂} = - {^_х, и₂ + у₂р} ^{= z}*-> однозначно определяющее х = х* и доставляющее максимум функционалу.

где ?|,.. #₄, h_lt.. h_x определяются по (5.51); и ограничениях.

(5.52) — (5.55); при выводе выражения (5.59) на основе (5.49) принято, что в рассматриваемом случае исходное питание практически не содержит класс крупности? ?*, т. е. /?₂₀ (?*) = 1, и условие идеальности классификации соблюдается точно, т. с. /?_2Р (?*) = 1; тогда из (5.48) следует, что /?_20б (5*) = 1; кроме этого принято среднее значение измельчаемости v = 1.

Для конкретных значений коэффициентов получено решение z* = 29,3 т/ч; Zy = 26,3 т/ч, которое удовлетворяет условию (5.56) в заданной области ограничений и является искомым режимом оптимальной стабилизации.

Задача отыскания оптимальной программы. При заданном векторе возмущающих воздействий /° =* / (/₀) выше был найден режим оптимальной стабилизации и = и*, х = х*. Теперь функционал (5.42) можно представить в вида.

при связях (5.57)—(5.62)^ и ограничениях (5.52)—(5.55), где т_и — время реализации управляющих воздействий.

Оптимальная программа {х (/), и (/)} на скользящем временном интервале t ЕЕ [/о" отыскивается из условий минимума квадратичного функционала (5.63).

Применение описанного метода оптимального управления процессом измельчения в барабанной мельнице, согласно которому в условиях известных допущений по начальным данным отыскивается режим оптимальной стабилизации {х*, и*} и далее находится оптимальная программа {х (/), и (*)} на скользящем (/ е [/" /J) временном интервале минимизацией квадратичного функционала (5.63)_г в промышленных условиях оказывается затруднительным. Это связано с тем, что автоматические измерительные устройства, нужные для измерения необходимых начальных данных (измельчаемостн v) в настоящее время либо полностью отсутствуют, либо обладают недостаточно высоким качеством.

Поэтому становится необходимым поиск компромиссных путей построения эффективных алгоритмов управления, реализующих близкий к оптимальному режим работы объекта. В этом направлении наиболее перспективным представляется применение адаптивного подхода и использование мельницы в качестве анализатора измельчаемости. Идея применения мельницы в качестве анализатора измельчаемостн известна (77). В отличие от [77] будем применять разработанную динамическую математическую модель процесса, что в конечном итоге должно привести к формированию адаптивного алгоритма квазиоптималыюго управления рассматриваемым объектом [67).

Алгоритм квазиоптималыюго управления. Решение поставленной задачи начнем с построения структурной схемы системы квазиоптималыюго управления замкнутым циклом измельчения (рис. 5.25). При этом выделим два контура управления расходами исходного питания и воды в мельницу. В контуре управления расходом воды его стабилизация на уровне и_к = z* — 26,3 т/ч вполне достаточна, так как на расчетном уровне функционирования системы изменение количества влаги, внесенное рециклом в мельницу, можно не учитывать. Необходимо обеспечить условие постоянства расхода z₂ = = и₂ -+? у₂р = z? = 29,3 т/ч при максимальной производительности по исходному питанию м", соответствующей минимизации переизмельчепия. Из данного условия можно определить квазиоптимальный режим работы объекта. Очевидно, для вычисления соответствующего расхода исходного питания необходимо в контуре управления использовать УВМ. Тогда структурная схема разрабатываемой системы принимает вид, представленный на рис. 5.25. В качестве УВМ принят управляющий вычислительный комплекс (УВК) М-6000. В контуре управления расходом исходного питания применен дозатор СБ-П1−1, имеющий двухстороннюю стандартную связь с УВК М-6000, что существенно облегчает синтез всей системы в целом, а для измерения производительности рецикла y_2V выбран весонзмеритель ВПЛ-12 конструкции ВНИПИавтоматпрома [67]. В системе.

Рис. 5.25. Структурная схема системы квазиоптимального управления замкнутым циклом измельчения.

использованы функциональные преобразователи фсрродинамические ПФФ и с токовым выходом ПФТ. Стабилизация расхода воды осуществляется в локальном режиме. Контур управления расходом исходного питания построен на основе выдачи уставки от УВК М-6000 дозатору СБ-Ш-1. Па вход УВК М-6000 поступают измеренные текущие значения расходов исходного питания пТ, воды и[ и производительности рецикла yj_p.

Для обеспечения экономии машинного времени в качестве стабилизированного значения расхода z} будем принимать не значение zj = 29,3 т/ч, а некоторый интервал 27,3 ^2? ^ 29,3т/ч. В то время когда значение текущего расхода z^T₂ принадлежит этому интервалу, УВМ освобождается от операций вычисления по данной задаче.

Алгоритм квазиоптимального управления, положенный в основу разработанной системы квазиоптимального управления процессом измельчения марганцевой руды, по которому УВК М-6000 вычисляет новое значение уставки i4″, имеет следующий вид.

1. Измерение, ввод в УВК и усреднение текущих значений.

ylр. «I;

• 2. Суммирование z₂ = i? + ylv
• 3. Сравнение ? ]> 29,3 т/ч; если да, то переход к п. 4; если нет, то переход к<�п. 5.
• 4. Вычисление нового значения и™ = 29,3 — yj_p; переход к п. 8.
• 5. Сравнение ? ^ 27,3 т/ч; если да, то переход к и. 9; если нет, то переход к п. 6.
• 6. Вычисление текущего значения измельчаемости v = v^T (адаптация параметра v) из уравнения (5.59)

где Г, а, у определяются по (5.60) — (5.62) с учетом (5.57), (5.58) для У2Р = */2р" = и!, и, = и].

7. Вычисление нового значения уставки ul" из уравнения (5.56) с учетом (5.57)—(5.62).

где 7, а, у определяются по (5.60)—(5.62) с учетом (5.57), (5.58) для У*р = I/Ip, и₂ = и™, и, = и1, v = v^T.

• 8. Вывод уставки ц™.
• 9. Продолжение сканирования.