Задачи для самостоятельного решения

Задача 7.1. Три маленьких шарика массой т = 10 г каждый расположен в вершинах равностороннего треугольника со стороной а = 20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции J системы относительно оси: 1) перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через центр описанной окружности; 2) лежащей в плоскости трсугольника и проходящей через центр описанной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь.

Ответ: J = та² 1)4−10″⁴ кг*м²; 2) 2−1 (Г⁴ кгм².

Задача 7.2. Найти момент J тонкого однородного кольца радиусом R = 20 см и массой т = 100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.

Ответ: J = mR²/2 = 0,002 кг м².

Задача 7.3. Определить момент инерции J кольца массой т — 50 г и радиусом R = 10 см относительно оси, касательной к кольцу.

Ответ: J = (3/2)mR² = 7,5* 10 ⁴ кг м².

Задача 7.4. Диаметр диска d = 20 см, масса т = 800 г. Определить момент инерции J диска относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости дисков.

Ответ: J = (¾)mR² = 6−10^_3 кг-м².

Задача 7.5. Определить момент инерции тонкой J плоской пластины со сторонами а = 10 см и b = 20 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равномерно распределена по её площади с поверхностной плотностью, а = 1,2 кг/м².

Ответ: J = ъа^гЫ 12 = 210 ⁵ кг м².

Задача 7.6. Тонкий однородный стержень длиной / = 50 см и массой т = 400 г вращается с угловым ускорением? = 3 рад/с² около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент Л/.

Ответ: М = ml²г = 0,025 Н м.

Задача 7.7. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой п = 10 с^-1. Радиус R колеса равен 20 см, его масса т = 3 кг.

Определить частоту вращения и₂ скамьи, если человек повернет стержень на угол 180°? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг м. Массу колеса можно считать равномерно распределенной по ободу.

Ответ: л₂ = 2mR²nl (J + mR²) = 0,392 с ¹.

Задача 7.8. Кинетическая энергия Е_к вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равномерно и, сделав N = 80 оборотов, остановился. Определить момент М силы торможения.

Ответ: М= T/(2nN) = 1,99 Н м.

Задача 7.9. Сплошной цилиндр массой т = 4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость и оси цилиндра равна 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию Е_к цилиндра.

Ответ: Е_к = 3wu²/4 = ЗДж.

Задача 7.10. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой М = 180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой /7=10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой т = 60 кг. Какую линейную скорость будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Ответ: и =.

м/с.

InMnR М + 2w.

Задача* 7.11. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу М = 80 г, перекинута тонкая гибкая нерастяжимая нить. К концам нити присоединены грузы, массы которых, соответственно, равны т = 100 г и /77₂ ⁼ 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если систему предоставить самой себе?

Ответ: а =-—————g = 2,88 м/с².

/77] + /772 + А//2.

Задача* 7.12. Гироскоп длиной / вращается с угловой скоростью со. Момент инерции гироскопа J₀. К концу гироскопа приложена сила F, перпендикулярная вектору со, действующая в течение короткого времени At. Найти угол, на который отклонится ось гироскопа.

Ответ: А0 = ^ • At.

J₀(O

Задача 7.13. На метровой доске расположены три груза массами /77] = 1 КГ, /772 = 2 КГ и /77₃ = 3 КГ. ГруЗЫ МЭССОЙ /77] И /77₃ рЗСПОЛОЖеНЫ НЭ концах доски, а груз пъ находится в полуметре от груза т. Определить положение опоры, при котором система будет находиться в равновесии.

Отве!

= 0,33 М.

(//7] + /77₂ )L — /772^ /77] + /77 2 + /77₃

Задача* 7.13. Электрон имеет собственный момент импульса (спин), проекция которого на произвольное направление равна половине постоянной Планка, т. е. L = Л/2= 5,25* 10^-35 Джс. Учитывая, что скорость света в вакууме есть предельная скорость движения, показать несостоятельность модели, согласно которой спин является результатом вращения электрона.

Задача* 7.14. Цирковой артист бросает на арену обруч массой т и радиусом R, который катится в горизонтальном направлении со скоростью о. При этом обручу придано обратное вращение с угловой скоростью со. При какой угловой скорости обруч после остановки покатится назад к артисту? Найти конечную скорость О/ поступательного движения обруча.

Ответ: со > u/R; d г = d — со/?/2.

Вселенная — это сфера, центр которой повсюду, а граница — нигде.

Б. Паскаль