Объединение множеств. 
Работа с множествами. 
Операции над множествами

Объединением АВ множеств, А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств, А или В.

Символическая запись этого определения: А В={х | хА или хВ}.

Здесь союз «или» понимается в смысле «неразделительного или», т. е. не исключается, что х может принадлежать и, А и В. Отметим, что в таком случае элемент х, входящий в оба множества, А и В, входит в их объединение только один раз (поскольку для множества не имеет смысла говорить о том, что элемент входит в него несколько раз).

Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

На диаграмме объединение множеств, А и В выделено штриховкой.

Если множество, А определяется характеристическим свойством Р (х), а множество В — характеристическим свойством Q (х), то, А В состоит из всех элементов, обладающих, по крайней мере, одним из этих свойств.

Примеры объединений двух множеств:

• 1) Пусть А={2; 5; 7}, В={3; 5; 6}. Тогда, А В ={2; 3; 5; 6; 7}.
• 2) Пусть А=[-¼; 2], В=[ -2/3; 7/4]. Тогда, А В=[-2/3; 2] .
• 3) Пусть А= {х | х=8k, k Z}, B={x | x=8n-4, n Z}. Тогда A B ={x | 4m, mZ}.

Операция объединения множеств может проводиться не только над двумя множествами. Определение объединения множеств можно распространить на случай любого количества множеств и даже — на систему множеств. Система множеств определяется так: если каждому элементу б множества М отвечает множество А_б, то совокупность всех таких множеств мы будем называть системой множеств.

Объединением системы множеств {А_б} называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А_б. При этом общие элементы нескольких множеств не различаются.

Таким образом, элемент х тогда и только тогда, когда найдется такой индекс б ₀ М, что х A _б0 .

В случае, когда М конечно и состоит из чисел 1, 2, …, n, применяется запись Если M=N, то имеем объединение последовательности множеств .

Рассмотрим ещё один пример: пусть М=(1; 2) и для каждого б є М определим множество А_б =[0;б]; тогда = [0;2).

Из определения операции объединения непосредственно следует, что она коммутативна, т. е. А₁ A₂ = A₂ А₁, и ассоциативна, т. е. (А₁ A₂) А₃ = А₁ (A₂ А₃).